考綱要求:
1．了解四邊形的不穩(wěn)定性;理解平行四邊形、矩形、 菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系.
2．能利用平行四邊形、矩形、 菱形、正方形的性質定理與判定定理解決有關簡単問題.
3．運用平行四邊形、矩形、 菱形、正方形的有關內容解決有關問題.
基礎知識回顧:
1．平行四邊形的性質
平行四邊形的邊：平行四邊形的對邊平行且對邊相等．
平行四邊形的角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補．
平行四邊形的對角線：平行四邊形的對角線互相平分．
平行四邊形的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形．
平行四邊形的周長：一組鄰邊之和的倍．
平行四邊形的面積：底乘以高．
2.平行四邊形的判定
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
3．矩形的性質
矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，還具有自己獨特的性質：
① 邊的性質：對邊平行且相等．
② 角的性質：四個角都是直角．
③ 對角線性質：對角線互相平分且相等．
④ 對稱性：矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半．
4．矩形的判定
判定①：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
判定②：對角線相等的平行四邊形是矩形．
判定③：有三個角是直角的四邊形是矩形．
5．菱形的性質
菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，還具有自己獨特的性質：
① 邊的性質：對邊平行且四邊相等．
② 角的性質：鄰角互補，對角相等．
③ 對角線性質：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角．
④ 對稱性：菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
菱形的面積等于底乘以高，等于對角線乘積的一半．
6．菱形的判定
判定①：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
判定②：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
判定③：四邊相等的四邊形是菱形．
7．三角形的中位線
定理：三角形的中位線平行第三邊且長度等于第三邊的一半．
應用舉例:
招數(shù)一、特殊四邊形的性質、判定的綜合應用
【例1】請閱讀下列材料：
問題：如圖，在正方形和平行四邊形中，點，，在同一條直線上，是線段的中點，連接，．
探究：當與的夾角為多少度時，平行四邊形是正方形？
小聰同學的思路是：首先可以說明四邊形是矩形；然后延長交于點，構造全等三角形，經過推理可以探索出問題的答案．
請你參考小聰同學的思路，探究并解決這個問題．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）與的夾角為________度時，四邊形是正方形．說明理由：
【答案】(1)詳見解析；（2）90.
【解析】（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝90°，
∴?BEFG是矩形；
（2）90°；
理由：延長GP交DC于點H，
招數(shù)二、四邊形與函數(shù)的綜合
【例2】長方形ABCD位于平面直角坐標系中平行移動．
（1）如圖1，若AB⊥x軸且點A的坐標（﹣4，4），點C的坐標為（﹣1，﹣2），在邊AB上有動點P，過點P作直線PQ交BC邊于點Q，并使得BP＝2BQ．
①當S△BPQ＝S長方形ABCD時，求P點的坐標．
②在直線CD上是否存在一點M，使得△MPQ是以PQ為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出M點坐標：若不存在，請說明理由．
（2）如圖2，若AB⊥x軸且A、B關于x軸對稱，連接BD、OB、OD，且OB平分∠CBD，求證：BO⊥DO．
【答案】（1）①點P（﹣4，1），②點M坐標為（﹣1，）或（﹣1，﹣1）；（2）見解析.
②如圖，若∠MPQ＝90°，過點M作MN⊥AB于點N，
∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°
∴四邊形BCMN是矩形
∴MN＝BC＝3，BN＝CM，
∵MN⊥AB，∠MPQ＝90°，
∴∠BPQ+∠BQP＝90°，∠NPM+∠BPQ＝90°，
∴∠BQP＝∠MPN，且PQ＝PM，∠ABC＝∠PNM＝90°，
∴△PMN≌△QPB（AAS）∴PB＝MN＝3，BQ＝PN，
∵PB＝2BQ∴BQ＝＝PN ∴MC＝BN＝BP+PN＝
∴點M坐標（﹣1，）
如圖，若∠PQM＝90°，
（2）設BD與x軸的交點為E，連接AE，
∵A、B關于x軸對稱，
∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠ADB＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠ADB＝∠EAD，∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝BE，
∵AB⊥x軸，AB⊥BC，∴BC∥x軸，
∴∠EOB＝∠OBC，
招數(shù)三、四邊形的動點問題
【例3】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動。
（1）從運動開始，經過多少時間點P、Q、C、D為邊得四邊形是平行四邊形？
（2）從運動開始，經過多少時間點A、B、Q、P為邊得四邊形是矩形？
【解析】【試題分析】（1）根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求解；
（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
即當t=6.5s時，四邊形ABQP是矩形。
招數(shù)四、四邊形中的分類討論
【例4】如圖，矩形ABCD的邊BC與x軸重合，B、C對應的橫坐標是一元二次方程的兩根，E是AD與y軸的交點，其縱坐標為2，過A、C作直線交y軸于F.
（1）求直線AF的解析式．
（2）M是BC上一點，其橫坐標為2，在坐標軸上，你能否找到一點P，使？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.
（3）點Q是x軸上一動點，連接AQ,Q在運動過程中AQ+是否存在最小值？若存在，請求出AQ+最小值及Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）點的坐標為或或或.
當點P在軸上時：設點

解得：或
∴此時點的坐標為或
當點P在軸正半軸上時：點
∵=S梯形ABOP--=7.
∴
解得：
此時點的坐標為.
當點P在軸負半軸上時：點
作點A關于軸的對稱點過點作于點M,交軸于點Q，點即為所求.
招數(shù)五、四邊形中的幾何變換問題
【例5】如圖1，放置的一副三角尺，將含45°角的三角尺斜邊中點O為旋轉中心，逆時針旋轉30°得到如圖2，連接OB、OD、AD．
（1）求證：△AOB≌△AOD；
（2）試判定四邊形ABOD是什么四邊形，并說明理由．
【解析】
（1）證明：根據(jù)題意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC．
∵O為AC的中點，∴OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，OD⊥EF，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，由旋轉的性質得：∠AOE=30°，∴∠AOD=90°﹣30°=60°．
在△AOB和△AOD中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=60°，OB=OD，∴△AOB≌△AOD（SAS）；
（2）解：四邊形ABOD是菱形．理由如下：
∵△AOB≌△AOD，∴AB=AD，∴AB=AD=OB=OD，∴四邊形ABOD是菱形．
【例6】在菱形ABCD中，∠BAD=α，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合），將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數(shù)量關系．
（1）如圖1，當α=β=90°時，EB與EF的數(shù)量關系為 ．
（2）如圖2，當α=60°，β=120°時．
①依題意補全圖形；
②探究（1）的結論是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請舉出反例說明；
（3）在此基礎上對一般的圖形進行了探究，設∠ABE=γ，若旋轉后所得的線段EF與EB的數(shù)量關系滿足（1）中的結論，請直接寫出角α，β，γ滿足的關系： ．
【答案】(1)EB=EF；(2)①見解析；②結論依然成立EB=EF，證明見解析；(3)α+β=180°或°.
故答案為：EB＝EF；
（2）①補全圖形如圖2所示：
②結論依然成立EB＝EF．理由如下：
證法1：如圖3．
證法2：如圖4，連接ED．
（3）α+β=180°或°．
方法、規(guī)律歸納:
1. 解決平行四邊形的判定和性質綜合應用問題時．熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵．在判定一個四邊形是平行四邊形時，可通過已知條件選擇合適的判定定理進行證明，若有對角線時，通?？紤]利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明，而沒有對角線時，通常不利用此判定定理，注意，定義也是判定平行四邊形的常用定理．
2．解決和平行四邊形有關的計算和說理問題，關鍵是根據(jù)圖形的特點結合平行四邊形的性質以及平行線的有關性質進行分析．有的問題還需要將平行四邊形問題轉化為特殊三角形的問題，借助勾股定理解決．
3.運用矩形性質計算的一般思路：根據(jù)矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長是常用的思路，又因為矩形對角線相等且互相平分，故可借助對角線的關系得到全等三角形．矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形，可據(jù)此建立能夠得到線段或角度的等量關系．
4．與菱形有關的計算常涉及下面幾種：
(1)求長度(線段長或者周長)時，應注意使用等腰三角形的性質：若菱形中存在一個頂角為60°，則菱形被另外兩點連接的對角線所割的兩個三角形為等邊三角形，故在計算時，可借助等邊三角形的性質，同時也應注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進行計算；
(2)求面積時，可利用菱形的兩條對角線互相垂直，面積等于對角線之積的一半進行計算．
5．動點運動探索問題，需要根據(jù)點的運動找出不變量或變化規(guī)律，再結合諸如全等或四邊形的判定方法解決問題．
實戰(zhàn)演練:
1. 如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，點D是BC邊上一點且CD=1，點P是線段DB上一動點，連接AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt△AOP．當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長為_____．
【答案】2
【解析】
解：過O點作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，連接CO，如圖，
∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，∴CE=（AC+CP），
∴OC=CE=（AC+CP），
當AC=2，CP=CD=1時，OC=×（2+1）=，
當AC=2，CP=CB=5時，OC=×（2+5）=，
∴當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長=-=2．
故答案為2．
2.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點上一動點P從點C出發(fā)，沿CA方向以的速度向A運動，設點P運動時間為當t等于（ ）時， 是直角三角形．
A. B. 4s C. 或 D. 4s或
【答案】D
3. 如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點(且點P不與點B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點.設AM的長為x，則x的取值范圍是( )
A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4 C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.4
【答案】D
【解析】
∵∠BAC=90°，M為EF中點，∴AM=EF=AP，
當AP⊥BC時，AP值最小，
此時S△BAC=×6×8=×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范圍是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范圍是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P為邊BC上一動點，當P和C重合時，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
綜上所述，x的取值范圍是：2.4≤x＜4．
故選：D．
4.．如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理由？
（2）當點O運動何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由．
【解析】試題分析：
(2)由(1)得，OC=OE=OF，所以當OA=OC時，對角線AC與EF互相平分且相等，而對角線相等的平行四邊形是矩形，則當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.
5. 如圖，已知中，，把繞點沿順時針方向旋轉得到，連接，交于點．
求證：；
若，，當四邊形是菱形時，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
由旋轉的性質得：，且，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴；
6.在矩形紙片ABCD中，AD=8，AB=6，E是邊BC上的點，將紙片沿AE折疊，使點B落在點F處，連接FC，當△EFC為直角三角形時，BE的長為______．
【答案】3或6．
7.如圖所示，在⊙O中，直徑MN＝10，正方形ABCD的四個頂點分別在PM以及⊙O的半徑OM，OP上，并且∠POM＝45°，則AB的長為_______．
【答案】
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，∴CD=CO，∴BO=BC+CO=BC+CD，∴BO=2AB.
∵MN=10，∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB=.
8. 在 中，點為邊上一點，點為中點，連接，交于點，且；
（1）如圖1，若，，求的值;
（2）如圖2，若平分，且，過點作交于點且，求證：.
【答案】（1） （2）證明見解析
【解析】
在中，，,
由勾股定理得：.
在△中，，
，
則，
且，
，
，
在△與△中
△ △
，
，
，
即
9. 如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（6，6），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連結CH、CG．
（1）求證：CG平分∠DCB；
（2）在正方形ABCO繞點C逆時針旋轉的過程中，求線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關系；
（3）連結BD、DA、AE、EB，在旋轉的過程中，四邊形AEBD是否能在點G滿足一定的條件下成為矩形？若能，試求出直線DE的解析式；若不能，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2） HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y．
（2）由（1）證得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．
在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵，
∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．
設H點的坐標為（x，0），則HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．
在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，
由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H點的坐標為（2，0）．
設直線DE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），
將點H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：，解得：，
∴直線DE的解析式為：y．
故四邊形AEBD能為矩形，此時直線DE的解析式為：y．
10. ．問題情境:
在綜合實踐課上，張老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動，張老師拿著一張矩形紙片ABCD，其中AB=acm, AD=bcm, 如圖1，先沿對角線BD折疊，點C落在點E的位置，BE交AD于點F.
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）“奮進”小組發(fā)現(xiàn)與BF的長度一定相等的線段是哪一條；
（2）如圖2．“雄鷹”小組將圖1再折疊一次，使點D與點A重合，得到折痕GH，GH交AD于點M，發(fā)現(xiàn)△DGH是等腰三角形，請你證明這個結論；
實踐探究：
（3）“創(chuàng)新”小組將自己準備的矩形紙片按照（2）中“雄鷹”小組的作法操作，發(fā)現(xiàn)點E和點G重合，，如圖3，試探究“創(chuàng)新”小組準備的矩形紙片中a與b滿足的數(shù)量關系；
（4）”愛心”小組在其他小組的基礎上提出問題：當a與b滿足什么關系時，點G是DE的中點？請你直接出a與b滿足的關系.

【答案】（1）BF=DF,（2）△DGH是等腰三角形,（3）b=(4)a=b
【解析】
解：（1）BF=DF,
由折疊可知:AB=DE,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,
∴△AFB≌△EFD(AAS)
∴BF=DF,
（3）由題可知,點H為對角線BD上的中點,EH=ED,
在Rt△BED中,BD=2EH（斜邊中線等于斜邊一半）
∵AB=acm, AD=bcm,
∴EH=ED=AB= a,BD=
∴=a,整理得：b=

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