?專題02實數(shù)（含解析）
一．平方根（共5小題）
1．16的平方根是　　
A． B． C．4 D．
2．若，則是　　
A． B．2 C．或2 D．4
3．下列各數(shù)中，沒有平方根的是　　
A． B． C． D．
4．已知正數(shù)的兩個平方根是和，則　?。?br /> 5．的平方根是　?。?br /> 二．算術(shù)平方根（共4小題）
6．實數(shù)9的算術(shù)平方根是　　
A． B．81 C．3 D．
7．若方程的解分別為，，且，下列說法正確的是　　
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算術(shù)平方根 D．是5的算術(shù)平方根
8．下列式子中，正確的是　　
A． B． C． D．
9．9的算術(shù)平方根等于　?。?br /> 三．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共3小題）
10．如果，則　?。?br /> 11．若，則的取值范圍是　?。?br /> 12．當　 　時，有最大值，最大值是　 ?。?br /> 四．立方根（共5小題）
13．下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
14．給出下列4個說法：
①只有正數(shù)才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的數(shù)只有0；
④27的立方根是．其中，正確的有　　
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
15．下列式子中，正確的是　　
A． B． C． D．
16．的平方根是，64的立方根是，則的值為　　
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
17．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
五．計算器—數(shù)的開方（共5小題）
18．有一個計算器，計算時只能顯示1.41421356237十三位（包括小數(shù)點），現(xiàn)在想知道7后面的數(shù)字是什么，可以在這個計算器中計算下面哪一個值　　
A． B． C． D．
19．用計算器求2012的平方根時，下列四個鍵中，必須按的鍵是　　
A． B． C． D．
20．用計算器計算：　 ?。ň_到
21．（1）方程的解是　 ?。?br /> （2）用計算器計算：　 ?。ńY(jié)果保留三個有效數(shù)字）
22．按要求填空：
（1）填表：

0.0004
0.04
4
400





（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)規(guī)律填空：
已知：，則　　，　?。?br /> 已知：，，則　　．
六．無理數(shù)（共4小題）
23．下列各數(shù)中，不是無理數(shù)的是　　
A． B．
C． D．
24．下列四個數(shù)中，無理數(shù)是　　
A． B．0 C．0.12 D．
25．下列各數(shù)：，0，，，，（相鄰兩個3之間多一個，中，無理數(shù)的個數(shù)為　　
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
26．在3.14、，，，，這5個數(shù)中，無理數(shù)有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
七．實數(shù)（共5小題）
27．2020年3月14日，是人類第一個“國際數(shù)學日”．這個節(jié)日的昵稱是“”．在古代，一個國家所算得的圓周率的精確程度，可以作為衡量這個國家當時數(shù)學與科技發(fā)展水平的一個主要標志．我國南北朝時的祖沖之是世界上最早把圓周率的精確值計算到小數(shù)點后第7位的科學巨匠，該成果領先世界一千多年．以下對于圓周率的四個表述：
①圓周率是一個有理數(shù)；
②圓周率是一個無理數(shù)；
③圓周率是一個與圓的大小有關(guān)的常數(shù)；
④圓周率是一個與圓的大小無關(guān)的常數(shù)．
其中表述正確的序號是　　
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
28．下列各數(shù)中，是有理數(shù)的是　　
A． B．2.2 C． D．
29．下列關(guān)于的說法，錯誤的是　　
A．是無理數(shù) B．面積為2的正方形邊長為
C．是2的算術(shù)平方根 D．的倒數(shù)是
30．下列說法正確的是　　
A．任何實數(shù)都有平方根 B．無限小數(shù)是無理數(shù)
C．負數(shù)沒有立方根 D．的立方根是
31．在，，這三個實數(shù)中，分數(shù)是　?。?br /> 八．實數(shù)的性質(zhì)（共3小題）
32．下列說法中正確的是　　
A．立方根是它本身的數(shù)只有1和0
B．算術(shù)平方根是它本身的數(shù)只有1和0
C．的算術(shù)平方根是4
D．絕對值是它本身的數(shù)只有1和0
33．下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的一組是　　
A．2與 B．與 C．與 D．2與
34．下列說法中，不正確的是　　
A．的絕對值是 B．的相反數(shù)是
C．的立方根是2 D．的倒數(shù)是
九．實數(shù)與數(shù)軸（共4小題）
35．實數(shù)，在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是　　

A． B． C． D．
36．如圖，數(shù)軸上兩點、所對應的實數(shù)分別為、，則的結(jié)果可能為　　

A．4 B．3 C．2 D．
37．數(shù)軸上、、三點分別對應實數(shù)、、，點、關(guān)于點對稱，若，，則下列各數(shù)中，與最接近的數(shù)是　　
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
38．正方形在數(shù)軸上的位置如圖所示，點，對應的數(shù)分別為0和1，若正方形繞頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點所對應的數(shù)為2；按此規(guī)律繼續(xù)翻轉(zhuǎn)下去，則數(shù)軸上數(shù)2020所對應的點是　　

A．點 B．點 C．點 D．點
一十．實數(shù)大小比較（共3小題）
39．若，，表示、、三個數(shù)中的最小值，則當且，，時，的最大值為　　
A． B．4 C． D．
40．下列四個實數(shù)中，最小的數(shù)是　　
A． B． C．0 D．
41．下列四個數(shù)：，，，中，絕對值最大的數(shù)是　　
A． B． C． D．
一十一．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）
42．已知，介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
43．與最接近的整數(shù)是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
一十二．實數(shù)的運算（共5小題）
44．實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡　?。?br />
45．已知，、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，求　 ?。?br /> 46．計算：
（1）；
（2）．
47．對于任意實數(shù)，，定義一種新的運算公式：⊕，如6⊕．
（1）計算：⊕；
（2）已知⊕，求的值．
48．計算：
（1）；
（2）．

專題02實數(shù)（含解析）
參考答案與試題解析
一．平方根（共5小題）
1．16的平方根是　　
A． B． C．4 D．
【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可．
【解答】解：因為，
所以16的平方根是，
故選：．
【點評】此題考查了平方根的定義，熟知一個正數(shù)有兩個平方根，且這兩個平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．．
2．若，則是　　
A． B．2 C．或2 D．4
【分析】先求出，再開平方求出的值．
【解答】解：，
，
解得：．
故選：．
【點評】本題考查了平方和平方根有關(guān)知識，注意不要漏解．
3．下列各數(shù)中，沒有平方根的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)即可進行求解．
【解答】解：、，負數(shù)沒有平方根，符合題意；
、，正數(shù)有兩個平方根，不符合題意；
、，正數(shù)有兩個平方根，不符合題意；
、，正數(shù)有兩個平方根，不符合題意；
故選：．
【點評】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
4．已知正數(shù)的兩個平方根是和，則　4　．
【分析】一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，據(jù)此可得關(guān)于的一元一次方程，解一元一次方程可得的值．
【解答】解：正數(shù)的兩個平方根是和，
，
解得：，
故答案為：4．
【點評】此題主要考查了平方根的定義，正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．
5．的平方根是　?。?br /> 【分析】根據(jù)平方根的意義即可得出答案．
【解答】解：因為，
所以的平方根是，
故答案為：．
【點評】本題考查平方根的意義，理解平方根的意義是得出正確答案的前提．
二．算術(shù)平方根（共4小題）
6．實數(shù)9的算術(shù)平方根是　　
A． B．81 C．3 D．
【分析】直接利用算術(shù)平方根的定義得出答案．
【解答】解：實數(shù)9的算術(shù)平方根是：3．
故選：．
【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
7．若方程的解分別為，，且，下列說法正確的是　　
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算術(shù)平方根 D．是5的算術(shù)平方根
【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義逐一判斷即可．
【解答】解：若方程的解分別為，，且，
則是5的算術(shù)平方根．
故選：．
【點評】本題主要考查看平方根與算術(shù)平方根，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵，算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根，記為；平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于，這個數(shù)就叫做的平方根，也叫做的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．
8．下列式子中，正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義逐一判斷即可得．
【解答】解：．沒有意義，此選項錯誤；
．，此選項錯誤；
．，此選項正確；
．，此選項錯誤；
故選：．
【點評】本題主要考查算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義．
9．9的算術(shù)平方根等于　3?。?br /> 【分析】一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根，記為．
【解答】解：，
故答案為：3．
【點評】本題考查了算術(shù)平方根的定義，解題時注意算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別．
三．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共3小題）
10．如果，則　?。?br /> 【分析】根據(jù)兩個非負數(shù)的和是0，即可得到這兩個數(shù)都等于0，從而得到關(guān)于，的方程求得，的值，進而求得代數(shù)式的值．
【解答】解：根據(jù)題意得：，，
解得：，，
則．
故答案是：．
【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確理解幾個非負數(shù)的和是0，則每個數(shù)都等于0是解題的關(guān)鍵．
11．若，則的取值范圍是　?。?br /> 【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于的不等式，求出的值即可．
【解答】解：，
，解得．
故答案為：．
【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，熟知算術(shù)平方根具有非負性是解答此題的關(guān)鍵．
12．當　　時，有最大值，最大值是　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)算術(shù)平方根非負數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：，
時，即時，有最大值3．
故答案為：，3．
【點評】本題考查了算術(shù)平方根非負數(shù)的性質(zhì)，初中階段共有絕對值非負數(shù)，平方數(shù)非負數(shù)，算術(shù)平方根非負數(shù)三種，需熟練掌握．
四．立方根（共5小題）
13．下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義解答即可．
【解答】解：、沒有意義，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
、，原計算正確，故此選項符合題意．
故選：．
【點評】本題考查了立方根，算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定義正確進行計算．
14．給出下列4個說法：
①只有正數(shù)才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的數(shù)只有0；
④27的立方根是．其中，正確的有　　
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
【分析】分別根據(jù)平方根與立方根的定義判斷即可．
【解答】解：①只有正數(shù)才有平方根，錯誤，0的平方根是0；
②2是4的平方根，正確；
③平方根等于它本身的數(shù)只有0，正確；
④27的立方根是3，故原說法錯誤．
所以正確的有②③．
故選：．
【點評】本題主要考查了平方根與立方根的定義，熟記定義是解答本題的關(guān)鍵．
15．下列式子中，正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，平方根，立方根求出每個式子的值，再判斷即可．
【解答】解：、，故本選項錯誤；
、，故本選項錯誤；
、，故本選項錯誤；
、，故本選項正確．
故選：．
【點評】本題考查了算術(shù)平方根，平方根，立方根的應用，主要考查學生的計算能力和理解能力．
16．的平方根是，64的立方根是，則的值為　　
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
【分析】分別求出、的值，再代入求出即可．
【解答】解：，
的平方根是，
即，
的立方根是，
，
當時，，
當時，．
故選：．
【點評】本題考查了平方根和立方根的應用，關(guān)鍵是求出的值．
17．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義求出、即可解決問題．
【解答】解：的平方根是，的立方根是3，
，，
，，
，
的平方根為．
【點評】本題考查平方根、立方根的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
五．計算器—數(shù)的開方（共5小題）
18．有一個計算器，計算時只能顯示1.41421356237十三位（包括小數(shù)點），現(xiàn)在想知道7后面的數(shù)字是什么，可以在這個計算器中計算下面哪一個值　　
A． B． C． D．
【分析】因為計算器只能顯示十三位（包括小數(shù)點），要想知道7后面的數(shù)字是什么，必須想辦法讓7后面的數(shù)字出現(xiàn)，即小數(shù)點前面應盡可能得去掉數(shù)據(jù)，使數(shù)位減少，從而讓7后面的數(shù)據(jù)出現(xiàn)．
【解答】解：，總的位數(shù)還是13位，
所以不可能出現(xiàn)7后面的數(shù)字，故錯誤；
一共12位，
這樣7后面的數(shù)字一定會出現(xiàn)，故正確；
，總的位數(shù)還是13位，
所以不可能出現(xiàn)7后面的數(shù)字，故錯誤；
一共13位，
這樣7后面的數(shù)字不可能出現(xiàn)，故錯誤；
故選：．
【點評】此題主要考查了數(shù)的規(guī)律，以及計算器的開方性質(zhì)，得出讓7后面的數(shù)字出現(xiàn)，只有想辦法減少計算器上數(shù)位的個數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
19．用計算器求2012的平方根時，下列四個鍵中，必須按的鍵是　　
A． B． C． D．
【分析】首先了解各個符號表示的意義，然后結(jié)合計算器不同按鍵功能即可解決問題．
【解答】解：由于表示加號；表示乘號；表示根號；表示除號；
根據(jù)計算器的知識可知求2012的平方根時，必須按的鍵是．
故選：．
【點評】此題主要考查了利用計算器求平方根，要讓學生接觸了解計算器，學會運用計算器進行一些復雜的計算．
20．用計算器計算：　1.57?。ň_到
【分析】利用計算器分別求得5的3次方根，求得，再按照從左往右的順序計算即可．
【解答】解：

．
故答案為：1.57．
【點評】考查用計算器進行估算．熟練使用計算器是解決本題的關(guān)鍵．
21．（1）方程的解是　4　．
（2）用計算器計算：　 ?。ńY(jié)果保留三個有效數(shù)字）
【分析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)：兩邊同除以0.25即可解答；
（2）首先利用計算器求出13的算術(shù)平方根，然后即可求出結(jié)果．
【解答】解：（1），
兩邊同時乘以4得，
．
（2）


．
【點評】本題除了考查解方程之外，還要熟知有效數(shù)字的概念：從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字叫做這個數(shù)的有效數(shù)字．
22．按要求填空：
（1）填表：

0.0004
0.04
4
400





（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)規(guī)律填空：
已知：，則　26.38　，　??；
已知：，，則　?。?br /> 【分析】（1）分別用計算器將0.0004、0.04、4、400開方即可得出答案．
（2）將720化為，將0.00072化為，繼而可得出答案；再根據(jù)61.64化為可得出第二空的答案．
【解答】解：（1），，，；

（2），
；
，，
．
故答案為：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．
【點評】此題考查了計算器數(shù)的開方，屬于基礎題，解答本題的關(guān)鍵是熟練計算機的運用，難度一般．
六．無理數(shù)（共4小題）
23．下列各數(shù)中，不是無理數(shù)的是　　
A． B．
C． D．
【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．
【解答】解：、是無理數(shù)，故本選項不合題意；
、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項符合題意；
、是無理數(shù)，故本選項不合題意；
、是無理數(shù)，故本選項不合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，（每兩個8之間依次多1個等形式．
24．下列四個數(shù)中，無理數(shù)是　　
A． B．0 C．0.12 D．
【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．
【解答】解：、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；
、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；
、0.12是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不合題意；
、是無理數(shù)，故本選項符合題意．
故選：．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，（每兩個8之間依次多1個等形式．
25．下列各數(shù)：，0，，，，（相鄰兩個3之間多一個，中，無理數(shù)的個數(shù)為　　
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：，
故無理數(shù)有，（相鄰兩個3之間多一個，，共3個．
故選：．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，（每兩個8之間依次多1個等形式．
26．在3.14、，，，，這5個數(shù)中，無理數(shù)有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：，
故在3.14、，，，，這5個數(shù)中，無理數(shù)有，，共2個．
故選：．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，（每兩個8之間依次多1個等形式．
七．實數(shù)（共5小題）
27．2020年3月14日，是人類第一個“國際數(shù)學日”．這個節(jié)日的昵稱是“”．在古代，一個國家所算得的圓周率的精確程度，可以作為衡量這個國家當時數(shù)學與科技發(fā)展水平的一個主要標志．我國南北朝時的祖沖之是世界上最早把圓周率的精確值計算到小數(shù)點后第7位的科學巨匠，該成果領先世界一千多年．以下對于圓周率的四個表述：
①圓周率是一個有理數(shù)；
②圓周率是一個無理數(shù)；
③圓周率是一個與圓的大小有關(guān)的常數(shù)；
④圓周率是一個與圓的大小無關(guān)的常數(shù)．
其中表述正確的序號是　　
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根據(jù)實數(shù)的分類和的特點進行解答即可得出答案．
【解答】解：因為圓周率是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，
所以圓周率是無理數(shù)；
因為圓周率是圓的周長與其直徑的比，
所以圓周率與圓的大小無關(guān)，
所以②④表述正確．
故選：．
【點評】此題考查了實數(shù)的意義，熟練掌握實數(shù)的分類和“”的意義是解題的關(guān)鍵．
28．下列各數(shù)中，是有理數(shù)的是　　
A． B．2.2 C． D．
【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義即可判斷．
【解答】解：、是無理數(shù)，不合題意；
、2.2是有理數(shù)，符合題意；
、是無理數(shù)，不合題意；
、是無理數(shù)，不合題意．
故選：．
【點評】本題考查了實數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．
29．下列關(guān)于的說法，錯誤的是　　
A．是無理數(shù) B．面積為2的正方形邊長為
C．是2的算術(shù)平方根 D．的倒數(shù)是
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，倒數(shù)的定義，算術(shù)平方根定義，平方根的定義逐個判斷即可．
【解答】解：、是無理數(shù)是正確的，不符合題意；
、面積為2的正方形邊長為是正確的，不符合題意；
、是2的算術(shù)平方根是正確的，不符合題意；
、的倒數(shù)是，原來的說法是錯誤的，符合題意．
故選：．
【點評】本題考查了無理數(shù)的定義，倒數(shù)的定義，算術(shù)平方根定義，平方根的定義的應用，能理解知識點的意義是解此題的關(guān)鍵，難度不大．
30．下列說法正確的是　　
A．任何實數(shù)都有平方根 B．無限小數(shù)是無理數(shù)
C．負數(shù)沒有立方根 D．的立方根是
【分析】根據(jù)平方根、立方根、無理數(shù)的定義逐個判斷即可．
【解答】解：、只有正數(shù)和0有平方根，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
、無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù)，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
、任何實數(shù)都有立方根，原說法錯誤，故本選項不符合題意；
、的立方根是，原說法正確，故本選項符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了平方根、立方根、無理數(shù)的定義，能熟記平方根、立方根、無理數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
31．在，，這三個實數(shù)中，分數(shù)是　?。?br /> 【分析】根據(jù)分數(shù)的定義求解可得．
【解答】解：在，，這三個實數(shù)中，分數(shù)是．
故答案為：．
【點評】本題主要考查實數(shù)，解題的關(guān)鍵熟練掌握分數(shù)的定義．
八．實數(shù)的性質(zhì)（共3小題）
32．下列說法中正確的是　　
A．立方根是它本身的數(shù)只有1和0
B．算術(shù)平方根是它本身的數(shù)只有1和0
C．的算術(shù)平方根是4
D．絕對值是它本身的數(shù)只有1和0
【分析】直接利用立方根以及絕對值、算術(shù)平方根的定義分別分析得出答案．
【解答】解：、立方根是它本身的數(shù)只有1和0、，故此選項錯誤；
、算術(shù)平方根是它本身的數(shù)只有1和0，故此選項正確；
、的算術(shù)平方根是2，故此選項錯誤；
、絕對值是它本身的數(shù)是非負數(shù)，故此選項錯誤．
故選：．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
33．下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的一組是　　
A．2與 B．與 C．與 D．2與
【分析】直接利用互為相反數(shù)的定義，分別分析得出答案．
【解答】解：、2與不是互為相反數(shù)，不合題意；
、與，兩數(shù)相等，不是互為相反數(shù)，不合題意；
、與是互為相反數(shù)，符合題意；
、2與兩數(shù)相等，不是互為相反數(shù)，不合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
34．下列說法中，不正確的是　　
A．的絕對值是 B．的相反數(shù)是
C．的立方根是2 D．的倒數(shù)是
【分析】根據(jù)絕對值的意義，相反數(shù)，倒數(shù)和立方根的定義進行判定．
【解答】解：、的絕對值是，不正確；
、的相反數(shù)是，正確；
、，所以的立方根是2，正確；
、的倒數(shù)是，正確．
故選：．
【點評】本題考查了絕對值的意義，算術(shù)平方根和立方根的定義，相反數(shù)和倒數(shù)，熟練掌握這些定義是關(guān)鍵．
九．實數(shù)與數(shù)軸（共4小題）
35．實數(shù)，在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)、在數(shù)軸上的位置和它們與原點的距離可得答案．
【解答】解：由數(shù)軸可得，，
故選：．
【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，掌握實數(shù)的大小比較方法是解題關(guān)鍵．
36．如圖，數(shù)軸上兩點、所對應的實數(shù)分別為、，則的結(jié)果可能為　　

A．4 B．3 C．2 D．
【分析】根據(jù)為正數(shù)，所以就等于，即點，之間的距離，根據(jù)數(shù)軸可知，距離大于3，所以只有選項符合題意．
【解答】解：，，
，
，
由數(shù)軸可知，點與點之間的距離大于3，
的結(jié)果只可能為4．
故選：．
【點評】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是牢記數(shù)軸上兩點之間的距離公式．
37．數(shù)軸上、、三點分別對應實數(shù)、、，點、關(guān)于點對稱，若，，則下列各數(shù)中，與最接近的數(shù)是　　
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】先求得的長度，根據(jù)點、關(guān)于點對稱，即可得出的長，再用的長度加上4可得出點所對應的實數(shù)．
【解答】解：、兩點對應的實數(shù)是和4，
，
點與點關(guān)于點對稱，
，
點所對應的實數(shù)是．
故選：．
【點評】本題考查了實數(shù)和數(shù)軸，兩點之間線段的長度就是用右邊點表示的數(shù)減去左邊點表示的數(shù)．
38．正方形在數(shù)軸上的位置如圖所示，點，對應的數(shù)分別為0和1，若正方形繞頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點所對應的數(shù)為2；按此規(guī)律繼續(xù)翻轉(zhuǎn)下去，則數(shù)軸上數(shù)2020所對應的點是　　

A．點 B．點 C．點 D．點
【分析】由題意可知轉(zhuǎn)一周后，、、、分別對應的點為1、2、3、4，可知其四次一循環(huán)，由次可確定出2019所對應的點．
【解答】解：當正方形在轉(zhuǎn)動第一周的過程中，1所對應的點是，2所對應的點是，3所對應的點是，4所對應的點是，
四次一循環(huán)，
，
所對應的點是．
故選：．
【點評】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸以及正方形的性質(zhì)，確定出點的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
一十．實數(shù)大小比較（共3小題）
39．若，，表示、、三個數(shù)中的最小值，則當且，，時，的最大值為　　
A． B．4 C． D．
【分析】用特殊值法得出答案．
【解答】解：時，，2，．
當時，，3，．
當時，，6，．
當時，，11，．
當時，，6，．
當時，，4.5，．
的最大值是．
故選：．
【點評】本題考查用新定義解決數(shù)學問題，理解新定義是求解本題的關(guān)鍵．
40．下列四個實數(shù)中，最小的數(shù)是　　
A． B． C．0 D．
【分析】正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：，
所給的四個實數(shù)中，最小的數(shù)是．
故選：．
【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實數(shù)負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而?。?br /> 41．下列四個數(shù)：，，，中，絕對值最大的數(shù)是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)實數(shù)的大小比較解答即可．
【解答】解：四個數(shù)：，，，中，，
故絕對值最大的數(shù)是．
故選：．
【點評】此題考查實數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是根據(jù)正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小解答．
一十一．估算無理數(shù)的大小（共2小題）
42．已知，介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】先估算出的范圍，即可求得答案．
【解答】解：，
，
在2和3之間，即．
故選：．
【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解題關(guān)鍵．
43．與最接近的整數(shù)是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用算術(shù)平方根的性質(zhì)估算確定出所求即可．
【解答】解：，
，
則與最接近的整數(shù)是3．
故選：．
【點評】此題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解本題的關(guān)鍵．
一十二．實數(shù)的運算（共5小題）
44．實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡　?。?br />
【分析】直接利用數(shù)軸得出各式符號，進而化簡得出答案．
【解答】解：由數(shù)軸可得：，，
則原式

．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了實數(shù)運算以及實數(shù)與數(shù)軸，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
45．已知，、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，求　0?。?br /> 【分析】根據(jù)、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)求出，，然后代入求值即可．
【解答】解：、互為倒數(shù)，
，
、互為相反數(shù)，
，
．
故答案為0．
【點評】本題考查了實數(shù)的運算，熟悉倒數(shù)、相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
46．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用立方根的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案；
（2）直接利用有理數(shù)的混合運算法則計算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；

（2）原式
．
【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
47．對于任意實數(shù)，，定義一種新的運算公式：⊕，如6⊕．
（1）計算：⊕；
（2）已知⊕，求的值．
【分析】（1）根據(jù)新定義列式計算即可；
（2）根據(jù)新定義得出，再去括號、整理即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）由題意知，，
，
則．
【點評】本題主要考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出相關(guān)算式．
48．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用算術(shù)平方根以及立方根的定義化簡得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合運算法則計算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；

（2）原式
．
【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．

考點卡片
1．絕對值
（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．
①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；
②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù)．
③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)．
（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a 絕對值要由字母a本身的取值來確定：
①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；
②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；
③當a是零時，a的絕對值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．近似數(shù)和有效數(shù)字
（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．
（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．
（3）規(guī)律方法總結(jié)：
“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．
3．平方根
（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．
（2）求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．
一個正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“﹣”．
正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作．零的算術(shù)平方根仍舊是零．
平方根和立方根的性質(zhì)
1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．
2．立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．
4．算術(shù)平方根
（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為．
（2）非負數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負數(shù)．
（3）求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運算來尋找．
5．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根
（1）非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負性．
（2）利用算術(shù)平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結(jié)果也是非負數(shù)列出不等式求解．非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．
6．立方根
（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．
（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．
（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．
注意：符號a3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根．
【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)
1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．
2．立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．
7．計算器—數(shù)的開方
正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：
當被開方數(shù)a的小數(shù)點每向左或向右平移2位時，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點也相應向左或向右平移1位，即a每擴大（或縮小）100倍，a相應擴大（或縮?。?0倍．
8．無理數(shù)
（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．
說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)． 如圓周率、2的平方根等．
（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：
?、侔延欣頂?shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．
?、谒械挠欣頂?shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．
（3）學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)π2是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．
無理數(shù)常見的三種類型
（1）開不盡的方根，如等．
（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，
如0.303 003 000 300 003…（兩個3之間依次多一個0）．
（3）含有π的絕大部分數(shù)，如2π．
注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．
9．實數(shù)
（1）實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．
（2）實數(shù)的分類：
實數(shù)： 或 實數(shù)：
10．實數(shù)的性質(zhì)
（1）在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離．
（2）實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．
（3）實數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．
實數(shù)的倒數(shù)
乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應特別注意的是0沒有倒數(shù)．
11．實數(shù)與數(shù)軸
（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關(guān)系．
任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．
（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離．
（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。?br /> 12．實數(shù)大小比較
實數(shù)大小比較
（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大?。龑崝?shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而?。?br /> （2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小．
13．估算無理數(shù)的大小
估算無理數(shù)大小要用逼近法．
思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．
14．實數(shù)的運算
（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．
（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”
1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．
2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．
3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．
15．代數(shù)式求值
（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．
（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．
題型簡單總結(jié)以下三種：
①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；
②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；
③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步驟：
去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．
（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號．
（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數(shù)時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負．

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