(1)曲線運(yùn)動(dòng)的條件；(2)運(yùn)動(dòng)的合成與分解；(3)拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。
例1．(2020·全國(guó)卷Ⅱ·16)如圖，在摩托車越野賽途中的水平路段前方有一個(gè)坑，該坑沿摩托車前進(jìn)方向的水平寬度為3h，其左邊緣a點(diǎn)比右邊緣b點(diǎn)高0.5h。若摩托車經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E1，它會(huì)落到坑內(nèi)c點(diǎn)。c與a的水平距離和高度差均為h；若經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E2，該摩托車恰能越過坑到達(dá)b點(diǎn)。等于( )
A. 20B. 18C. 9.0D. 3.0
【解析】有題意可知當(dāng)在a點(diǎn)動(dòng)能為E1時(shí)，有E1＝eq \f(1,2)mv12，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有h＝eq \f(1,2)gt12，h＝v1t1；當(dāng)在a點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為E2時(shí)，有E2＝eq \f(1,2)mv22，eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)gt22，3h＝v2t2，聯(lián)立解得，故選B。
【答案】B
【點(diǎn)睛】本題主要考查平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和動(dòng)能的計(jì)算公式，知道平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。
例2．(2020·山東卷·16)單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場(chǎng)地可以簡(jiǎn)化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°。某次練習(xí)過程中，運(yùn)動(dòng)員以vM＝10 m/s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α＝72.8°，騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cs 72.8°＝0.30。求：
(1)運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；
(2)M、N之間的距離L。
【解析】(1)在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)垂直AD方向的分速度為v1，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律得：
v1＝vMsin 72.8° ①
設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)垂直AD方向的分加速度為a1，由牛頓第二定律得：
mgcs 17.2°＝ma1 ②
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 ③
聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)得：d＝4.8 m。 ④
(2)在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分速度為v2，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)得：
v2＝vMcs72.8° ⑤
設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分加速度為a2，由牛頓第二定律得：
mgsin17.2°＝ma2 ⑥
設(shè)騰空時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得： ⑦
L＝v2t＋eq \f(1,2)a2t2 ⑧
聯(lián)立①②⑤⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得：L＝12 m。 ⑨
【點(diǎn)睛】本題考查牛頓第二定律的綜合應(yīng)用及斜面上拋體問題的分析，關(guān)鍵是弄清物體的運(yùn)動(dòng)過程和受力情況，能正確將速度和加速度同時(shí)進(jìn)行分解。
1．(多選)質(zhì)量為2 kg的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上做曲線運(yùn)動(dòng)，在x方向的速度圖象和y方向的位移圖象如圖所示，下列說法正確的是( )
A．質(zhì)點(diǎn)的初速度為5 m/s
B．質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為3 N，做勻加速曲線運(yùn)動(dòng)
C．2 s末質(zhì)點(diǎn)速度大小為6 m/s
D．2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移大小約為12 m
【答案】ABD
【解析】由x方向的速度圖象可知，在x方向的加速度為1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移圖象可知在y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此質(zhì)點(diǎn)的初速度為5 m/s，A選項(xiàng)正確；受到的合外力為3 N，顯然，質(zhì)點(diǎn)初速度方向與合外力方向不在同一條直線上，B選項(xiàng)正確；2 s末質(zhì)點(diǎn)速度應(yīng)該為v＝eq \r(62＋42) m/s＝2eq \r(13) m/s，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；2 s內(nèi)x方向上位移大小x＝vxt＋eq \f(1,2)at2＝9 m，y方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(145) m≈12 m，D選項(xiàng)正確。
2．(多選)如圖所示，用一根長(zhǎng)桿和兩個(gè)定滑輪的組合裝置來提升重物M，長(zhǎng)桿的一端放在地上通過鉸鏈連接形成轉(zhuǎn)軸，其端點(diǎn)恰好處于左側(cè)滑輪正下方O點(diǎn)處，在桿的中點(diǎn)C處拴一細(xì)繩，通過兩個(gè)滑輪后掛上重物M。C點(diǎn)與O點(diǎn)距離為L(zhǎng)，現(xiàn)在桿的另一端用力使其逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，由豎直位置以角速度ω緩慢轉(zhuǎn)至水平(轉(zhuǎn)過了90°角)，此過程中下列說法正確的是( )
A．重物M做勻速直線運(yùn)動(dòng)
B．重物M做勻變速直線運(yùn)動(dòng)
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的速度先增大后減小
【答案】CD
【解析】與桿垂直的速度v是C點(diǎn)的實(shí)際速度，vT是細(xì)繩的速度，即重物M的速度。設(shè)vT與v的夾角是θ，則vT＝vcs θ，開始時(shí)θ減小，則vT增大；當(dāng)桿與細(xì)繩垂直(θ＝0)時(shí)，重物M的速度最大，為vmax＝ωL，然后再減小，C、D正確。
3．(多選)飼養(yǎng)員在池塘邊堤壩邊緣A處以水平速度v0往魚池中拋擲魚餌顆粒。堤壩截面傾角為53°。壩頂離水面的高度為5 m，g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)，下列說法正確的是( )
A．若平拋初速度v0＝5 m/s，則魚餌顆粒不會(huì)落在斜面上
B．若魚餌顆粒能落入水中，平拋初速度v0越大，落水時(shí)速度方向與水平面的夾角越小
C．若魚餌顆粒能落入水中，平拋初速度v0越大，從拋出到落水所用的時(shí)間越長(zhǎng)
D．若魚餌顆粒不能落入水中，平拋初速度v0越大，落到斜面上時(shí)速度方向與斜面的夾角越小
【答案】AB
【解析】魚餌顆粒落地時(shí)間t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×5,10)) s＝1 s，剛好落到水面時(shí)的水平速度為v＝eq \f(s,t)＝eq \f(5×\f(3,4),1) m/s＝3.75 m/s＜5 m/s，當(dāng)平拋初速度v0＝5 m/s時(shí)，魚餌顆粒不會(huì)落在斜面上，A正確；由于落到水面的豎直速度vy＝gt＝10 m/s，平拋初速度越大，落水時(shí)速度方向與水平面的夾角越小，B正確；魚餌顆粒拋出時(shí)的高度一定，落水時(shí)間一定，與初速度v0無關(guān)，C錯(cuò)誤；設(shè)顆粒落到斜面上時(shí)位移方向與水平方向夾角為α，則α＝53°，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)vyt,v0t)＝eq \f(vy,2v0)，即eq \f(vy,v0)＝2tan 53°，可見，落到斜面上的顆粒速度與水平面夾角是常數(shù)，即與斜面夾角也為常數(shù)，D錯(cuò)誤。
4．如圖所示，甲、乙兩同學(xué)從河中O點(diǎn)出發(fā)，分別沿直線游到A點(diǎn)和B點(diǎn)后，立即沿原路線返回到O點(diǎn)，OA、OB分別與水流方向平行和垂直，且eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)。若水流速度不變，兩人在靜水中游速相等，則他們所用時(shí)間 t甲、t乙的大小關(guān)系為( )
A．t甲t乙 D．無法確定
【答案】C
【解析】設(shè)水速為v0，人在靜水中的速度為v，eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)＝x。對(duì)甲，O→A階段人對(duì)地的速度為(v＋v0)，所用時(shí)間t1＝eq \f(x,v＋v0)；A→O階段人對(duì)地的速度為(v－v0)，所用時(shí)間t2＝eq \f(x,v－v0)。所以甲所用時(shí)間t甲＝t1＋t2＝eq \f(x,v＋v0)＋eq \f(x,v－v0)＝eq \f(2vx,v2－v02)。對(duì)乙，O→B階段和B→O階段的實(shí)際速度v′為v和v0的合成，如圖所示。由幾何關(guān)系得，實(shí)際速度v′＝eq \r(v2－v02)，故乙所用時(shí)間t乙＝eq \f(2x,v′)＝eq \f(2x,\r(v2－v02))。eq \f(t甲,t乙)＝eq \f(v,\r(v2－v02))>1，即t甲>t乙，故C正確。
5．如圖所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿OA，O端用鉸鏈固定，輕桿靠在一個(gè)高為h的物塊上，某時(shí)刻桿與水平方向的夾角為θ，物塊向右運(yùn)動(dòng)的速度為v，則此時(shí)A點(diǎn)速度為( )
A．eq \f(Lvsin θ,h) B．eq \f(Lvcs θ,h)
C．eq \f(Lvsin2θ,h) D．eq \f(Lvcs2θ,h)
【答案】C
【解析】如圖所示，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可知，接觸點(diǎn)B的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，可將B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度vB＝v沿垂直于桿和沿桿的方向分解成v2和v1，其中v2＝vBsin θ＝vsin θ為B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，v1＝vBcs θ為B點(diǎn)沿桿運(yùn)動(dòng)的速度。當(dāng)桿與水平方向夾角為θ時(shí)，OB＝eq \f(h,sin θ)，由于B點(diǎn)的線速度為v2＝vsin θ＝OBω，所以ω＝eq \f(vsin θ,OB)＝eq \f(vsin2θ,h)，所以A的線速度vA＝Lω＝eq \f(Lvsin2θ,h)，選項(xiàng)C正確。
6．(多選)如圖所示，B球在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，豎直平臺(tái)與軌跡相切且高度為R，當(dāng)B球運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)時(shí)，在切點(diǎn)正上方的A球水平飛出，速度大小為eq \r(\f(3,2)Rg)，g為重力加速度大小，要使B球運(yùn)動(dòng)一周內(nèi)與A球相遇，則B球的速度大小為( )
A．eq \f(π,3)eq \r(2Rg) B．eq \f(2π,3)eq \r(2Rg) C．πeq \r(2Rg) D．2πeq \r(2Rg)
【答案】AB
【解析】A球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq \r(\f(2R,g))，水平位移大小x＝v0t＝eq \r(3)R，A球的落點(diǎn)在圓周上，從上向下看有兩種可能，A球水平位移與直徑的夾角均為30°。若在C點(diǎn)相遇，B球轉(zhuǎn)過的角度為eq \f(2,3)π，則B球的速度大小為vB＝eq \f(\f(2π,3)R,t)＝eq \f(π,3)eq \r(2Rg)，A正確；若在D點(diǎn)相遇，B球轉(zhuǎn)過的角度為eq \f(4,3)π，則B球的速度大小為vB＝eq \f(\f(4π,3)R,t)＝eq \f(2π,3)eq \r(2Rg)，B正確。
7．軍事演習(xí)中，M點(diǎn)的正上方離地H高處的藍(lán)軍飛機(jī)以水平速度v1投擲一顆炸彈攻擊地面目標(biāo)，反應(yīng)靈敏的紅軍的地面高炮系統(tǒng)同時(shí)在M點(diǎn)右方地面上N點(diǎn)以速度v2斜向左上方發(fā)射攔截炮彈，兩彈恰在M、N連線的中點(diǎn)正上方相遇爆炸，不計(jì)空氣阻力，則發(fā)射后至相遇過程( )
A．兩彈飛行的軌跡重合
B．初速度大小關(guān)系為v1＝v2
C．?dāng)r截彈相對(duì)攻擊彈做勻速直線運(yùn)動(dòng)
D．兩彈相遇點(diǎn)一定在距離地面eq \f(3,4)H高度處
【答案】C
【解析】?jī)蓮椩贛、N連線的中點(diǎn)正上方相遇，只能說明末位置相同，不能說明運(yùn)動(dòng)軌跡重合，故A錯(cuò)誤。由于兩彈恰在M、N連線的中點(diǎn)正上方相遇，說明它們的水平位移大小相等，又由于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，所以它們?cè)谒椒较蛏系乃俣认嗤?，即v2cs θ＝v1，θ為v2與水平方向的夾角，所以v2＞v1，故B錯(cuò)誤。兩彈都只受到重力，都做勻變速運(yùn)動(dòng)，加速度相同，所以攔截彈相對(duì)攻擊彈做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故C正確。根據(jù)題意只知道兩彈運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，但不知道攔截炮彈豎直方向初速度的具體值，所以不能判斷兩彈相遇點(diǎn)距離地面的高度，所以D錯(cuò)誤。
8．(多選)如圖所示，A、B、C三點(diǎn)在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，且在同一直線上，一小球若以初速度v1從A點(diǎn)水平拋出，恰好能通過B點(diǎn)，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用時(shí)間為t1，到B點(diǎn)時(shí)速度與水平方向的夾角為θ1，落地時(shí)的水平位移為x1；若以初速度v2從A點(diǎn)水平拋出，恰好能通過C點(diǎn)，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用時(shí)間為t2，到C點(diǎn)時(shí)速度與水平方向的夾角為θ2，落地時(shí)的水平距離為x2。已知AB間水平距離是BC間水平距離的2倍，則( )
A．v1∶v2＝2∶3
B．t1∶t2＝eq \r(2)∶eq \r(3)
C．tan θ1∶tan θ2＝2∶3
D．x1∶x2＝eq \r(2)∶eq \r(3)
【答案】BD
【解析】由于A、B、C三點(diǎn)在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，且在同一直線上，所以豎直方向的位移和水平方向上位移比值一定相等；設(shè)ABC的連線與水平方向之間的夾角為θ，則tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，則落在ABC的連線上時(shí)豎直方向上的分速度vy＝gt＝2v0tan θ。設(shè)速度與水平方向的夾角為α，有tan α＝eq \f(vy,v0)＝2tan θ，知小球到達(dá)B點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，速度與水平方向的夾角與初速度無關(guān)，則速度與水平方向的夾角相同，故C錯(cuò)誤。AB間水平距離與AC間水平距離之比為2∶3；由幾何關(guān)系可知，小球到達(dá)B點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，豎直方向的位移之比為eq \f(yb,yc)＝eq \f(2,3)，又y＝eq \f(1,2)gt2，解得y＝eq \f(2v02tan2θ,g)，所以eq \f(yb,yc)＝eq \f(v12,v22)，可得eq \f(v1,v2)＝eq \f(\r(2),\r(3))，故A錯(cuò)誤；聯(lián)立得eq \f(t1,t2)＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B正確；兩個(gè)小球在豎直方向都做自由落體運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相等的，水平方向的位移x＝v0t，聯(lián)立可得eq \f(x1,x2)＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(\r(2),\r(3))，故D正確。
9．(多選)如圖所示，水平地面有一個(gè)坑，其豎直截面為半圓形，ab為沿水平方向的直徑，在a點(diǎn)分別以初速度v0(已知)、2v0、3v0沿ab方向拋出三個(gè)石子并擊中坑壁，且以v0、2v0拋出的石子做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等。設(shè)以v0和3v0拋出的石子做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t1和t3，擊中坑壁瞬間的速度分別為v1和v3，則( )
A．可以求出t1和t3
B．不能求出t1和t3，但能求出它們的比值
C．可以求出v1和v3
D．不能求出v1和v3，但能求出它們的比值
【答案】AC
【解析】做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)間的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)。如圖1所示，做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意位置處，設(shè)其末速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為φ，則有tan θ＝2tan φ。以v0、2v0拋出的石子做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，說明豎直分位移相等，設(shè)分別落在A、B點(diǎn)，如圖2所示。以3v0拋出的石子其運(yùn)動(dòng)軌跡與AB延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在b點(diǎn)的正下方。根據(jù)幾何關(guān)系有AB＝eq \f(1,3)ab。對(duì)于落在A點(diǎn)的石子，設(shè)ab＝2R，根據(jù)幾何關(guān)系可求得豎直位移與水平位移之比，根據(jù)上述推論求豎直分速度與水平分速度之比，從而求出豎直分速度，再合成求出v1，由公式vy＝at求t1。以3v0拋出的石子落在c點(diǎn)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可寫出其軌跡方程和圓方程，再求得c點(diǎn)的坐標(biāo)，與落在A點(diǎn)的石子下落位移比較，可求得落在c點(diǎn)時(shí)的豎直分速度，從而求出v3。由公式vy＝at求t3。故A、C正確，B、D錯(cuò)誤。
如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)直輕桿兩端分別固定一個(gè)小球A和B，兩球的質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計(jì)，桿AB的長(zhǎng)度為l，現(xiàn)將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕振動(dòng)小球B，使小球B在水平地面上由靜止向右運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)A球沿墻下滑距離為eq \f(l,2)時(shí)A、B兩球的速度vA和vB的大小。(不計(jì)一切摩擦)
【解析】A、B兩球速度的分解情況如圖所示，由題意知，θ＝30°，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解得：
vAsin θ＝vBcs θ
又A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：
mgeq \f(l,2)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)
解得：vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gl)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gl)。
11．如圖所示，足夠長(zhǎng)的斜面與水平面夾角α＝37°，斜面上有一質(zhì)量M＝3 kg的長(zhǎng)木板，斜面底端擋板高度與木板厚度相同。m＝1 kg的小物塊從空中某點(diǎn)以v0＝3 m/s水平拋出，拋出同時(shí)木板由靜止釋放，小物塊下降h＝0.8 m掉在木板前端，碰撞時(shí)間極短可忽略不計(jì)，碰后瞬間物塊垂直斜面分速度立即變?yōu)榱恪Ｅ龊髢烧呦蛳逻\(yùn)動(dòng)，小物塊恰好在木板與擋板碰撞時(shí)在擋板處離開木板。已知木板與斜面間動(dòng)摩擦因素μ＝0.5，木板上表面光滑，木板與擋板每次碰撞均無能量損失，g＝10 m/s2，求：
(1)碰前瞬間小物塊速度大小和方向。
(2)木板至少多長(zhǎng)小物塊才沒有從木板后端離開木板？
(3)木板從開始運(yùn)動(dòng)到最后停在斜面底端的整過過程中通過路程多大？
【解析】(1)小物塊平拋運(yùn)動(dòng)，有：
h＝eq \f(1,2)gt2，vy＝gt，v2＝vy2＋v02
解得：t＝0.4 s，vy＝4 m/s，v＝5 m/s
由得θ＝37°，即速度方向與斜面垂直。
(2)木板下滑，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得：
Mgsin α－μMgcs α＝Ma
v1＝at1
解得：a＝2 m/s2，v1＝0.8 m/s
小物塊掉到木板上后速度變?yōu)?，然后向下運(yùn)動(dòng)，直到與木板速度相同過程：
對(duì)小物塊有：mgsin α＝ma1
對(duì)木板有：Mgsin α－μ(M＋m)gcs α＝Ma2
速度相同時(shí)：a1Δt＝v1＋a2Δt
解得：a1＝6 m/s2，a2＝m/s2，Δt＝0.15 s
Lmin＝v1Δt＋eq \f(1,2)a2Δt2－eq \f(1,2)a1Δt2＝0.06 m。
(3)小物塊平拋過程木板下移的距離：x1＝eq \f(1,2)v1t1＝0.16 m
兩者相碰到小物塊離開，木板運(yùn)動(dòng)的距離：x2＝eq \f(1,2)a1t22＝v1t2＋eq \f(1,2)a2t22
解得：t2＝0.3 s，x2＝0.27 m
此時(shí)木板速度：v2＝v1＋a2t2＝1 m/s
木板與擋板碰后全程生熱：Q＝μMgcs α·x3＝eq \f(1,2)Mv22
解得：x3＝0.125 m
可見木板在斜面上通過路程：x＝x1＋x2＋x3＝0.555 m。

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