銳角三角函數(shù) 【課時(shí)安排】2課時(shí)【第一課時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】（一）教學(xué)知識點(diǎn)。1．經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。2．能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡單的計(jì)算。（二）能力訓(xùn)練要求。1．經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。2．體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題，提高解決實(shí)際問題的能力。3．體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。（三）情感與價(jià)值觀要求。1．積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲。2．形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣。【教學(xué)重點(diǎn)】1．從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系。2．理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。【教學(xué)難點(diǎn)】理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比。【教學(xué)方法】引導(dǎo)——探索法。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課用動(dòng)畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現(xiàn)：問題1：在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎？問題2：隨著改革開放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起。70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過多少年的城市發(fā)展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎？你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎？通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決。這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起。（板書：從梯子的傾斜程度談起）二、講授新課演示如下內(nèi)容：師：梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w。我們經(jīng)常聽人們說這個(gè)梯子放的“陡”，那個(gè)梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的？“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的？請同學(xué)們看下圖，并回答問題。（一）在圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？生：梯子AB比梯子EF更陡。師：你是如何判斷的？生：從圖中很容易發(fā)現(xiàn)∠ABC＞∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡。生：我覺得是因?yàn)?/span>AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個(gè)梯子陡。BC＜FD，所以梯子AB比梯子EF陡。師：我們再來看一個(gè)問題。（二）在下圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？師：我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個(gè)更陡，就比較困難了。能不能從第（一）問中得到什么啟示呢？生：在第（一）問的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡。師：這位同學(xué)的想法很好。的確如此，在第（二）問的圖中，哪個(gè)梯子更陡，應(yīng)該從梯子AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷。那么請同學(xué)們算一下梯子AB和EF哪一個(gè)更陡呢？生：；。∵＜。∴梯子EF比梯子AB更陡。（三）演示：想一想：如圖，小明想通過測量B1C1及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度。你同意小亮的看法嗎？1．直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系？2．和有什么關(guān)系？3．如果改變B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？師：我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度。下面請同學(xué)們思考上面的三個(gè)問題，再來討論小明和小亮的做法。生：在上圖中，我們可以知道Rt△AB1C1和Rt△AB2C2是相似的。因?yàn)?/span>∠B2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根據(jù)相似的條件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2。生：由圖還可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2∥B1C1，Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2。生：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得：，即。如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到Rt△B2C2A∽Rt△B1C1A，仍能得到；因此，無論B2在梯子的什么位置（除A外），總成立。師：也就是說無論B2在梯子的什么位置（A除外），∠A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的。現(xiàn)在如果改變∠A的大小，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？生：∠A的大小改變，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變。師：你又能得出什么結(jié)論呢？生：∠A的對邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無關(guān)。也就是說，當(dāng)直角三角形中的一個(gè)銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定。師：這位同學(xué)回答得很棒?，F(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價(jià)？生：小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無關(guān)，即與直角三角形的大小無關(guān)。生：但我覺得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y量B1C1的長度，需攀到梯子的最高端，危險(xiǎn)并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成。師：這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡。我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)。由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即：tanA＝。（四）注意：1．tanA是一個(gè)完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”。2．tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比。3．tanA不表示“tan”乘以“A”。4．初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切。（五）思考：1．∠B的正切如何表示？它的數(shù)學(xué)意義是什么？2．前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖的梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎？生：1．∠B的正切記作tanB，表示∠B的對邊與鄰邊的比值，即tanB＝。2．我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在課本圖中，梯子越陡，tanA的值越大；反過來，tanA的值越大，梯子越陡。師：正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛。例如建筑、工程技術(shù)等，正切經(jīng)常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度。如圖，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m，就升高60m，那么山坡的坡度（即坡角α的正切——tanα）就是：tanα＝。這里要注意區(qū)分坡度和坡角。坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度。坡度越大，坡面就越陡。三、例題講解演示：例1：如圖是甲、乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡？分析：比較甲、乙兩個(gè)自動(dòng)電梯哪一個(gè)陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡。解：甲梯中，tanα＝乙梯中，tanβ＝因?yàn)?/span>tanβ＞tanα，所以乙梯更陡。例2：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，AB＝20cm，求tanA和tanB的值。分析：要求tanA，tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長度。解：在△ABC中，∠C＝90°所以AC＝＝16（cm）tanA＝tanB＝所以tanA＝，tanB＝。四、隨堂練習(xí)（一）如圖，△ABC是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎？分析：要求tanC，需從圖中找到∠C所在的直角三角形。因?yàn)?/span>BD⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中。然后求出∠C的對邊與鄰邊的比，即的值。解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC∴CD＝AC＝×3＝1.5在Rt△BDC中，tanC＝＝1（二）如圖，某人從山腳下的點(diǎn)A走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B，已知點(diǎn)B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度。（結(jié)果精確到0.001）分析：由圖可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA為山的坡度。解：根據(jù)題意：在Rt△ABC中，AB＝200m，BC＝55mAC＝≈5×38.46＝192.30（m）tanA＝≈0.286所以山的坡度為0.286。五、課時(shí)小結(jié)本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在“Rt△”中定義了tanA＝。接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在現(xiàn)實(shí)生活中是一個(gè)具有實(shí)際意義的一個(gè)很重要的概念。六、活動(dòng)與探究（江蘇鹽城）如圖，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1∶1.5的斜坡AD，求DB的長。（結(jié)果保留根號）過程：要求DB的長，需分別在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC。根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝12m，則可根據(jù)勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比為1∶1.5，即tanD＝1∶1.5，由BC＝AC，可求出CD。結(jié)果：根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，所以△ABC為等腰直角三角形。設(shè)BC＝AC＝xm，則x2＋x2＝144x＝6所以BC＝AC＝6在Rt△ADC中，tanD＝即＝，CD＝9所以DB＝CD－BC＝9－6＝3(m)【第二課時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】（一）教學(xué)知識點(diǎn)。1．經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義。2．能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比。
3．能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算。4．理解銳角三角函數(shù)的意義。（二）能力訓(xùn)練要求。1．經(jīng)歷類比、猜想等過程。發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。2．體會數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力。（三）情感與價(jià)值觀要求。1．積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲。2．形成合作交流的意識以及獨(dú)立思考的習(xí)慣。【教學(xué)重點(diǎn)】1．理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明。2．能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比。3．能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算。【教學(xué)難點(diǎn)】用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切。【教學(xué)方法】探索——交流法。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引入新課師：我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對邊與斜邊之比隨之確定。也就是說這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān)。并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切。現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問題：問題1：當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎？問題2：梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎？如果有，是怎樣的關(guān)系？二、講授新課1．上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類比正切還可以有如下定義：在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定。如圖，∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即sinA＝。∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即cosA=。銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)（trigonometric function）。師：你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是∠A的三角函數(shù)”呢？生：我們在前面已討論過，當(dāng)直角三角形中的銳角A確定時(shí)。∠A的對邊與斜邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值，∠A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定。在“∠A的三角函數(shù)”概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°；三個(gè)比值是因變量。當(dāng)∠A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng)。2．梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系。師：我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡。由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關(guān)系呢？如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系？生：如圖所示，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sinA=，在Rt△A1B1C中，sinA1=。∵＜，即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，所以梯子的傾斜程度與sinA有關(guān)系。sinA的值越大，梯子越陡。正弦值也能反映梯子的傾斜程度。生：同樣道理cosA=，cosA1＝。∵AB=A1B1＞即cosA>cosA1，所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系。cosA的值越小，梯子越陡。師：同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切。3．例題講解。例1：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200。sinA＝0.6，求BC的長。分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示∠A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA＝0.6，＝0.6。解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200。sinA＝0.6，即=0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120。思考：（1）cosA＝？（2）sinC＝？cosC＝？（3）上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論？解：根據(jù)勾股定理，得：AB＝=160。在Rt△ABC中，CB＝90°cosA＝＝0.8sinC==0.8cosC＝＝0.6由上面的計(jì)算可知：sinA＝cosC＝0.6cosA＝sinC＝0.8因?yàn)?/span>∠A+∠C＝90°，所以，結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”。例2：做一做：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？cosB、sinA呢？你還能得出類似例1的結(jié)論嗎？請用一般式表達(dá)。分析：這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用，同時(shí)進(jìn)一步滲透sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)=sinA．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝，cosA＝∴AB=sinB＝根據(jù)勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝()2－102=∴BC＝∴cosB＝sinA＝可以得出同例1一樣的結(jié)論。∵∠A+∠B=90°∴sinA：cosB=cos(90－A)，即sinA＝cos(90°－A)；cosA＝sinB＝sin(90°－A)，即cosA＝sin(90°－A)。三、隨堂練習(xí)（一）在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB。分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構(gòu)造∠B所在的直角三角形。根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可過A作AD⊥BC，D為垂足。解：過A作AD⊥BC，D為垂足。∴AB=AC，∴BD=DC=BC=3在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3∴AD＝4sinB＝cosB＝tanB=（二）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周長和面積。解：sinA=∵sinA=，BC＝20∴AB＝＝＝25在Rt△BC中，AC＝=15∴ABC的周長＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60△ABC的面積：AC×BC=×15×20＝150（三）補(bǔ)充練習(xí)。在△ABC中。∠C=90°，若tanA=，則sinA=     。解：如圖，tanA==設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得：AB=∴sinA=四、課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°＜∠A＜90°；三個(gè)比值是因變量。當(dāng)∠A確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)∠A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng)。類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來解決實(shí)際問題。五、活動(dòng)與探究已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝AB·BD。（用正弦、余弦函數(shù)的定義證明）過程：根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一個(gè)直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB．所以圖中含有三個(gè)直角三角形。例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及線段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定義得cosB＝，cosB=。結(jié)果：在Rt△ABC中，cosB＝又∵CD⊥AB∴在Rt△CDB中，cosB＝∴=BC2＝AB·BD 

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初中數(shù)學(xué)魯教版 (五四制)九年級上冊電子課本

1 銳角三角函數(shù)

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