(1)功的理解與計(jì)算；(2)恒力及合力做功的計(jì)算、變力做功；(3)機(jī)車啟動(dòng)問題；(4)功、功率與其他力學(xué)知識(shí)的綜合。
例1．(2018?全國(guó)III卷?19)地下礦井中的礦石裝在礦車中，用電機(jī)通過豎井運(yùn)送至地面。某豎井中礦車提升的速度大小v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質(zhì)量相等。不考慮摩擦阻力和空氣阻力。對(duì)于第①次和第②次提升過程( )
A．礦車上升所用的時(shí)間之比為4∶5
B．電機(jī)的最大牽引力之比為2∶1
C．電機(jī)輸出的最大功率之比為2∶1
D．電機(jī)所做的功之比為4∶5
【答案】AC
【解析】根據(jù)位移相同可得兩圖線與時(shí)間軸圍成的面積相等，eq \f(1,2)v0×2t0＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)v0×[2t0＋t′＋(t0＋t′)]，解得t′＝eq \f(1,2)t0，則對(duì)于第①次和第②次提升過程中，礦車上升所用的時(shí)間之比為2t0∶(2t0＋eq \f(1,2)t0)＝4∶5，A正確；加速過程中的牽引力最大，且已知兩次加速時(shí)的加速度大小相等，故兩次中最大牽引力相等，B錯(cuò)誤；由題知兩次提升的過程中礦車的最大速度之比為2∶1，由功率P＝Fv，得最大功率之比為2∶1，C正確；兩次提升過程中礦車的初、末速度都為零，則電機(jī)所做的功等于克服重力做的功，重力做的功相等，故電機(jī)所做的功之比為1∶1，D錯(cuò)誤。
【點(diǎn)睛】本題考查速度圖象，牛頓運(yùn)動(dòng)定律、功和功率及其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。此題以速度圖象給出解題信息。解答此題常見錯(cuò)誤主要有四方面：一是對(duì)速度圖象面積表示位移掌握不到位；二是運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解牽引力錯(cuò)誤；三是不能找出最大功率；四是不能得出兩次提升電機(jī)做功。
1．如圖所示，木板可繞固定水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。木板從水平位置OA緩慢轉(zhuǎn)到OB位置，木板上的物塊始終相對(duì)于木板靜止。在這一過程中，物塊的重力勢(shì)能增加了2 J。用N表示物塊受到的支持力，用f表示物塊受到的摩擦力。在此過程中，以下判斷正確的是( )
A．N和f對(duì)物塊都不做功
B．N對(duì)物塊做功為2 J，f對(duì)物塊不做功
C．N對(duì)物塊不做功，f對(duì)物塊做功為2 J
D．N和f對(duì)物塊所做功的代數(shù)和為零
【答案】B
【解析】由做功的條件可知：只要有力，并且物塊沿力的方向有位移，那么該力就對(duì)物塊做功。由受力分析知，支持力N做正功，但摩擦力f方向始終和速度方向垂直，所以摩擦力不做功。由動(dòng)能定理知WN－WG＝0，故支持力N做功為2 J。
2．(多選)物體受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直線運(yùn)動(dòng)。通過力和速度傳感器監(jiān)測(cè)到推力F、物體速度v隨時(shí)間t變化的規(guī)律分別如圖甲、乙所示。取g＝10 m/s2，則下列說法正確的是( )
A．物體的質(zhì)量m＝0.5 kg
B．物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4
C．第2 s內(nèi)物體克服摩擦力做的功W＝2 J
D．前2 s內(nèi)推力F做功的平均功率eq \x\t(P)＝3 W
【答案】ABC
【解析】由題圖甲、乙可知，在1～2 s，推力F2＝3 N，物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度a＝2 m/s2，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得，F(xiàn)2－μmg＝ma；在2～3 s，推力F3＝2 N，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件可知，μmg＝F3；聯(lián)立解得物體的質(zhì)量m＝0.5 kg，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，選項(xiàng)A、B正確；由速度—時(shí)間圖象所圍的面積表示位移可得，第2 s內(nèi)物體位移x＝1 m，克服摩擦力做的功Wf＝μmgx＝2 J，選項(xiàng)C正確；第1 s內(nèi)，由于物體靜止，推力不做功；第2 s內(nèi)，推力做功W＝F2x＝3 J，即前2 s內(nèi)推力F做功為W′＝3 J，前2 s內(nèi)推力F做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W′,t)＝eq \f(3,2) W＝1.5 W，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
3．(多選)一質(zhì)點(diǎn)在光滑水平面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)施加水平力F，力F隨時(shí)間t按如圖所示的正弦規(guī)律變化，力F的方向始終在同一直線上，在0～4 s內(nèi)，下列說法正確的是( )
A．第2 s末，質(zhì)點(diǎn)距離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)
B．第2 s末，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能最大
C．0～2 s內(nèi)，力F瞬時(shí)功率一直增大
D．0～4 s內(nèi)，力F做功為零
【答案】BD
【解析】從圖象可以看出在前2 s力的方向和運(yùn)動(dòng)的方向相同，物體經(jīng)歷了一個(gè)加速度逐漸增大的加速運(yùn)動(dòng)和加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不變，所以2 s后，質(zhì)點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)距離還在增大，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不變，物體要做減速運(yùn)動(dòng)，所以第2 s末，質(zhì)點(diǎn)的速度最大，動(dòng)能最大，故B項(xiàng)正確；0～1 s內(nèi)，速度在增大，力F增大，根據(jù)瞬時(shí)功率P＝Fv得力F瞬時(shí)功率一直增大，1～2 s內(nèi)，速度在增大，但是隨時(shí)間變化速度增大變慢，而力F隨時(shí)間減小變快，所以力F瞬時(shí)功率有減小的過程，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；0～4 s內(nèi)，初末速度都為零，根據(jù)動(dòng)能定理得合力做功為零，所以力F做功為零，故D項(xiàng)正確。
4．(多選)如圖所示為汽車的加速度a和車速的倒數(shù)eq \f(1,v)的關(guān)系圖象。若汽車質(zhì)量為2×103 kg，它由靜止開始沿平直公路行駛，且行駛中阻力恒定，最大車速為30 m/s，則( )
A．車所受阻力為2×103 N
B．汽車在車速為5 m/s時(shí)，功率為6×104 W
C．汽車的額定功率為6×104 W
D．汽車勻加速所需時(shí)間為5 s
【答案】ACD
【解析】由圖可知，勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為2 m/s2，汽車的最大速度為30 m/s，勻加速直線運(yùn)動(dòng)的末速度為10m/s。汽車勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，故D正確；設(shè)汽車的額定功率為P，車所受阻力為f。當(dāng)汽車速度最大時(shí)，汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)功率公式，有汽車的額定功率為P＝Fvm＝fvm，當(dāng)eq \f(1,v)＝eq \f(1,10)s/m時(shí)，a＝2 m/s2，根據(jù)牛頓第二定律得eq \f(P,v)－f＝ma，解得f＝2×103 N，P＝6×104 W，故AC正確；因?yàn)? m/sm乙、ρ甲＝ρ乙可知a甲>a乙，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因甲、乙位移相同，由v2＝2ax可知，v甲>v乙，B項(xiàng)正確；由x＝eq \f(1,2)at2可知，t甲f乙，則W甲克服>W乙克服，D項(xiàng)正確。
9．如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿一端固定在光滑鉸鏈上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球。一水平向右的拉力作用于桿的中點(diǎn)，使桿以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)桿與水平方向成60°時(shí)，拉力的功率為( )
A．mgLω B．eq \f(\r(3),2)mgLω
C．eq \f(1,2)mgLω D．eq \f(\r(3),6)mgLω
【答案】C
【解析】由于桿做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，拉力的功率等于克服重力做功的功率，P＝mgωLcs 60°＝eq \f(1,2)mgLω，C項(xiàng)正確。
10．為了緩解城市交通擁堵問題，某市交通部門在禁止行人步行的十字路口增設(shè)了長(zhǎng)度為12 m的“直行待行區(qū)”。如圖所示，當(dāng)其他車道的車輛右轉(zhuǎn)時(shí)，直行道上的車輛可以提前進(jìn)入“直行待行區(qū)”；當(dāng)直行綠燈亮起時(shí)，可從“直行待行區(qū)”直行通過十字路口。如果該路段的限速為60 km/h，從提示進(jìn)入“直行待行區(qū)”到直行綠燈亮起的時(shí)間為4 s?，F(xiàn)某汽車司機(jī)駕駛著質(zhì)量為1.5 t的小汽車，汽車的額定功率為63 kW，汽車的前端剛好停在停車線處，當(dāng)司機(jī)看到上述提示時(shí)，立即由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)汽車的前端運(yùn)動(dòng)到“直行待行區(qū)”的前端線時(shí)，正好直行的綠燈亮起，司機(jī)保持該加速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到額定功率后保持功率不變，汽車在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力為車重的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，則：
(1)在前4 s時(shí)間內(nèi)，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功是多少？
(2)從開始運(yùn)動(dòng)計(jì)時(shí)，經(jīng)過12 s達(dá)到該路段限速，汽車經(jīng)過的總位移是多少？(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
【解析】(1)在這段時(shí)間內(nèi)，汽車前進(jìn)的位移為x＝eq \f(1,2)at2
汽車的加速度為a＝eq \f(2x,t2)＝1.5 m/s2
汽車受到的阻力f＝kmg＝3×103 N
根據(jù)牛頓第二定律F－f＝ma
牽引力做功WF＝F·x
由以上兩式得WF＝6.3×104 J。
(2)設(shè)汽車達(dá)到額定功率時(shí)的速度為v′，時(shí)間為t′，位移為x1，則
P額＝F·v′
v′＝a·t′
x1＝eq \f(1,2)at′2
設(shè)汽車以額定功率行駛的位移為x2，根據(jù)動(dòng)能定理
P額(t－t′)－f·x2＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv′2
由以上各式解得x1＝48 m，x2＝50.55 m
汽車經(jīng)過的位移x＝x1＋x2≈99 m。
11．某品牌汽車在某次測(cè)試過程中數(shù)據(jù)如下表所示，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答問題。
已知汽車在水平公路上沿直線行駛時(shí)所受阻力f跟行駛速率v和汽車所受重力mg的乘積成正比，即f＝kmgv，其中k＝2.0×10－3 s/m。重力加速度g取10 m/s2。
(1)若汽車加速過程和制動(dòng)過程都做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，求這次測(cè)試中加速過程的加速度大小a1和制動(dòng)過程的加速度大小a2。
(2)求汽車在水平公路上行駛的最大速率vm。
(3)把該汽車改裝成同等功率的純電動(dòng)汽車，其他參數(shù)不變。若電源功率轉(zhuǎn)化為汽車前進(jìn)的機(jī)械功率的效率η＝90%。假設(shè)1 kW·h電能的售價(jià)為0.50元(人民幣)，求電動(dòng)汽車在平直公路上以最大速度行駛的距離s＝100 km時(shí)所消耗電能的費(fèi)用。結(jié)合此題目，談?wù)勀銓?duì)電動(dòng)汽車的看法。
【解析】(1)加速過程的加速度大小a1＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(30,10) m/s2＝3 m/s2
制動(dòng)過程滿足2a2x＝veq \\al(2,t)－veq \\al(2,0)
解得加速度大小a2＝10 m/s2。
(2)當(dāng)汽車的速度達(dá)到最大時(shí)，汽車受到牽引力與阻力相等。滿足Pm＝fvm
即Pm＝kmgveq \\al(2,m)
解得vm＝50 m/s。
(3)以最大速度行駛過程中，克服阻力所做的功
Wf＝fs＝kmgvms
代入數(shù)據(jù)，解得Wf＝1.5×108 J
消耗電能E＝eq \f(Wf,η)＝1.67×108 J＝46.4 kW·h
所以，以最大速度行駛100 km的費(fèi)用Y＝46.4×0.5＝23.2(元)。
由以上數(shù)據(jù)可以看出，純電動(dòng)汽車比燃油汽車行駛費(fèi)用低得多，而且無(wú)環(huán)境污染問題。
整車行駛質(zhì)量
1 500 kg
額定功率
75 kW
加速過程
車輛從靜止加速到108 km/h所需時(shí)間為10 s
制動(dòng)過程
車輛以36 km/h行駛時(shí)的制動(dòng)距離為5.0 m

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