第2.1講 相似形的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學熱點難點突破（教師版）學案

這是一份第2.1講 相似形的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學熱點難點突破（教師版）學案，共31頁。學案主要包含了函數(shù)與相似的綜合，圓與相似的綜合，動點中的相似問題，相似中的分類討論，相似在實際問題中的應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考綱要求:
1.了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割。
2.知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方。
3.了解兩個三角形相似的概念；知道相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方；會利用兩個三角形相似的條件判定兩個三角形相似。
4.會利用圖形的相似解決一些實際問題。
5.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。
基礎(chǔ)知識回顧:
應(yīng)用舉例:
招數(shù)一、函數(shù)與相似的綜合
【例1】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數(shù)y=（x＞0，m＞1）圖象上一點，點A的橫坐標為m，點B（0，﹣m）是y軸負半軸上的一點，連接AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使得AD=AC，過點A作AE平行于x軸，過點D作y軸平行線交AE于點E．
（1）當m=3時，求點A的坐標；
（2）DE= ，設(shè)點D的坐標為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；
（3）連接BD，過點A作BD的平行線，與（2）中的函數(shù)圖象交于點F，當m為何值時，以A、B、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？
【答案】（1）點A坐標為（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；（3）m=2時，以A、B、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
【解析】
（2）如圖，延長EA交y軸于點F，
∵DE∥x軸
∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，
∵AD=AC，
∴△FCA≌△EDA，
∴DE=CF，
∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），
（3）由題意可知，AF∥BD
當AD、BF為平行四邊形對角線時，
由平行四邊形對角線互相平分可得A、D和B、F的橫坐標、縱坐標之和分別相等
設(shè)點F坐標為（a，b）
∴a+0=m+2m
b+（﹣m）=m2﹣m+m2﹣m﹣1
∴a=3m，b=2m2﹣m﹣1
代入y=，得
2m2﹣m﹣1=，
解得m1=2，m2=0（舍去）
當FD、AB為平行四邊形對角線時，
同理設(shè)點F坐標為（a，b），
則a=﹣m，b=1﹣m，則F點在y軸左側(cè)，由（2）可知，點D所在圖象不能在y軸左側(cè)
∴此情況不存在，
綜上當m=2時，以A、B、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
【例2】如圖，以D為頂點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線BC的表達式為y=﹣x+3．
（1）求拋物線的表達式；
（2）在直線BC上有一點P，使PO+PA的值最小，求點P的坐標；
（3）在x軸上是否存在一點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）當Q的坐標為（0，0）或（9，0）時，以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似．
（2）如圖所示：作點O關(guān)于BC的對稱點O′，則O′（3，3）．
∵O′與O關(guān)于BC對稱，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．
∵O′A的方程為y=
∴P點滿足解得： ∴P ( ,)
如圖所示：連接AC，過點C作CQ⊥AC，交x軸與點Q．
∵△ACQ為直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
綜上所述，當Q的坐標為（0，0）或（9，0）時，以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似．
招數(shù)二、圓與相似的綜合
【例3】
招數(shù)三、動點中的相似問題
【例4】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止.設(shè)運動時間為t秒.
(1)設(shè)△CPQ的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式:
(2)如圖2，在運動過程中是否存在某一時刻t,使得沿PC翻折△CPQ所得到的到的四邊形CQPM是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由：
(3)是否存在某一時刻t，使得P、Q、B三點共線?若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由.
【答案】（1） （2）
【解析】
解：（1）如圖1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．
∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC?AC=AB?CD．∴CD===4.8．
過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖a所示．
（2）存在，理由：過點Q作QH⊥CP，垂足為H，如圖2所示．
∵CD⊥AB∴QH∥AB，
∴ = , =,即= ，=
∴QH=t，CH=t
當四邊形CQPM是菱形時，CQ=QP,CH=CP
∴t=（4.8-t），解得：
（3）由題意得，如圖3，當∠QPC=∠BPD時，點Q、P、B三點共線，
【例5】如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥BC．
（2）設(shè)△AQP面積為S（單位：cm2），當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（4）如圖2，把△AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）s（2）當t=s時，S取得最大值，最大值為cm2（3）不存在。理由見解析（4）存在，cm2
【解析】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形，∠C為直角。
（1）BP=2t，則AP=10﹣2t．
若PQ∥BC，則，即，解得。
∴當s時，PQ∥BC。
（3）不存在。理由如下：
假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此時S△AQP=12。
由（2）可知，S△AQP=，∴=12，化簡得：t2﹣5t+10=0。
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程無解，
∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分。
（4）存在。
假設(shè)存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，
則有AQ=PQ=BP=2t。
如圖2所示，過P點作PD⊥AC于點D，
則有PD∥BC，
∴△APD∽△ABC。
∴，即。
解得：PD=，AD=，
∴QD=AD﹣AQ=。
∴存在時刻t=，使四邊形AQPQ′為菱形，此時菱形的面積為cm2。
招數(shù)四、相似中的分類討論
【例6】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=（x-a）（x-3）（0