2.3　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
【素養(yǎng)目標(biāo)】1．理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握?qǐng)D象法解一元二次不等式．(直觀想象)3．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型．(數(shù)學(xué)抽象)4．會(huì)解可化為一元二次不等式(組)的簡(jiǎn)單分式不等式．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)5．會(huì)用分類(lèi)討論思想解含參數(shù)的一元二次不等式．(邏輯推理)6．會(huì)解一元二次不等式中的恒成立問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【學(xué)法解讀】在從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式的學(xué)習(xí)中，可以先以討論具體的一元二次函數(shù)變化情況為情境，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，引出一元二次不等式的概念；然后進(jìn)一步探索一般的一元二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系，歸納總結(jié)出用一元二次函數(shù)解一元二次不等式的程序．
第1課時(shí)　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為_(kāi)_________________．一元二次不等式的一般形式是：_______________________或_______________________．
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)　
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)　
提示：(1)不是，一元二次不等式一定為整式不等式．(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．
二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系
思考2：如何用圖解法解一元二次不等式？提示：圖解法解一元二次不等式的一般步驟：(1)將原不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ＜0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象直接寫(xiě)出解集；(4)若Δ≥0，求出對(duì)應(yīng)方程的根，畫(huà)出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫(xiě)出解集．
1．判斷正誤(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(　　)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R．(　　)(3)設(shè)二次方程f(x)＝0的兩解為x1，x2，且x1＜x2，則一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能為{x|x1＜x＜x2}．(　　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集為空集，則方程ax2＋bx＋c＝0無(wú)實(shí)根．(　　)
[解析]　(1)當(dāng)m＝0時(shí)，是一元一次不等式；當(dāng)m≠0時(shí)，它是一元二次不等式．(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)沒(méi)有實(shí)根．則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為?．(3)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，不等式f(x)＞0的解集為{x|x1＜x＜x2}．(4)當(dāng)Δ＜0時(shí)，一元二次不等式的解集為空集，此時(shí)方程無(wú)實(shí)根．
2．不等式x2＜2的解集是____________________．3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集為_(kāi)__________________．
　　　　解下列不等式．(1)2x2－3x－2＞0；(2)x2－4x＋4＞0；(3)－x2＋2x－3＜0；(4)－3x2＋5x－2＞0．[分析]　根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系求解即可．
[歸納提升]　解一元二次不等式的步驟(1)對(duì)不等式變形，使不等號(hào)一端二次項(xiàng)系數(shù)大于0，另一端為0，即化為ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式．(3)當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根．(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，寫(xiě)出不等式的解集．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? (1)已知集合M＝{x|－3＜x＜5}，N＝{x|x2－2x－8＜0}，則M∩N＝(　　)A．{x|－2＜x＜5}B．{x|－3＜x＜4}C．{x|－2＜x＜4}D．{x|－3＜x＜5}
[分析]　由一元二次不等式的解集，可得相應(yīng)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．
[歸納提升]　注意已知條件的含義和根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用：①一元二次不等式解集的兩個(gè)端點(diǎn)值是一元二次方程的兩個(gè)根．②由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列方程組求參數(shù)．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
　　　　解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．[分析]　二次項(xiàng)系數(shù)為2，Δ＝a2－16不是一個(gè)完全平方式，故不能確定根的個(gè)數(shù)，因此需對(duì)判別式Δ的符號(hào)進(jìn)行討論，確定根的個(gè)數(shù)．
②當(dāng)a＝4時(shí)，Δ＝0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集為{x|x≠－1}．③當(dāng)a＝－4時(shí)，Δ＝0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集為{x|x≠1}．④當(dāng)－4＜a＜4時(shí)，Δ＜0，方程無(wú)實(shí)根，故原不等式的解集為R．
[歸納提升]　在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，為了做到“不重不漏”，一般從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：(1)關(guān)于不等式類(lèi)型的討論：二次項(xiàng)的系數(shù)a＞0，a＝0，a＜0；(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)方程的根的討論：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無(wú)根(Δ＜0)；(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)方程的根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 解關(guān)于x的不等式：x2－2ax＋2≤0．
　　　　解關(guān)于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0．[解析]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解為x1＝－1，x2＝a，函數(shù)y＝x2＋(1－a)x－a的圖象開(kāi)口向上，則：當(dāng)a＜－1時(shí)，原不等式解集為{x|a＜x＜－1}；當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式解集為?；當(dāng)a＞－1時(shí)，原不等式解集為{x|－1＜x＜a}．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? 解關(guān)于x的不等式：x2－3ax－18a2＞0．[解析]　將x2－3ax－18a2＞0變形得(x－6a)(x＋3a)＞0，方程(x－6a)(x＋3a)＝0的兩根為6a，－3a．所以(1)當(dāng)a＞0時(shí)，6a＞－3a，原不等式的解集為{x|x＜－3a或x＞6a}．(2)當(dāng)a＝0時(shí)，6a＝－3a＝0，原不等式的解集為{x|x≠0}．(3)當(dāng)a＜0時(shí)，6a＜－3a，原不等式的解集為{x|x＜6a或x＞－3a}．
2．當(dāng)自變量x在什么范圍取值時(shí)，下列函數(shù)的值等于0？大于0？小于0?(1)y＝3x2－6x＋2；(2)y＝25－x2；(3)y＝x2＋6x＋10；(4)y＝－3x2＋12x－12．
(2)令25－x2＝0，則x＝±5，又由y＝25－x2圖象的開(kāi)口方向向下，故x＝±5時(shí)，函數(shù)的值等于0，當(dāng)－5＜x＜5時(shí)，函數(shù)值大于0；當(dāng)x＞5或x＜－5時(shí)，函數(shù)值小于0．(3)令x2＋6x＋10＝0，則方程無(wú)解，又由y＝x2＋6x＋10圖象的開(kāi)口方向朝上，故無(wú)論x為何值，函數(shù)值均大于0．(4)令－3x2＋12x－12＝0，則x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12圖象的開(kāi)口方向朝下，故x＝2時(shí)，函數(shù)的值等于0，當(dāng)x≠2時(shí)，函數(shù)值小于0．

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2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

版本： 人教A版 (2019)

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