2021年高考全國乙卷數(shù)學（理）高考真題及答案解析 (原卷+解析卷)-試卷下載-教習網(wǎng)

絕密★啟用前2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 設，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設，利用共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)的加減法可得出關于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復數(shù).【詳解】設，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.2. 已知集合，，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.3. 已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、、為假命題.故選：A．4. 設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.5. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D6. 將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A. 60種 B. 120種 C. 240種 D. 480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.7. 把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當?shù)玫?/span>的圖象，根據(jù)已知得到了函數(shù)圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.8. 在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結果構成區(qū)域為，設事件表示兩數(shù)之和大于，則構成的區(qū)域為，分別求出對應的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．【詳解】如圖所示：設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結果構成區(qū)域為，其面積為．設事件表示兩數(shù)之和大于，則構成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．故選：B.【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關鍵是準確求出事件對應的區(qū)域面積，即可順利解出．9. 魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A. 表高 B. 表高C. 表距 D. 表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉(zhuǎn)化即可解出．10. 設，若為函數(shù)的極大值點，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法可以快速解答.11. 設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．【詳解】設，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．12. 設，，．則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數(shù),，利用導數(shù)分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關系.記,則,，由于所以當0<x<2時，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．【答案】4【解析】【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關系，再結合雙曲線中對應關系，聯(lián)立求解，再由關系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.【點睛】本題為基礎題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關系式求解是關鍵.14. 已知向量，若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設，，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分．15. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.16. 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結合所給圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點，則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐.故答案為：③④.【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．【答案】（1）；（2）新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結合（1）的結論進行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得結果.【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、，則，，，則，解得，故；（2）設平面法向量為，則，，由，取，可得，設平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.【點睛】思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標系，寫出二面角對應的兩個半平面中對應的點的坐標；（2）設出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標平面，直接取法向量即可）；（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.19. 記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和與項的關系，數(shù)列的前n項積與項的關系，其中由,得到，進而得到是關鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關系，消和（積）得到項（或項的遞推關系），或者消項得到和（積）的遞推關系是常用的重要的思想方法.20. 設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結合導數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，假設能取到，則，故；當時，，單增，假設能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點睛】本題為難題，根據(jù)極值點處導數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構造函數(shù)和換元法也常常用于解決復雜函數(shù)的最值與恒成立問題.21. 已知拋物線焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關于的等式，即可解出的值；（2）設點、、，利用導數(shù)求出直線、，進一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）拋物線的焦點為，，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設點、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22. 在直角坐標系中，圓心為，半徑為1．（1）寫出的一個參數(shù)方程;（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得或【點晴】本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎題.[選修4-5：不等式選講]（10分）23. 已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當或時所對應的數(shù)軸上的點到所對應的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應的點距離之和等于大于等于6得到所對應的坐標的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，當且僅當時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.【點睛】解絕對值不等式的方法有零點分段法、幾何意義法．解含有兩個絕對值，且其中的的系數(shù)相等時，可以考慮利用數(shù)軸上絕對值的幾何意義求解；利用絕對值三角不等式求最值也是常見的問題，注意表述取等號的條件.

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