考綱要求:
探索規(guī)律型問題：指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所隱含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論．
基礎(chǔ)知識回顧:
1．數(shù)字猜想型：在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當?shù)挠嬎慊卮饐栴}．
2．數(shù)式規(guī)律型：通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容．
3．圖形規(guī)律型：圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，注意對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合．
4．數(shù)形結(jié)合猜想型：首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對應(yīng)關(guān)系．
5．動態(tài)規(guī)律型：要將圖形每一次的變化與前一次變化進行比較，明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
應(yīng)用舉例:
類型一、數(shù)字猜想型
【例1】．一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：23，33和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是_____．
【答案】41．
【解析】
∵23有3、5共2個奇數(shù),33有7、9、11共3個奇數(shù),43有13、15、17、19共4個奇數(shù)，
…，
63共有6個奇數(shù)，
∴到63“分裂”出的奇數(shù)為止，一共有奇數(shù)：2+3+4+5+6=20，
又∵3是第一個奇數(shù)，
∴第20個奇數(shù)為20×2+1=41，
即63“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是41.
故答案為：41.
類型二、數(shù)式規(guī)律型
【例2】觀察下面三行數(shù)
（1）第①行數(shù)的第n個數(shù)是 .
（2）請將第②行數(shù)中的每一個數(shù)分別減去第①行數(shù)中對應(yīng)位置的數(shù),并找出規(guī)律，根據(jù)你得到的結(jié)論，直接寫出第②行數(shù)的第n個數(shù)是 ； 同理，直接寫出第③行數(shù)的第n個數(shù)是 .
（3）取每行的第k個數(shù)，這三個數(shù)的和能否等于-509?如果能，請求出k的值；如果不能，請說明理由.
【答案】（1）(-2)n；（2）(-2)n+2；-(-2)n+1；（3）能；k=9.
【解析】
【分析】
（1）第一組，各數(shù)后一項是前一項的-2倍，
（2）第二組，各數(shù)依次相加了+6，-12，+24，-48，+96……,總結(jié)規(guī)律得第n個數(shù)是(-2)n+2，同理，第三組第n個數(shù)是-(-2)n+1，
（3）根據(jù)前兩問將第k個數(shù)表示出來，解關(guān)于k的方程即可。
【詳解】
（1）(-2)n；
（2）(-2)n+2；
（3）能；
(-2)k+[(-2)k+2]+[-(-2)k+1]=-509，
所以(-2)k=-512，
解得k=9.
類型三、圖形規(guī)律型：
【例3】把三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有4個三角形，第②個圖案中有6個三角形，第③個圖案中有8個三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中三角形的個數(shù)為（ ）
A． 12 B． 14 C． 16 D． 18
【答案】C
【解析】【分析】觀察第1個、第2個、第3個圖案中的三角形個數(shù)，從而可得到第n個圖案中三角形的個數(shù)為2（n+1），由此即可得.
類型四、數(shù)形結(jié)合猜想型：
【例4】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧；是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧，是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧，是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B、O、C、A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，那么點A5的坐標是______，點A2018的坐標是______．
【答案】（6，0）（0，﹣2016）
【解析】
【詳解】
解：觀察，找規(guī)律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，﹣（4n+2）），A4n+3=（﹣（4n+3），1）．
∵5=4+1，2016=504×4+2，
∴A5的坐標為（64+2，0）=（6，0），A2016的坐標為（0，﹣2016）．
故答案為：（6，0）；（0，﹣2016）．
類型五、動態(tài)規(guī)律型：
【例5】如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次．若AB=4，AD=3，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為（ ）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
【答案】D．
【解析】
考點：1．軌跡；2．矩形的性質(zhì)；3．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；4．規(guī)律型；5．綜合題．
方法、規(guī)律歸納:
數(shù)字規(guī)律：
①標序數(shù)(1，2，3，…，n)；
②找規(guī)律，觀察：
當所給的一組數(shù)字是整數(shù)時：
A.數(shù)字與序數(shù)的關(guān)系；B.數(shù)字的符號規(guī)律，若為正負號交替，則用或表示符號；
代數(shù)式規(guī)律：
①標序數(shù)(1，2，3，…，n)；
②找規(guī)律，觀察：A.系數(shù)、代數(shù)式字母的指數(shù)與序數(shù)的關(guān)系；B.符號規(guī)律方法同“數(shù)字規(guī)律”時.
圖形規(guī)律：
(1)基礎(chǔ)圖形固定累加：
①標序號：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，…，n”；
②數(shù)圖形個數(shù)：數(shù)出每組圖形的個數(shù)；
③尋找第n項(某項)的個數(shù)與序數(shù)n的關(guān)系：將后一個
圖形的個數(shù)與前一個圖形的個數(shù)進行對比，通常作差
來觀察累加個數(shù)，然后按照定量變化推導(dǎo)出關(guān)系式；
④驗證：代入序號驗證所歸納的式子是否正確．
(2)基礎(chǔ)圖形遞變累加：
①標序號：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，…，n”；
②數(shù)圖形個數(shù)：數(shù)出每組圖形的個數(shù)；
③尋找第n項(某項)的個數(shù)與序數(shù)n的關(guān)系：將后一個圖形的個數(shù)與前一個圖形的個數(shù)進行對比，通常作商來觀察圖形個數(shù)；或?qū)D形個數(shù)與n進行對比，尋找是否是與n有關(guān)的平方、平方加1、平方減1等關(guān)系；
④驗證：代入序號驗證所歸納的式子是否正確．
實戰(zhàn)演練:
1、根據(jù)以下圖形變化的規(guī)律，第2016個圖形中黑色正方形的數(shù)量是______．
【答案】3024
【解析】第1個圖形中黑色正方形的個數(shù)是2個，
第2個圖形中黑色正方形的個數(shù)是3個，
第3個圖形中黑色正方形的個數(shù)是5個，
第4個圖形中黑色正方形的個數(shù)是6個，
第5個圖形中黑色正方形的個數(shù)是8個，
第6個圖形中黑色正方形的個數(shù)是9個，
……
由此可知當n為奇數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的個數(shù)為個 ，
當n為偶數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的個數(shù)是個，
故第2016個圖形中黑色正方形的數(shù)量是3024個.
2. 在一列數(shù)：a1，a2，a3，…，an中，a1=3，a2=7，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它前兩個數(shù)之積的個位數(shù)字，則這一列數(shù)中的第2017個數(shù)是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】B．
【解析】
試題分析：依題意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；
周期為6；
2017÷6=336…1，所以a2017=a1=3．
故選B．
考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
3. 如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點（1，1），第2次接著運動到點（2，0），第3次接著運動到點（3，2），…，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2017次運動后，動點P的坐標是______．
【答案】( 2017 , 1 )
4. 觀察下列格式：
……
請按上述規(guī)律，寫出第n個式子的計算結(jié)果（n為正整數(shù)） ．（寫出最簡計算結(jié)果即可）
【答案】．
【解析】
試題分析：n=1時，結(jié)果為：；
n=2時，結(jié)果為：；
n=3時，結(jié)果為：；
所以第n個式子的結(jié)果為：．故答案為：．
5. 已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即當n為大于1的奇數(shù)時，Sn=；當n為大于1的偶數(shù)時，Sn=﹣Sn﹣1﹣1），按此規(guī)律，S2018=_____．
【答案】-
【解析】
【分析】
根據(jù)Sn的變化規(guī)律，得出Sn的值每6個為一個循環(huán)，由2018=336×6+2，可知S2018= S2.
【詳解】
由已知可得：
S1=，S2=-，S3=-，S4=-，S5=-（a+1）, S6=a, S7=?
根據(jù)Sn的變化規(guī)律，得出Sn的值每6個為一個循環(huán)，
因為，2018=336×6+2，
所以，S2018= S2=-.
故答案為：-
6.觀察下列各式：，
……
請利用你所得結(jié)論，化簡代數(shù)式＋＋＋…＋（n≥3且為整數(shù)），其結(jié)果為__________．
【答案】 ．
【解析】
7.如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā)，沿著箭頭所示方向，每次移動1個單位，依次得到點P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，則點P2017的坐標是 ．
【答案】（672，1）．
【解析】
8. 觀察下列各式及其驗證過程：
，驗證：．
，驗證：．
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程，猜想的變形結(jié)果并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用a（a為自然數(shù)，且a≥2）表示的等式，并給出驗證；
（3）用a（a為任意自然數(shù)，且a≥2）寫出三次根式的類似規(guī)律，并給出驗證說理過程．
【答案】（1）見解析；（2），驗收見解析；（3）見解析
【解析】
（1）∵，，
∴,驗證：
（2）由（1）中的規(guī)律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴，
驗證:
（3） （a為任意自然數(shù)，且a≥2），
驗證： ．
9. 圖①是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案,最上面一層有一個圓圈,以下各層均比上一層多一個圓圈,一共堆了n層.將圖①倒置后與原圖①拼成圖②的形狀,這樣我們可以算出圖①中所有圓圈的個數(shù)為1+2+3+…+n=.
如果圖③和圖④中的圓圈都有13層.

(1)我們自上往下，在圖③的每個圓圈中填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是___；
(2)我們自上往下，在圖④每個圓圈中填上一串連續(xù)的整數(shù)?23，?22，?21，?20，…，求最底層最右邊圓圈內(nèi)的數(shù)是___；
(3)求圖④中所有圓圈中各數(shù)之和.(寫出計算過程)
【答案】（1）79；（2）67；（3）2002.
【解析】
（1）當有13層時，前12層共有：1+2+3+…+12=78個圓圈，78+1=79，
故答案為：79；
（2）圖④中所有圓圈中共有1+2+3+…+13==91個數(shù)，其中23個負數(shù)，1個0，67個正數(shù)，
故答案為：67；
（3）圖④中共有91個數(shù)，分別為-23，-22，-21，…，66，67，
圖④中所有圓圈中各數(shù)的和為：
-23+（-22）+…+（-1）+0+1+2+…+67==2002.
10. 觀察下列等式：
（1）第1個等式：a1=； 第2個等式：a2=；
第3個等式：a3=； 第4個等式：a4=；
…
用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：an=___________=___________（n為正整數(shù)）；
（2）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為，1， ， ， ， ，…，按此規(guī)律，這列數(shù)中的第100個數(shù)是_______________．
【答案】 (-) （2）
【解析】試題分析:(1)觀察可得等式的變化規(guī)律:分子不變?yōu)?,分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積,它們與式子序號之間的關(guān)系為序號的2倍減1和序號的2倍加1,
(2)通過觀察可發(fā)現(xiàn):相鄰的兩個分數(shù),后一項的的分子與前一項的分子的差是3,后一項的分母與前一項的分母的差是2,所以第n個數(shù)為,然后把100代入即可求解.
試題解析:(1) ,
(2) 通過觀察可發(fā)現(xiàn)可得第n個數(shù)為,
所以當n=100時, .

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