中考數(shù)學(xué)專題沖刺高分狙擊【專題分析＋解題方法＋知識(shí)結(jié)構(gòu)＋典例精選＋能力評(píng)估檢測】：專題四　幾何初步與圖形的變化-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

幾何初步與圖形的變化的常見考點(diǎn)有角的有關(guān)概念，角的平分線及角的計(jì)算，平行線的性質(zhì)和判定；軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的識(shí)別，圖形的變化的性質(zhì)及應(yīng)用，圖形的變化與坐標(biāo)，圖形的變化與作圖；簡單幾何體的三視圖，平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化．中考中對(duì)幾何初步與圖形的變化的考查主要以客觀題為主，考查題型多樣，以選擇題、填空題為主，作圖題目多考查多個(gè)圖形的變化；本專題在中考中所占的比重約為10%～15%.
【解題方法】
解決幾何初步與圖形的變化問題常用的數(shù)學(xué)思想就是轉(zhuǎn)化思想；常用的數(shù)學(xué)方法有分類討論法，實(shí)際操作法，逆向思維法等．
【知識(shí)結(jié)構(gòu)】
【典例精選】：
如圖，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，則∠4等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠4＝∠1，再由等腰三角形的性質(zhì)可得∠4的度數(shù)．
答案：D
規(guī)律方法：
正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確解題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩條被截直線平行.
如圖是一個(gè)由多個(gè)相同小正方體堆積而成的幾何體的俯視圖，圖中所示數(shù)字為該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是( )
【思路點(diǎn)撥】由俯視圖中的數(shù)字可得左視圖有3列，從左到右分別有2,3,1個(gè)正方形．
答案：B
規(guī)律方法：
對(duì)于由小立方塊組成的幾何體，主視圖能確定幾何體上下的層數(shù)和左右的列數(shù)，左視圖能確定幾何體上下的層數(shù)和前后的排數(shù)，俯視圖能確定幾何體左右的列數(shù)和前后的排數(shù).
問題背景：
如圖①，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)A B′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．
(1)實(shí)踐運(yùn)用：
如圖②，已知⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在⊙O 上，∠ACD＝30°，B 為eq \x\t(AD)的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP＋AP的最小值為 .
(2)知識(shí)拓展：
如圖③，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE＋EF的最小值，并寫出解答過程．
【思路點(diǎn)撥】(1)作出點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于直徑CD的對(duì)稱點(diǎn)，再連結(jié)其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和CD的交點(diǎn)為P，此時(shí)BP＋AP的值最小；(2)首先在斜邊AC上截取AB′＝AB，連結(jié)BB′，再過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE，則線段B′F的長即為所求．
【自主解答】
【解析】(1)如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直徑CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)AE交CD于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB最小，且等于AE.作直徑AC′，連結(jié)C′E，OE.
根據(jù)垂徑定理得eq \x\t(BD)＝eq \x\t(DE).
∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°，
∴∠AOE＝90°，∴∠C′AE＝45°，
又∵AC′為⊙O的直徑，∴∠AEC′＝90°，
∴∠C′＝∠C′AE＝45°，∴C′E＝AE＝eq \f(\r(2),2)AC′＝2eq \r(2)，
即AP＋BP的最小值是2eq \r(2).
(2)解：如圖③，在斜邊AC上截取AB′＝AB，連結(jié)BB′.
∵AD平分∠BAC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線AD對(duì)稱．
過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE，則線段B′F的長即為所求．
在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，
∴B′F＝AB′·sin 45°＝10×eq \f(\r(2),2)＝5eq \r(2)，
∴BE＋EF的最小值為5eq \r(2).
規(guī)律方法：
根據(jù)軸對(duì)稱求線段和最短，方法是作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，即可確定動(dòng)點(diǎn)的位置，從而求得線段和最短的長度.
在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；
(2)如圖②，連結(jié)AA1，CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；
(3)如圖③，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P1，求線段EP1長度的最大值和最小值．
【思路點(diǎn)撥】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BC1＝BC，∠CC1B＝∠ACB＝45°，∠A1C1B＝∠ACB＝45°，∴∠CC1A1＝90°；
(2)先由△ABC≌△A1BC1，證△ABA1∽△CBC1，再由eq \f(S△ABA1,S△CBC1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,BC)))2求S△CBC1；
(3)過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)至D且△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最??；當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C且△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時(shí)，EP1最大．
【自主解答】
解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°.
(2)∵△ABC ≌A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(BA1,BC1)，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1.∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1.
∴eq \f(S△ABA1,S△CBC1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,BC)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(16,25).
∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝eq \f(25,4).
(3)如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn)D在線段AC上．在Rt△BCD中，BD＝BC·sin 45°＝eq \f(5,2)eq \r(2).
①當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為 eq \f(5,2)eq \r(2)－2.
②當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時(shí)，EP1最大，最大值為2＋5＝7.
【能力評(píng)估檢測】
一、選擇題
1．如圖，OA⊥OB，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是( C )
A．35° B．45° C．55° D．70°
2．如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中點(diǎn)，則AC的長為( B )
A．3 cm B．6 cm
C．11 cm D．14 cm
3．有6個(gè)相同的立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是( C )
4．晉商大院的許多窗格圖案蘊(yùn)含著對(duì)稱之美，現(xiàn)從中選取以下四種窗格圖案，其中是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是( B )
5．小亮為今年參加中考的好友小杰制作了一個(gè)正方體禮品盒(如圖)，六個(gè)面上各有一個(gè)字，連起來就是“預(yù)祝中考成功”，其中“預(yù)”的對(duì)面是“中”，“成”的對(duì)面是“功”，則它的平面展開圖可能是( C )
6．如圖，直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，則∠1＋∠2＝( A )
A．30° B．35°
C．36° D．40°
7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖的面積為( C )
A．6 cm2
B．4π cm2
C．6π cm2
D．9π cm2
8．如圖，將斜邊長為4的直角三角尺放在直角坐標(biāo)系xOy中，兩條直角邊分別與坐標(biāo)軸重合，P為斜邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將此三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A．(eq \r(3)，－1)
B．(1，－eq \r(3))
C．(2eq \r(3)，－2)
D．(2，－2eq \r(3))
【解析】根據(jù)題意畫出△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到的△COD，如圖，連結(jié)OP，OQ，設(shè)CD與y軸交于點(diǎn)M，∴∠POQ＝120°.∵AP＝OP，∴∠BAO＝∠POA＝30°，∴∠MOQ＝30°.在Rt△OMQ中，OQ＝OP＝2，∴MQ＝1，OM＝eq \r(3)，則P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，－eq \r(3))．故選B.
答案: B
9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若點(diǎn)M，N分別是線段AC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值為( )
A．10 B．8 C．5eq \r(3) D．6
【解析】如圖，由題意可得，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)BB′交AC于點(diǎn)E，連結(jié)AB′，過點(diǎn)B′作B′N⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連結(jié)MB，此時(shí)BM＋NM＝B′N最?。逜B＝10，BC＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5eq \r(5).∵S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·BC＝eq \f(1,2)AC·BE，∴BE＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(10×5,5\r(5))＝2eq \r(5).∵BB′＝2BE，∴BB′＝4eq \r(5).設(shè)AN＝x，則BN＝10－x，∵AB′＝AB＝10，由勾股定理，可得102－x2＝(4eq \r(5))2－(10－x)2，解得x＝6，∴B′N＝eq \r(102－62)＝8.故選B.
答案: B
二、填空題
10．如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個(gè)小正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的一個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形的涂法有3種．
11．如圖，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張明用17個(gè)邊長為1的小正方體搭成了一個(gè)幾何體，然后他請王亮用其他同樣的小正方體在旁邊再搭一個(gè)幾何體，使王亮所搭的幾何體恰好可以和張明所搭的幾何體拼成一個(gè)無縫隙的大長方體(不改變張明所搭幾何體的形狀)，那么王亮至少還需要個(gè)小正方體，王亮所搭幾何體的表面積為 .
【解析】該幾何體高有四層，前后有3排，左右有3列，則拼成的大長方體一共有3×3×4＝36(個(gè))小正方體，那么王亮至少需要36－17＝19(個(gè))小正方體．王亮在張明所搭幾何體的基礎(chǔ)上，搭建幾何體時(shí)，第二層應(yīng)該是缺少5個(gè)小正方體，第三層缺少6個(gè)小正方體，最上面一層缺少8個(gè)小正方體．
畫出王亮所搭幾何體的俯視圖，并在每一個(gè)小正方形上標(biāo)注層數(shù)如圖，可知該幾何體的主視圖為9個(gè)小正方形，左視圖為7個(gè)小正方形，俯視圖為8個(gè)小正方形，∴王亮所搭幾何體的表面積為(9＋7＋8)×2＝48.
答案: 19 48
12．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE＋PB的最小值為 .
【解析】連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P，因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，由對(duì)稱性可知PD＝PB，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)PE＋PB的值最小，最小值為PE＋PB＝PD＋PE＝DE＝eq \r(CD2＋CE2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
答案: 2eq \r(5)
13．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝eq \r(2).將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連結(jié)BM，則BM的長是 .
【解析】如圖，連結(jié)AM，設(shè)BM與AC相交于點(diǎn)D.∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝eq \r(2)，∴AC＝2.∵∠ACM＝60°，AC＝CM＝2，
∴△ACM是等邊三角形．∴MC＝MA.∵AB＝BC，∴BM垂直平分AC.∴DM＝AM·sin 60°＝eq \r(3).BD＝eq \f(1,2)AC＝1.∴BM＝BD＋DM＝eq \r(3)＋1.
答案: eq \r(3)＋1
三、解答題
14．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)E在BC邊上，且點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，連結(jié)AE.
(1)在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關(guān)于直線AE對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)B是對(duì)稱點(diǎn)；
(2)請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積．
解：(1)根據(jù)題意畫出△AEF如圖所示；
(2)S重疊部分＝S△AGE－S△DGH＝eq \f(1,2)×4×4－eq \f(1,2)×2×2＝8－2＝6.
15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，連結(jié)PD，線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到線段PE，且PE交BC于點(diǎn)F，連結(jié)DF，過點(diǎn)E作EQ⊥AB的延長線于點(diǎn)Q.
(1)求線段PQ的長；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，
△PFD∽△BFP？并說明理由．
解：(1)根據(jù)題意，得PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD＋∠QPE＝90°.
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠QPE.
∵EQ⊥AB，∴∠A＝∠Q＝90°.
在△ADP和△QPE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(∠A＝∠Q，,∠ADP＝∠QPE，,PD＝PE.))
∴△ADP≌△QPE.∴PQ＝AD＝1.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)處時(shí)，△PFD∽△BFP.
理由如下：
∵△PFD∽△BFP，∴eq \f(PB,BF)＝eq \f(PD,PF).
∵∠ADP＝∠FPB，∠FBP＝∠A，∴△DAP∽△PBF.
∴eq \f(PD,PF)＝eq \f(AP,BF).∴eq \f(AP,BF)＝eq \f(PB,BF).∴PA＝PB，∴PA＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2).
∴當(dāng)點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)處時(shí)，△PFD∽△BFP.
16．在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱時(shí)，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題．
如圖①，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法．他把管道l看成一條直線(如圖②)，問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最小．他的做法是這樣的：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；②連結(jié)AB′交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．
請你參考小華的做法解決下列問題．
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，BC＝6，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使△PDE得周長最?。?br>(1)在圖中作出點(diǎn)P；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)請直接寫出△PDE周長的最小值： 8 .
解：(1)作圖如圖所示．
(2)∵點(diǎn)D，E分別是AB，
AC邊的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線．
∵BC＝6，BC邊上的高為4，
∴DE＝3，DD′＝4.
∴D′E＝eq \r(DE2＋D′D2)＝eq \r(32＋42)＝5，
∴△PDE周長的最小值為DE＋D′E＝3＋5＝8.

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