第二十一章  一元二次方程
23.1圖形的旋轉(zhuǎn)一、選擇題（本題包括8小題，每小題只有1個選項符合題意）1.下列每個圖中都有一對全等三角形，其中的一個三角形只經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)運動即可和另一個三角形重合的是（   ）A.     B.     C.     D. 2.如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形AB′C′D′的位置，旋轉(zhuǎn)角為若∠1=112°，則的大小是（   ）A. 68°    B. 20°    C. 28°    D. 22°3.如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′，使得點B′恰好落在對角線BD上，連接DD′，則DD′的長度為（   ）A.     B.     C. +1    D. 24.一個菱形繞它的兩條對角線的交點旋轉(zhuǎn)，使它和原來的菱形重合，那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是（   ）A. 360°    B. 270°    C. 180°    D. 90°5.如圖，在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=30°，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時針旋轉(zhuǎn)得△ACD（D點未畫出），當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC//OA時，旋轉(zhuǎn)角的大小為（   ）A. 75°    B. 60°    C. 45°    D. 30°6.如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=4，將△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，若點F是DE的中點，連接AF，則AF的長為（   ）A. 3    B. 4    C. 5    D. 7.如圖，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論錯誤的是（   ）A. 沿AE所在直線折疊后，△ACE和△ADE重合B. 沿AD所在直線折疊后，△ADB和△ADE重合C. 以A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ACE逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與△ADB重合D. 以A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ACB逆時針旋轉(zhuǎn)270°后與△DAC重合8. 如圖，已知A（1，3），將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到OA′，則OA′的長度是（   ）A.     B. 3    C.     D. 1二、解答題（本題包括4小題）9.如圖，已知點A，B的坐標(biāo)分別為（0，0）、（2，0），將△ABC繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1.  （1）畫出△A1B1C；（2）A的對應(yīng)點為A1，寫出點A1的坐標(biāo)；（3）求出B旋轉(zhuǎn)到B1的路線長．  10.如圖，在已知的平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，若A，B兩點的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B（0，3）．（1）將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，與△ABC位似的△A2B2C2滿足A2B2：AB=2：1，請在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，并直接填寫△A2B2C2的面積為______．       11.如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點O在AC上，且AO=3，點P是AB上的一動點，連結(jié)OP，將線段OP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，要使點D恰好落在BC上，求AP的長．       12. △ABC和△DEF的頂點A與D重合，已知∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，∠FDE=90°，DF=DE=4．（1）如圖①，EF與邊AC、AB分別交于點G、H，且FG=EH.設(shè)，在射線DF上取一點P，記：，聯(lián)結(jié)CP設(shè)△DPC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）在（1）的條件下，求當(dāng)x為何值時PC//AB；（3）如圖②，先將△DEF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E恰好落在AC邊上，在保持DE邊與AC邊完全重合的條件下，使△DEF沿著AC方向移動.當(dāng)△DEF移動到什么位置時，以線段AD、FC、BC的長度為邊長的三角形是直角三角形．      參考答案 一、選擇題1.【答案】D【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及軸對稱變換性質(zhì)分別分析得出即可．A、無法借助旋轉(zhuǎn)得到，故此選項錯誤；B、無法借助旋轉(zhuǎn)得到，故此選項錯誤；C、可以借助軸對稱得到，故此選項錯誤；D、可以只經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)運動即可和另一個三角形，故此選項正確．故選：D．點評：此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2.【答案】D【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形AB′C′D′的位置，旋轉(zhuǎn)角為α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°.∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故選D．3.【答案】A【解析】先求出∠ABD′=60°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到AB=AB′，進(jìn)而得到△ABB′是等邊三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAD′=60°，結(jié)合AD=AD′，可得到△ADD′是等邊三角形，最后得到DD′的長度．∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AD=BC=，∴tan∠ABD==，∴∠ABD=60°，∵AB=AB′，∴△ABB′是等邊三角形，∴∠BAB′=60°，∴∠DAD′=60°，∵AD=AD′，∴△ADD′是等邊三角形，∴DD′=AD=BC=，故選A．4.【答案】C【解析】∵菱形是中心對稱圖形，∴把菱形繞它的中心旋轉(zhuǎn)，使它與原來的菱形重合，旋轉(zhuǎn)角為180°的整數(shù)倍，∴旋轉(zhuǎn)角至少是180°．故選C．點睛：旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．5.【答案】B【解析】∵BC∥OA，∠O=90°，∴∠O+∠OBC=180°，∴∠OBC=90°.又∵∠ABO=30°，∴∠ABC=60°，又∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，則旋轉(zhuǎn)角是60°．故選B．6.【答案】C【解析】如圖所示,過點F作FG⊥AC．∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CE=BC=4,CD=AC=6,∠ECD=∠BCA=90°，∴AE=AC-CE=2．∵FG⊥AC，CD⊥AC，∴FG∥CD．又∵F是ED的中點，∴G是CE的中點，∴EG=2，FG=CD=3．∴AG=AE+EG=4．∴AF==5．故選C．7.【答案】D【解析】A，由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，則AD=AC，∠BAC=45°，于是∠EAD=135°，∠CAE=135°，所以△ACE≌△ADE，所以A選項的結(jié)論正確；B、由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，則AB=AE，∠BAC=45°，于是∠BAD=135°，∠DAE=135°，所以△ADB≌△ADE，所以B選項的結(jié)論正確；C、由A、B選項得到∠CAD=90°，∠BAE=90°，AB=AE，AD=AC，所以以A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ACE逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與△ADB重合，所以C選項的結(jié)論正確；D、由于四邊形ABCD是平行四邊形，則△ACB與△DAC為全等的等腰直角三角形，△ACB與△DAC只能經(jīng)過翻折和平移才能重合，所以D選項的結(jié)論錯誤．故選D．8.【答案】A【解析】∵A點坐標(biāo)為（1，3），∴OA==.∵線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到OA′，∴OA′=OA=．故選A．點睛：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．二、解答題9.【答案】（1）見解析；（2）由圖可知A1（0，6）；（3）【解析】 (1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)首先得出各點旋轉(zhuǎn)后的點的位置，然后順次連接各點得出圖形；(2)根據(jù)圖形得出點的坐標(biāo)；(3)根據(jù)弧長的計算公式求出答案．解：(1)△A1B1C如圖所示．(2)A1（0，6）．(3)弧BB1=．10.【答案】10【解析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，再利用三角形面積求法得出答案．解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求，△A2B2C2的面積為：4×6-×2×6-×2×4-×2×4=10．故答案為：10．11.【答案】6解：已知線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，得∠DCP=60°,CP=CD；所以∠COD+∠POA=120°.又在△APO中，∠AOP+∠APO=120°，得∠APO =∠COD.又因為∠A =∠C，所以△APO≌△COD, AP=CO=9-3=6考點：旋轉(zhuǎn)，全等的性質(zhì)及判定.12.【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)移動到AD=時，以線段AD、FC、BC的長度為邊長的三角形是直角三角形．  【解析】（1）首先證明△DFG≌△DEH（SAS），進(jìn)而得出∠FDG=∠EDH，進(jìn)而得出DF=||=x||=x||=4x，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，可得PH′=DP=2x，由y=S△PDC=DC?PH′求出即可；（2）由（1）知∠FDG=30°，得出∠FDG=∠DCP，以及DP=PC若PH⊥AB  則M是DC的中點 DM=6，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，利用cos∠FDG=求出AP的長，進(jìn)而得出x的值；（3）分別利用線段AD、FC、BC的長為斜邊時求出符合條件的值即可．解：（1）如圖①，過P作PH′⊥AC于H′．∵DF=DE，∴∠DFE=∠E在△DFG和△DEH中，∴△DFG≌△DEH（SAS），∴∠FDG=∠EDH.∵∠FDE=90°，且∠FDE=∠FDG+∠EDH+∠BAC∵∠BAC=30°，∴∠FDG=30°.∵DF=4，∴||=4.∵=x=x，∴DP=||=x||=x||=4x，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，∴PH′=DP=2x，∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，∴AC=CD=12，y=S△PDC=DC?PH′=×12?2x=12x（x＞0）；（2）∵PC∥AB，∴∠BAC=∠DCP.∵∠BAC=30°，∴∠DCP=30°.由（1）知∠FDG=30°，∴∠FDG=∠DCP，∴DP=PC.若PH⊥AB，則M是DC的中點 DM=6，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，cos∠FDG===，∴AP=4，DP=AP=4x，∴x=；（3）如圖②，設(shè)AD=t，DC=12-t （0＜t＜12），FC2=DF2+DC2=42+（12-t）2，①AD2=FC2+BC2，t2=42+（12-t）2+36  解得：t=（FC至少等于4，故不合題意，舍去）②BC2=FC2+AD2，36=42+（12-t）2+t2，無解，③FC2=BC2+AD2 ，∴42+（12-t）2=36+t2，解得t=，∴當(dāng)△DEF移動到AD=時，以線段AD、FC、BC的長度為邊長的三角形是直角三角形．                        圖①                                                圖②  

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23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)

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