專題七　圓【專題分析】圓在中考中的常見考點有圓的性質及定理，圓周角定理及其推論，圓心角、圓周角、弧、弦之間的“等推”關系；切線的判定，切線的性質，切線長定理，弧長及扇形面積的計算，求陰影部分的面積等．對圓的考查在中考中以客觀題為主，考查題型多樣，關于圓的基本性質一般以選擇題或填空題的形式進行考查，切線的判定等綜合性強的問題一般以解答題的形式進行考查；圓在中考中的比重約為10%～15%.【解題方法】解決圓的有關問題常用的數(shù)學思想就是轉化思想，方程思想和數(shù)形結合思想；常用的數(shù)學方法有分類討論法，設參數(shù)法等．【知識結構】【典例精選】如圖，⊙O的半徑是3，點P是弦AB延長線上的一點，連結OP，若OP＝4，∠APO＝30°，則弦AB的長為(　　)A．2  　　　　　                 B. C．2  　　　　　                D. 【思路點撥】先過點O作OC⊥AP，連結OB，根據(jù)OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根據(jù)勾股定理求出BC的值，進而得出AB的值．【解析】如圖，過點O作OC⊥AP于點C，連結OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝＝＝，∴AB＝2.故選A.答案：A規(guī)律方法：利用垂徑定理進行證明或計算，通常是在半徑、圓心距和弦的一半所組成的直角三角形中，利用勾股定理構建方程求出未知線段的長.如圖，從一塊直徑是8 m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個圓錐，圓錐的高是(　 　)A．4 m    B．5 m    C.  m    D．2 m【思路點撥】首先連結AO，求出AB，然后求出扇形的弧長，進而求出扇形圍成的圓錐的底面半徑，最后應用勾股定理求出圓錐的高即可．【解析】如圖，連結AO，∵AB＝AC，點O是BC的中點，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝OB＝×(8÷2)＝4(m)．∴l＝＝2π(m)．∴將剪下的扇形圍成的圓錐形的半徑是2π÷2π＝(m)．∴圓錐的高是＝(m)．故選C.答案：C規(guī)律方法：解決圓錐的相關問題，可以利用圓的周長等于扇形的弧長建立方程，利用方程解決問題.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB的中點，以E為圓心、ED為半徑作半圓，交A，B所在的直線于M，N兩點，分別以MD，ND為直徑作半圓，則陰影部分的面積為(　　)A．9    B．18    C．36    D．72【思路點撥】根據(jù)圖形可知陰影部分的面積＝兩個小的半圓的面積＋△DMN的面積－大半圓的面積，MN為半圓的直徑，從而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，從而可得到兩個小半圓的面積＝大半圓的面積，故此陰影部分的面積＝△DMN的面積，在Rt△AED中，ED＝＝＝3，所以MN＝6，然后利用三角形的面積公式求解即可．【解析】根據(jù)圖形可知陰影部分的面積＝兩個小的半圓的面積＋△DMN的面積－大半圓的面積．∵MN為大半圓的直徑，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴兩個小半圓的面積和＝大半圓的面積．∴陰影部分的面積＝△DMN的面積．在Rt△AED中，ED＝＝＝3，∴陰影部分的面積＝△DMN的面積＝MN·AD＝×6×6＝18.故選B.答案：B規(guī)律方法：求陰影部分的面積，一般是將所求陰影部分進行分割組合，轉化為規(guī)則圖形的和或差. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，連結CD.(1)求證：∠A＝∠BCD.(2)若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．【思路點撥】(1)根據(jù)圓周角定理可得∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形的性質可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)當點M是BC的中點時，直線DM與⊙O相切．連結DO，證明∠ODM＝90°，進而證得直線DM與⊙O相切．【自主解答】(1)證明：∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：當點M是BC的中點時，直線DM與⊙O相切．理由如下：如圖，連結DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，點M是BC的中點，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直線DM與⊙O相切．規(guī)律方法：在判定一條直線是圓的切線時，如果這條直線和圓有公共點，常作出經(jīng)過公共點的半徑，證明這條直線與經(jīng)過公共點的半徑垂直，概括為“連半徑，證垂直，得切線”.  【能力評估檢測】一、選擇題1．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AE是⊙O的切線，A為切點，連結BC并延長交AE于點D.若∠AOC＝80°，則∠ADB的度數(shù)為(  B  )A．40°　　  B．50°     C．60°　　  D．20°2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，則弦BC的長為(  C  )A. 　　　　B．3　　　C．2　　　 D．43．如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC＝50°，則∠OAB的度數(shù)為(  A  )A．25°      B．50°      C．60°      D．30°4.如圖，直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點D并交BA的延長線于點C，且AB＝2，AD＝1，P點在切線CD上移動．當∠APB的度數(shù)最大時，則∠ABP的度數(shù)為(  B  )A．15°       B．30°       C．60°       D．90° 5．如圖，某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心、AB長為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細)，則所得扇形DAB的面積為(  D  )A．6        B．7        C．8       D．96．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD切⊙O于點A，＝.則下列結論中不一定正確的是(  D  )A．BA⊥DA             B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE     D．OD⊥AC7．如圖，菱形ABCD的對角線BD，AC分別為2，2，以B為圓心的弧與AD，DC相切，則陰影部分的面積是(  D  )A．2－π       B．4－πC．4－π          D．2－π8．如圖，正六邊形ABCDEF是邊長為2 cm的螺母，點P是FA延長線上的點，在A，P之間拉一條長為12 cm的無伸縮性細線，一端固定在點A，握住另一端點P拉直細線，把它全部緊緊纏繞在螺母上(纏繞時螺母不動)，則點P運動的路徑長為(  B  )A．13π cm  　 B．14π cm  C．15π cm     D．16π cm9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為(    ) A.       B.       C.      D．2解：如圖，連接OE，OF，ON，OG.∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.∴四邊形AFOE，FBGO都是正方形．∴AF＝BF＝AE＝BG＝2.∴DE＝3.∵DM是⊙O的切線，∴DN＝DE＝3，MN＝MG. ∴CM＝5－2－MN＝3－MN.在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝(3－MN)2＋42.∴NM＝.∴DM＝3＋＝.故選A. 答案：A二、填空題10．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，則直線y＝x＋與以O點為圓心，1為半徑的圓的位置關系為  相切．11．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，則∠F＝40° .12．如圖，正三角形ABC的邊長為2，點A，B在半徑為的圓上，點C在圓內(nèi)，將正三角形ABC繞點A逆時針旋轉，當點C第一次落在圓上時，點C運動的路線長為   .【解析】設點C落在圓上的點為C′，連結OA，OB，OC′，則OA＝OB＝.又∵AB＝2，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，同理∠OAC′＝45°，∴∠BAC′＝90°.∵△ABC為等邊三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠CAC′＝30°，∴點C運動的路線長為＝.故答案為.答案：13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5 cm，AC＝2 cm，將△ABC繞頂點C按順時針方向旋轉45°至△A1B1C的位置，則線段AB掃過區(qū)域(圖中的陰影部分)的面積為    cm2.【解析】在Rt△ABC中，BC＝＝(cm)，S扇形BCB1＝＝(cm2)，S△CB1A1＝×5×2＝5(cm2)，S扇形CAA1＝＝(cm2)，故S陰影部分＝S扇形BCB1＋S△CB1A1－S△ABC－S扇形CAA1＝＋5－5－＝(cm2).答案：三、解答題14．如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P.求證：(1)PE＝PD；(2)AC·PD＝AP·BC.  證明：(1)∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴＝.又∵AD∥OC，∴∠DAE＝∠COB，∴△AED∽△OBC，∴＝＝＝.∴ED＝2EP，∴PE＝PD.(2)∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴＝.∵PE＝PD，∴＝，∴AC·PD＝AP·BC.15．如圖，在△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以點O為圓心，6為半徑的優(yōu)弧分別交OA，OB于點M，N. (1)點P在右半弧上(∠BOP是銳角)，將OP繞點O逆時針旋轉80°得OP′，求證：AP＝BP′；(2)點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離；(3)設點Q在優(yōu)弧上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出∠BOQ的度數(shù)．(1)證明：如圖，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′. (2)解：如圖，連結OT，過點T作TH⊥OA于點H.∵AT與相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝＝＝8.∵OA·TH＝AT·OT，即×10×TH＝×8×6，∴TH＝，即點T到OA的距離為.(3)10°，170°.16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點D.以AB上一點O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A和點D. (1)判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半徑；②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積(結果保留根號和π)．解：(1)直線BC與⊙O相切．理由如下：如圖，連結OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于點D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直線BC與⊙O相切．(2)①設OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝＝π，∴陰影部分面積為S△BOD－S扇形ODE＝2－π. 

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