XUE XI MU BIAO
1.理解組合的定義，正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)用組合知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)一　組合及組合數(shù)的定義
1.組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示.
知識(shí)點(diǎn)二　排列與組合的關(guān)系
1.從a1，a2，a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素作為一組是組合問(wèn)題.(　　)2.“abc”“acb”與“bac”是三種不同的組合.(　　)
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
4.兩個(gè)組合相同，則其對(duì)應(yīng)的元素一定相同.(　　)
例1　判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場(chǎng)？(2)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？
解　單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場(chǎng)比賽，沒有順序，是組合問(wèn)題.
解　冠、亞軍是有順序的，是排列問(wèn)題.
(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？
解　3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問(wèn)題.
解　3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，沒有順序，是組合問(wèn)題.
排列、組合辨析切入點(diǎn)(1)組合的特點(diǎn)是只選不排，即組合只是從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)不同的元素即可.(2)只要兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個(gè)組合就是相同的組合.(3)判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的是組合問(wèn)題.
跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)某鐵路線上有4個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票？
解　因?yàn)橐环N火車票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問(wèn)題.
(2)把5本不同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人一本；(3)從7本不同的書中取出5本給某個(gè)學(xué)生.
解　由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問(wèn)題.
解　從7本不同的書中，取出5本給某個(gè)學(xué)生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問(wèn)題.
例2　在A，B，C，D四位候選人中.(1)如果選舉正、副班長(zhǎng)各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果；
(2)如果選舉兩人負(fù)責(zé)班級(jí)工作，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果；
組合個(gè)數(shù)的求解策略(1)枚舉法：書寫時(shí)常以首字母為切入點(diǎn)，相同元素的不必重復(fù)列舉，如本例中，先枚舉以字母A開頭的組合，再枚舉以字母B開頭的組合，直到全部枚舉完畢.
跟蹤訓(xùn)練2　從5個(gè)不同元素a，b，c，d，e中取出2個(gè)，共有多少種不同的組合？請(qǐng)寫出所有組合.
解　先將元素按照一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個(gè)組合逐個(gè)寫出來(lái)，如圖所示：
由此可得所有的組合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10種.
例3　有10名教師，其中6名男教師，4名女教師.(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有____種不同的選法；
解析　從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，
(2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議，有____種不同的選法；
解析　可把問(wèn)題分兩類情況：
(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有____種不同的選法.
利用排列與組合之間的關(guān)系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的計(jì)算方法，借助排列數(shù)求組合數(shù).
跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？
解　從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，
(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？
解　從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，
(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？
解　由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，
1.(多選)下面四組元素，是相同組合的是A.a，b，c—b，c，a B.a，b，c—a，c，bC.a，c，d—d，a，c D.a，b，c—a，b，d
2.從5名同學(xué)中推選4人去參加一個(gè)會(huì)議，則不同的推選方法種數(shù)是A.10 B.5 C.4 D.1
解析　組合問(wèn)題，可從對(duì)立面考慮，選出一人不參加會(huì)議即可，故有5種方法.
3.在橋牌比賽中，發(fā)給4名參賽者每人一手由52張牌的四分之一(即13張牌)組成的牌，一名參賽者可能得到的不同的牌為A.4×13手 B.134手C.A 手 D.C 手
解析　本題實(shí)質(zhì)上是從52個(gè)元素中取13個(gè)元素為一組，故一名參賽者可能得到C 手不同的牌.
4.下列問(wèn)題中，組合問(wèn)題有______，排列問(wèn)題有____.(填序號(hào))①?gòu)?,3,5,9中任取兩個(gè)數(shù)相加，所得不同的和；②平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)；③從甲、乙、丙三名同學(xué)中選兩名同學(xué)參加不同的兩項(xiàng)活動(dòng).
解析?、佗跒榻M合問(wèn)題，③為排列問(wèn)題.
5.已知a，b，c，d這四個(gè)元素，則每次取出2個(gè)元素的所有組合為_______________________.
ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析　可按a→b→c→d順序?qū)懗?，?br/>所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd.
1.知識(shí)清單：(1)組合與組合數(shù)的定義.(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系.(3)用列舉法寫組合.2.方法歸納：枚舉法.3.常見誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”.
KE TANG XIAO JIE
1.(多選)給出下面幾個(gè)問(wèn)題，其中是組合問(wèn)題的有A.由1,2,3,4構(gòu)成的含有2個(gè)元素的集合個(gè)數(shù)B.五個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽的比賽場(chǎng)次數(shù)C.由1,2,3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)D.由1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)
3.已知平面內(nèi)A，B，C，D這4個(gè)點(diǎn)中任何3點(diǎn)不共線，則由其中每3點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的個(gè)數(shù)為A.3 B.4 C.12 D.24
解析　由于與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題，共有4個(gè)：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
4.某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個(gè)自然村，且這些村莊分布零散沒有任何三個(gè)村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為A.4 B.8 C.28 D.64
解析　由于“村村通”公路的修建，是組合問(wèn)題，
5.某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中有兩名種子選手，現(xiàn)要選5名隊(duì)員參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，種子選手都必須在內(nèi)，則不同的選法有
6.從9名學(xué)生中選出3名參加“希望英語(yǔ)”口語(yǔ)比賽，有___種不同選法.
7.若已知集合P＝{1,2,3,4}，則集合P的子集中含有2個(gè)元素的子集數(shù)為____.
8.有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，則不同方法的種數(shù)是____.(用數(shù)字作答)
9.判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).(1)10個(gè)人相互寫一封信，一共寫了多少封信？
(2)10個(gè)人相互通一次電話，一共通了多少次電話？
(3)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)？
(4)從10個(gè)人中選3人去開會(huì)，有多少種選法？
(5)從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？
10.平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線.(1)以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？
即以10個(gè)點(diǎn)中的任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有45條.
(2)以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段有多少條？
即以10個(gè)點(diǎn)中的任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有90條.
(3)以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有多少個(gè)？
解　所求三角形的個(gè)數(shù)，即為從10個(gè)元素中任選3個(gè)元素的組合數(shù)，
11.(多選)下列問(wèn)題是組合問(wèn)題的有A.10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮危还参帐侄嗌俅蜝.平面上有2 021個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可　以構(gòu)成多少條線段C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)D.從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)　舞節(jié)目，有多少種選法
解析　組合問(wèn)題與次序無(wú)關(guān)，排列問(wèn)題與次序有關(guān)，D選項(xiàng)中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是兩個(gè)不同的選法，因此是排列問(wèn)題，不是組合問(wèn)題，故選ABC.
12.從5人中選3人參加座談會(huì)，其中甲必須參加，則不同的選法有A.60種 B.36種 C.10種 D.6種
13.從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，若按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為A.224 B.112 　　 C.56 D.28
解析　由分層抽樣知，應(yīng)從8名女生中抽取2名，從4名男生中抽取1名，
14.從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，有m個(gè)不同的積，任取兩個(gè)不同的數(shù)相除，有n個(gè)不同的商，則m∶n＝______.
15.某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道.(如圖)
(1)圖中有_____個(gè)矩形；
(2)從A點(diǎn)走向B點(diǎn)最短的走法有_____種.
解析　每條東西向的街道被分成6段，每條南北向的街道被分成4段，從A到B最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每種走法，即是從10段中選出6段，
16.某次足球比賽共12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行.(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；
解　小組賽中每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，就是6支球隊(duì)的任兩支球隊(duì)都要比賽一次，所需比賽的場(chǎng)次即為從6個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)，
(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場(chǎng)交叉淘汰賽(每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng))決出勝者；
解　半決賽中甲組第一名與乙組第二名(乙組第一名與甲組第二名)主客場(chǎng)各賽一次，所以半決賽共要比賽2×2＝4(場(chǎng)).
(3)決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加決賽一場(chǎng)，決出勝負(fù).問(wèn)：全部賽程共需比賽多少場(chǎng)？
解　決賽只需比賽1場(chǎng)，即可決出勝負(fù).所以全部賽程共需比賽30＋4＋1＝35(場(chǎng)).

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