考綱要求:
變式探究題比一般綜合題更能考查學(xué)生的分析、探索能力以及思維的發(fā)散、綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，難度適中，從而深受命題者的青睞，中考題型以填空題、解答題為主，難度一般不是很大．
基礎(chǔ)知識(shí)回顧:
解變式探究題時(shí)，一般先觀察、試驗(yàn)、類比、歸納、猜測(cè)出結(jié)論或條件，然后嚴(yán)格證明，解題的過(guò)程中通常要結(jié)合分類討論、數(shù)型結(jié)合、分析綜合，歸納猜想等數(shù)型思想方法.
應(yīng)用舉例:
類型一、特殊的四邊形的變式題
【例1】在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)P在邊CD上，tan∠PBC=，點(diǎn)Q是在射線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于點(diǎn)M，點(diǎn)R在射線AD上，使RQ始終與直線BP垂直．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；
（2）如圖2，試探索： 的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；若沒(méi)有變化，請(qǐng)求出它的比值；
（3）如圖3，若點(diǎn)Q在線段BP上，設(shè)PQ=x，RM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．
【答案】（1）；（2）；（3）；0≤x≤.
【解析】
（1）由題意，得,
在Rt△中， ∴
∵∴∴
∴
∵ ∴∴
∵∴△∽△
∴ ∴
∴
（2）答： 的比值隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有變化
理由：如圖，
∵∥
∴,
∵∴
∵ ∴
∴ ∴△∽△
∴
∵， ∴
∴的比值隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有變化,比值為
（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
∵∥∴
∵∴
∴∴
∵∥, ∥
∴∥∴
∵, ∴
又,
∴
∴
它的定義域是
類型二、三角形有關(guān)的變式題
【例2】數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？
經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長(zhǎng)CB到E，使BE=CD，連接AE，證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：
（1）小穎提出：如圖4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并給出證明．
（2）小華提出：如圖5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，不用證明．
【答案】（1）BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC?csα．
【解析】
試題解析：（1）BC+CD=AC；
理由：如圖1，延長(zhǎng)CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∵AB=AD，∠ABC=∠ADE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AC，
∵CE=CE+DE=CD+BC，
∴BC+CD=AC；
（2）BC+CD=2AC?csα．理由：如圖2，延長(zhǎng)CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，
∵∠ACB=∠ACD=α，
∴∠ACB+∠ACD=2α，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∵AB=AD，∠ABC=∠ADE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，
∴∠AEC=α，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE于F，
∴CE=2CF，
在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC?cs∠ACD=AC?csα，
∴CE=2CF=2AC?csα，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=2AC?csα．
類型三、圖形的旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱變式
【例3】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)H．
①求證：BD⊥CF； ②當(dāng)AB=2，AD=3 時(shí)，求線段DH的長(zhǎng)．
【答案】（1）BD=CF，理由見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②DH=．
【解析】
解：(l)、BD＝CF成立．
由旋轉(zhuǎn)得:AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,
∴△ABD≌△ACF, ∴BD＝CF.
(2) ①、由(1)得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN＝∠ADN，
∵∠HNF＝∠AND,∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF＝90° ，∴∠NHF＝90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②、如圖，連接DF，延長(zhǎng)AB，與DF交于點(diǎn)M.
∵四邊形ADEF是正方形， ∴∠MDA＝45°，
∵∠MAD＝45°，
∴∠MAD＝∠MDA,∠AMD＝90°，
∴AM=DM ∵AD=3 在△MAD中，，
∴AM＝DM＝3.∴MB＝AM-AB=3－2＝1，
在△BMD中，，
∴，
∵∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，
∴△DMB∽△DHF，
∴DM：DH=DB：DF，即，
解得，DH=．
方法、規(guī)律歸納:
解開(kāi)放型問(wèn)題時(shí)，一般先觀察、試驗(yàn)、類比、歸納、猜測(cè)出結(jié)論或條件，然后嚴(yán)格證明，解題的過(guò)程中通常要結(jié)合分類討論、數(shù)型結(jié)合、分析綜合，歸納猜想等數(shù)型思想方法.
實(shí)戰(zhàn)演練:
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè)，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥DA交DC于點(diǎn)E，M為AB的中點(diǎn)，連接MD，ME．
（1）如圖1，當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，當(dāng)∠ADC=60°時(shí)，試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，當(dāng)∠ADC=α?xí)r，求的值．
【答案】（1）MD=ME；（2）MD=ME；（3）tan．
【解析】
（1）MD=ME．如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于F，
∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，
∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，
∴MD=ME，故答案為：MD=ME；
（2）MD=ME，理由：
如圖2，延長(zhǎng)EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，
∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，
∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，
∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE==，∴MD=ME．
（3）如圖3，延長(zhǎng)EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)N，∴∠BNC=∠DAC，
∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，
∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，
在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan．
2. 如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．
（1）如圖1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求證：∠ABD＝∠ACE；
（2）如圖2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，問(wèn)：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（1）的條件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出PB的長(zhǎng)度．
【答案】（1）見(jiàn)詳解
（2）結(jié)論仍成立,理由見(jiàn)詳解
（3）PB=或.
【解析】
解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE,AB=AC,
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC,
∴△DAB≌△EAC（SAS）,
∴∠ABD=∠ACE,
（2）結(jié)論仍成立,
理由：∵∠ADE=∠ABC=30°，
∴tan30°=,
由（1）知, ∠DAB=∠EAC,
∴△DAB相似△EAC（相等角的對(duì)應(yīng)邊成比例）,
∴∠ABD=∠ACE,
（3）a、如下圖中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB-AE=2,
∵∠EAC=90°，
∴CE== =,
同（1）可證△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴,即,∴PB=,
b、如下圖中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=10,
∵∠EAC=90°，
∴CE== =,
同（1）可證△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴,即,∴PB=,
綜上，PB=或.
3．已知：△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接BE，CD，點(diǎn)F，G，H分別為DE，BE，CD中點(diǎn)．
（1）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，則△FGH的形狀為 ，說(shuō)明理由；
（2）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，若AB=3，AD=2，求線段FH的長(zhǎng)；
（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），則△FGH的周長(zhǎng)是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫出最大值和最小值；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）△FGH是等邊三角形；（2）；（3）△FGH的周長(zhǎng)最大值為（a+b），最小值為（a﹣b）．
【解析】
（2）如圖2中，連接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
（3）首先證明△GFH的周長(zhǎng)=3GF=BD，求出BD的最大值和最小值即可解決問(wèn)題；
試題解析：（1）結(jié)論：△FGH是等邊三角形．理由如下：
如圖1中，連接BD、CE，延長(zhǎng)BD交CE于M，設(shè)BM交FH于點(diǎn)O．
∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=EC，F(xiàn)H∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．
（2）如圖2中，連接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF==，在Rt△ABF中，BF= =，∴BD=CE=BF﹣DF=，∴FH=EC=．
（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等邊三角形，GF=BD，∴△GFH的周長(zhǎng)=3GF=BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值為a﹣b，最大值為a+b，∴△FGH的周長(zhǎng)最大值為（a+b），最小值為（a﹣b）．
4．請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問(wèn)題：
探究1：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，，，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD，連接求證：的面積為提示：過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DE，可證≌
探究2：如圖2，在一般的中，，，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD，連接請(qǐng)用含a的式子表示的面積，并說(shuō)明理由．
探究3：如圖3，在等腰三角形ABC中，，，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD，連接試探究用含a的式子表示的面積，要有探究過(guò)程．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）的面積為，理由詳見(jiàn)解析；（3）的面積為．
【解析】
如圖1，過(guò)點(diǎn)D作交CB的延長(zhǎng)線于E，
，
由旋轉(zhuǎn)知，，，，
，，
在和中，
，
≌
，
，；
的面積為，
理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，
，
線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BE，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如圖3，過(guò)點(diǎn)A作與F，過(guò)點(diǎn)D作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
，，
，
，，
，
線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，，
在和中，
，
≌，
，
，
的面積為．
5．．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，過(guò)點(diǎn)B作直線m∥AC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C（點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B′），射線CA′，CB′分別交直線m于點(diǎn)P，Q．
（1）如圖1，當(dāng)P與A′重合時(shí)，求∠ACA′的度數(shù)；
（2）如圖2，設(shè)A′B′與BC的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為A′B′的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在CA′，CB′的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形PA'B′Q的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）60°；（2）PQ＝；（3）存在，S△PCQ的最小值＝3，S四邊形PA'B′Q＝3﹣
【解析】
（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2．
∵∠ACB=90°，AB，AC=2，∴BC．
∵∠ACB=90°，m∥AC，∴∠A'BC=90°，∴cs∠A'CB，∴∠A'CB=30°，∴∠ACA'=60°；
（2）∵M(jìn)為A'B'的中點(diǎn)，∴∠A'CM=∠MA'C，由旋轉(zhuǎn)可得：∠MA'C=∠A，∴∠A=∠A'CM，∴tan∠PCB=tan∠A，∴PBBC．
∵∠BQC=∠BCP=∠A，∴tan∠BQC=tan∠A，
∴BQ=BC2，∴PQ=PB+BQ；
（3）∵S四邊形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ，
∴S四邊形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQPQ×BCPQ，
法一：（幾何法）取PQ的中點(diǎn)G．
∵∠PCQ=90°，∴CGPQ，即PQ=2CG，當(dāng)CG最小時(shí)，PQ最小，
∴CG⊥PQ，即CG與CB重合時(shí)，CG最小，∴CGmin，PQmin=2，
∴S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B'Q=3；
法二（代數(shù)法）設(shè)PB=x，BQ=y，由射影定理得：xy=3，∴當(dāng)PQ最小時(shí)，x+y最小，
∴（x+y）2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12，
當(dāng)x=y時(shí)，“=”成立，∴PQ，
∴S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B'Q=3．
6．已知△ABC與△DEC是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形．
（1）如圖①所示，連接AE，DB，試判斷線段AE和DB的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖②所示，連接DB，將線段DB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到DF，連接AF，試判斷線段DE和AF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．
【解析】
∵△ABC與△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；
（2）DE=AF，DE⊥AF．證明如下：
設(shè)DE與AF交于N，由題意得，BE=AD，
∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，
∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，
∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，
∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．
7．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE=BF．連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C．
（1）請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明；
（3）如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷．
【答案】（1）FG=CE，F(xiàn)G∥CE；（2）成立；（3）成立．
【解析】
（1）FG=CE，F(xiàn)G∥CE；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°，∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HGE，在△HGE與△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD，∵CE=BF，∴GH=BF，∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是矩形，∴GF=BH，F(xiàn)G∥CH，∴FG∥CE．∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；
（3）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，在△CBF與△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF平行四邊形，∴FG∥CE，F(xiàn)G=CE．
8. 如圖，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動(dòng)，連接BC，將∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí)，①請(qǐng)判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；
②請(qǐng)?zhí)骄烤€段AC，AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，BC交射線AM于點(diǎn)F，若AB=4，AC=，請(qǐng)直接寫出線段AD和DF的長(zhǎng)．
【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=BE；（2）AD=，DF=．
【解析】試題分析：（1）①結(jié)論：BC=BD．只要證明△BGD≌△BHC即可．②結(jié)論：AD+AC=BE．只要證明AD+AC=2AG=2EG，再證明EB=BE即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH， AD的長(zhǎng)，由sin∠ACH=，推出AK的長(zhǎng)，設(shè)FG=y，則AF=﹣y，BF=，由△AFK∽△BFG，可得，可得關(guān)于y的方程，求出y即可解決問(wèn)題．
試題解析：（1）①結(jié)論：BC=BD，
理由：如圖1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，
∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；
②結(jié)論：AD+AC=BE，
∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE?cs30°=BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE，∴AD+AC=BE；
（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，
由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，
易知BH=GB=2，AH=AG=EG=，BC=BD= =，CH=DG=，
∴AD=，∵sin∠ACH=，∴，∴AK=，
設(shè)FG=y，則AF=﹣y，BF=，
∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，
∴△AFK∽△BFG，∴，∴，解得y=或（舍棄），
∴DF=GF+DG=，即DF=．
9.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B、C重合），求證：BE=CF；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15°時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離．
【答案】（1）AE=EF=AF；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．
【解析】
（1）解：結(jié)論AE=EF=AF．
理由：如圖1中，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF．
（2）證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，
∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，
∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．
（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG﹣BG=，
∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=，
∴FH=CF?cs30°==，
∴點(diǎn)F到BC的距離為．
考點(diǎn)：1．四邊形綜合題；2．探究型；3．變式探究．
10．如圖，過(guò)、作x軸的垂線，分別交直線于C、D兩點(diǎn)拋物線經(jīng)過(guò)O、C、D三點(diǎn)．
求拋物線的表達(dá)式；
點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
若沿CD方向平移點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合，在平移的過(guò)程中與重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．
【答案】（1）；（2）或或；（3）．
【解析】
（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：yx2x．
（2）存在．
設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，求得k，∴直線OD解析式為yx．
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x），N（x，x2x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（x2x）|=|x2﹣4x|．
由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3，∴|x2﹣4x|=3．
若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x或x；
若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x，∴存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或或．
（3）∵C（1，3），D（3，1），∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為yx．
如解答圖所示，設(shè)平移中的三角形為△A'O'C'，點(diǎn)C'在線段CD上．
設(shè)O'C'與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；
設(shè)A'C'與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．
設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t，0），Q（1+t，t），C'（1+t，3﹣t）．
設(shè)直線O'C'的解析式為y=3x+b，將C'（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直線O'C'的解析式為y=3x﹣4t，∴E（t，0）．
聯(lián)立y=3x﹣4t與yx，解得：xt，∴P（t，t）．
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PGt，∴S=S△OFQ﹣S△OEPOF?FQOE?PG
（1+t）（t）?t?t
（t﹣1）2
當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為，∴S的最大值為．

相關(guān)學(xué)案

第2.5講 圓的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案：

這是一份第2.5講 圓的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案，共31頁(yè)。

第2.3講 圓的基本性質(zhì)-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）練習(xí)題學(xué)案：

這是一份第2.3講 圓的基本性質(zhì)-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）練習(xí)題學(xué)案，共17頁(yè)。學(xué)案主要包含了垂徑定理及其推論，圓周角定理及推論，圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計(jì)算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

第3.2講 閱讀理解題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案：

這是一份第3.2講 閱讀理解題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案，共12頁(yè)。學(xué)案主要包含了新概念問(wèn)題，圖表問(wèn)題，材料閱讀題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

第2.4講 切線的性質(zhì)和判定-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）練習(xí)題學(xué)案

第2.4講 切線的性質(zhì)和判定-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）練習(xí)題學(xué)案
第2.1講 相似形的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案

第2.1講 相似形的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案
第3.1講 探求規(guī)律題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案

第3.1講 探求規(guī)律題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案
第2.2講 四邊形的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案

第2.2講 四邊形的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部