考綱要求:
1．掌握判定直線與圓相切的方法，并能運(yùn)用直線與圓相切的方法進(jìn)行計(jì)算與證明．.
2．掌握直線與圓相切的性質(zhì)，并能運(yùn)用直線與圓相切的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明．.
基礎(chǔ)知識回顧:
應(yīng)用舉例:
招數(shù)一、利用切線進(jìn)行證明和計(jì)算。
【例1】
如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，且交⊙O于點(diǎn)E．連接OC，BE，相交于點(diǎn)F．
（1）求證：EF=BF；
（2）若DC=4，DE=2，求直徑AB的長．
【答案】(1)證明見解析；（2）10.
【解析】
（1）證明：，，
，，，
，；
即直徑的長是10．
【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)、，⊙的半徑為2(為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙的一條切線，為切點(diǎn)，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
招數(shù)二、添加輔助線法:通常利用添加輔助線來輔助證明圓的切線。
【例3】如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求證：AD是⊙O的切線．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半徑．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）證明：連接，
，，
，，
在中，，
，
，則為圓的切線；
【例4】如圖，△ABC中，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，求證：AC是⊙O的切線．
解析：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OD，OA，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，
∴AO是∠BAC的平分線，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，
∵AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端點(diǎn)且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切線．
招數(shù)三、切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用。
【例5】．如圖，在中，為上一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑作圓，與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn),且.
（1）求證：為的切線；
（2）若， ,求的長.
【答案】(1)證明見解析；（2）
在△OBC和△OBE中，
∴△OBC≌△OBE，
∴OE=OC，∴OE是⊙O的半徑 ，
∵OE⊥AB ，∴AB為⊙O的切線；

【例6】
如圖，已知A、B是⊙O上兩點(diǎn)，△OAB外角的平分線交⊙O于另一點(diǎn)C，CD⊥AB交AB的延長線于D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半徑．
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【解析】（1）證明：連接OC，如圖，
∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，
而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；
在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，
∴EH=9，BH=12，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=r-9，
在Rt△OHB中，（r-9）2+122=r2，解得r=，
即⊙O的半徑為．
方法、規(guī)律歸納:
1． 切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；③經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
2．證明一條直線為圓的切線時(shí)，必須兩個(gè)條件缺一不可：①過半徑外端點(diǎn)；②垂直于這條半徑。
3．常用輔助線的添加方法：①有切點(diǎn)連圓心，證垂直；②無切點(diǎn)作垂直，證相等。
4．利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)（勾股定理、三角函數(shù)等）進(jìn)行計(jì)算。
實(shí)戰(zhàn)演練:
1.如圖，AT切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑．若∠ABT=40°，則∠ATB= ．
2. 如圖等邊，以為直徑的交于點(diǎn)，交于，于，下列結(jié)論正確的是：________．①是中點(diǎn)；②；③是的切線；④．
【答案】①②③④
∵連接PE．
點(diǎn)P、E分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，BC=AC=AB（等邊三角形的三條邊相等），
∴PE=AB（三角形中位線定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代換），∴，故②正確；
連接OP．
∵點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，
∴OP是△ABC的中位線，∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，∴PF⊥OP，
∵點(diǎn)P在⊙O上，∴PF是⊙O的切線；故③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故答案為：①②③④．
3.⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)A，AB=OA，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以πcm/s的速度在⊙O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 s時(shí)，BP與⊙O相切．
4. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（1，0），半徑為1，點(diǎn)P為直線y=x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長PQ的最小值是______________．
【答案】2
故答案為2.
5.如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)且C，過點(diǎn)C作CD⊥PA于D，若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半徑．
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵AD：DC=1：3，
∴設(shè)AD=x，則DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO2=42+OM2．
∴（x+4）2=42+（3x）2，
解得 x1=0（不合題意，舍去），x2=1．
則 OA=MD=x+4=5．
∴⊙O的半徑是5．
6.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，點(diǎn)O在AB上，OB=2，以O(shè)B為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求弦BE的長．
7. 如圖，AB＝16，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上（不與點(diǎn)O，B重合），將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優(yōu)弧于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P， Q在AB異側(cè)，連接OP．
（1）求證：AP＝BQ；
（2）當(dāng)BQ＝4時(shí)，求扇形COQ的面積及的長（結(jié)果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部，請直接寫出OC的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）4＜OC＜8．
【解析】試題解析：（1）證明：連接OQ．
∵AP、BQ是⊙O的切線，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，∵OA=OB，OP=OQ，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，∴AP=BQ；
（3）∵△APO的外心是OA的中點(diǎn)，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，
OC的取值范圍為4＜OC＜8．
8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作⊙O的切線FG，交AB于點(diǎn)G，則FG的長為_____．
【答案】．
【解析】如圖，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB=10，
∴點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴CD=BD=AB=5，
連接DF，
∴FG⊥AB，
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，
∴FG=，
故答案為.
9.如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD，BA、CD的延長線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半徑．
解析：（1）證明：連結(jié)DO．
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=R，OE=R+1，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠EDO=90°，
∴ED2+OD2=OE2，
∴32+R2=（R+1）2，
解得R=4，
∴⊙O的半徑為4．
10. 已知：AB為⊙O的直徑，延長AB到點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的切線，切點(diǎn)為C，連接AC，且AC=CP.
（1）求∠P的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，且DE·DC=20，求⊙O的面積.（π取3.14）
【答案】（1）∠P=30°；（2）31.4.
【解析】（1）連接，
（2）連接，
為的中點(diǎn)，，
，
，即，
，，
，，
是的直徑，
1.切線
一般地，當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫直線與圓相切，其中的直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).
2.切線
的性質(zhì)
（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).
（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.
（3）切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.
3.切線
的判定
（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）.
（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.
（3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

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