備考2024屆高考數學一輪復習講義第八章平面解析幾何第7講拋物線-學案下載-教習網

平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）的距離① 相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的② 焦點，直線l叫做拋物線的③ 準線 .
注意定點F在定直線l上時，動點的軌跡為過點F且垂直于l的一條直線.
2.拋物線的標準方程與幾何性質
常用結論
拋物線焦點弦的幾個常用結論
如圖，設AB是一條過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點F的弦，AB所在直線的傾斜角為α，若A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在準線l上的射影分別為A1，B1，則
（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p2.
（2）｜AF｜＝p1－csα，｜BF｜＝p1+csα，弦長｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α，S△AOB＝p22sinα＝12｜OF｜·｜y1－y2｜.
（3）1｜AF｜＋1｜BF｜＝2p.
（4）當N為準線與x軸的交點時，∠ANF＝∠BNF.
（5）通徑是過焦點且垂直于對稱軸的弦，弦長等于2p，通徑是過焦點的最短的弦.
（6）以弦AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.
（7）以A1B1為直徑的圓與AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90°.
（8）當M1為A1B1的中點時，M1A⊥M1B.
（9）以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
（2）的推導過程：因為AB所在直線的傾斜角為α，則cs α＝x1－p2x1＋p2，解得x1＝p2·1+csα1－csα，則｜AF｜＝x1＋p2＝p1－csα.
同理可得｜BF｜＝p1+csα.
則｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝p1－csα＋p1+csα＝2psin2α，
S△AOB＝12×｜AB｜×p2×sin α＝12×2psin2α×p2×sin α＝p22sinα.
由（2）的推導過程可得，1｜AF｜＋1｜BF｜＝1－csαp＋1+csαp＝2p.
1.下列說法正確的是（ D ）
A.平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線
B.若拋物線過點P（－2，3），則其標準方程可寫為y2＝2px（p＞0）
C.拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
D.方程y＝ax2（a≠0）表示的曲線是焦點在y軸上的拋物線，且其準線方程為y＝－14a
2.拋物線y＝4x2的焦點坐標為（ A ）
A.（0，116）B.（0，14）C.（0，1）D.（1，0）
解析化拋物線的方程為標準形式，得x2＝14y，所以p＝18，（本題在解答過程中若不先將拋物線方程化為標準形式，易錯誤得到p＝2，從而錯選C）
拋物線的焦點坐標為（0，116），故選A.
3.[2023湖北省十堰市調研]下列四個拋物線中，開口朝左的是（ C ）
A.y2＝5xB.x2＝－5y
C.y2＝－5xD.x2＝5y
解析拋物線y2＝5x的開口朝右，拋物線x2＝－5y的開口朝下，拋物線y2＝－5x的開口朝左，拋物線x2＝5y的開口朝上.故選C.
4.若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點是橢圓x23p＋y2p＝1的一個焦點，則p＝（ D ）
A.2B.3C.4D.8
解析由題意，知拋物線的焦點坐標為（p2，0），橢圓的焦點坐標為（±2p，0），所以p2＝2p，解得p＝8，故選D.
5.已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M（2，22）為拋物線上一點，則｜MF｜＝（ B ）
A.2B.3C.4D.5
解析因為點M（2，22）為拋物線上一點，所以將點M的坐標代入拋物線的方程y2＝2px（p＞0），可得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，可得其準線方程為x＝－1.根據拋物線的定義，得｜MF｜＝2－（－1）＝3.故選B.
研透高考明確方向
命題點1 拋物線的定義及其應用
例1 （1）[全國卷Ⅰ]已知A為拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝（ C ）
A.2B.3C.6D.9
解析根據拋物線的定義及題意得，點A到C的準線x＝－p2的距離為12，因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，所以p2＝12－9，解得p＝6.故選C.
（2）[2022全國卷乙]設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，則｜AB｜＝（ B ）
A.2B.22C.3D.32
解析解法一如圖，由題意可知F（1，0），設A（y024，y0），則由拋物線的定義可知｜AF｜＝y(tǒng)024＋1.因為｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得y024＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），則｜AB｜＝（1－3）2＋（2－0）2＝8＝22，故選B.
解法二由題意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因為拋物線的通徑長為2p＝4，所以AF的長為通徑長的一半，所以AF⊥x軸，所以｜AB｜＝22＋22＝8＝22，故選B.
方法技巧
利用拋物線的定義可解決的常見問題
（1）軌跡問題：利用拋物線的定義可以確定與定點、定直線距離有關的動點軌跡是否為拋物線.
（2）距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離問題時，在解題過程中注意兩者之間的相互轉化.
（3）最值問題：通過距離轉化，利用“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”求解.
訓練1 [多選/2023惠州市二調]設拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，點M為C上一動點，E（3，1）為定點，則下列結論正確的是（ AD ）
A.準線l的方程是x＝－2
B.｜ME｜－｜MF｜的最大值為2
C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值為7
D.以線段MF為直徑的圓與y軸相切
解析由題意得，拋物線C的焦點F（2，0），準線l的方程是x＝－2，故A正確；｜ME｜－｜MF｜≤｜EF｜＝（3－2）2＋（1－0）2＝2，當點M在線段EF的延長線上時等號成立，∴｜ME｜－｜MF｜的最大值為2，故B不正確；如圖所示，過點M，E分別作準線l的垂線，垂足分別為A，B，則｜ME｜＋｜MF｜＝｜ME｜＋｜MA｜≥｜EB｜＝5，當點M在線段EB上時等號成立，∴｜ME｜＋｜MF｜的最小值為5，故C不正確；設點M（x0，y0），線段MF的中點為D，則點D的橫坐標xD＝x0+22＝｜MA｜2＝｜MF｜2，∴以線段MF為直徑的圓與y軸相切，故D正確.故選AD.
命題點2 拋物線的標準方程
例2 （1）[2023全國卷乙]已知點A（1，5）在拋物線C：y2＝2px上，則A到C的準線的距離為 94 .
解析將點A的坐標代入拋物線方程，得5＝2p，于是y2＝5x，則拋物線的準線方程為x＝－54，所以A到準線的距離為1－（－54）＝94.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，則C的準線方程為 x＝－32 .
解析解法一由題易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以｜OF｜｜PF｜＝｜PF｜｜FQ｜，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的準線方程為x＝－32.
解法二由題易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝p2×6，解得p＝3，所以C的準線方程為x＝－32.
方法技巧
拋物線的標準方程的求法
（1）定義法
根據拋物線的定義求出p.標準方程有四種形式，要注意判斷焦點位置及開口方向.
（2）待定系數法
當焦點位置不確定時，注意分類討論.對于焦點在x軸上的拋物線的方程可設為y2＝mx（m≠0），焦點在y軸上的拋物線的方程可設為x2＝my（m≠0）.
訓練2 （1）若拋物線的對稱軸為坐標軸，焦點在直線x－2y－4＝0 上，則此拋物線的標準方程為 y2＝16x或x2＝－8y .
解析由x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以拋物線的焦點是（4，0）或（0，－2），故所求拋物線的標準方程為y2＝16x或x2＝－8y.
（2）如圖，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，則拋物線的方程為 y2＝3x .
解析如圖，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別為點E，D，設｜BF｜＝a，準線與x軸交于點G，則由已知得，｜BC｜＝2a，由拋物線的定義得，｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵｜AC｜＝｜AF｜＋｜BF｜＋｜BC｜＝3＋3a，2｜AE｜＝｜AC｜，∴3＋3a＝6，∴a＝1.易知BD∥FG，∴｜BD｜｜GF｜＝｜BC｜｜CF｜，即1p＝23，解得p＝32，因此拋物線的方程為y2＝3x.
命題點3 拋物線的幾何性質
例3 [多選/2023新高考卷Ⅱ]設O為坐標原點，直線y＝－3（x－1）過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ AC ）
A.p＝2
B.｜MN｜＝83
C.以MN為直徑的圓與l相切
D.△OMN為等腰三角形
解析由題意，易知直線y＝－3（x－1）過點（1，0）.
對于A，因為直線經過拋物線C的焦點，所以易知焦點坐標為（1，0），所以p2＝1，即p＝2，所以A選項正確.
對于B，不妨設M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，聯(lián)立方程得y＝－3（x－1),y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3.由拋物線的定義得，｜MN｜＝x1＋x2＋p＝103＋2＝163，故B選項錯誤.
對于C，由以上分析易知，l的方程為x＝－1，以MN為直徑的圓的圓心坐標為（53，－233），半徑r＝12｜MN｜＝83＝53＋1，所以以MN為直徑的圓與l相切，故C選項正確.
對于D，由兩點間距離公式可得｜MN｜＝163，｜OM｜＝133，｜ON｜＝21，故D選項錯誤.綜上，選AC.
方法技巧
應用拋物線的幾何性質解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數形結合思想解題的直觀性.
訓練3 [多選]已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，直線l的斜率為3且經過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點D，若｜AF｜＝8，則以下結論正確的是（ ABC ）
A.p＝4B.DF＝FA
C.｜BD｜＝2｜BF｜D.｜BF｜＝4
解析如圖所示，分別過點A，B作拋物線C的準線m的垂線，垂足分別為點E，M.設拋物線C的準線m交x軸于點P，則｜PF｜＝p，由于直線l的斜率為3，所以傾斜角為60°，因為AE∥x軸，所以∠EAF＝60°.由拋物線的定義可知，｜AE｜＝｜AF｜，則△AEF為等邊三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，則∠PEF＝30°，所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，所以p＝4，A選項正確；因為｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，PF∥AE，所以F為AD的中點，則DF＝FA，B選項正確；因為∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，C選項正確；因為｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝13｜DF｜＝13｜AF｜＝83，D選項錯誤.故選ABC.課標要求
命題點
五年考情
命題分析預測
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及簡單幾何性質.
2.了解拋物線的簡單應用.
3.體會數形結合的思想.
拋物線的定義及其應用
2022全國卷乙T5；2021新高考卷ⅡT3；2021全國卷乙T21；2020全國卷ⅠT4
本講每年必考，主要以定義作為命題思路，求解軌跡問題、距離問題、最值問題等.在2025年高考備考中，在訓練常規(guī)題型的同時，應關注拋物線的定義的應用.
拋物線的標準方程
2023全國卷乙T13；2022全國卷甲T20；2021新高考卷ⅠT14；2021全國甲卷T20
拋物線的幾何性質
2023新高考卷ⅡT10；2021新高考卷ⅠT14；2020全國卷ⅡT19；2020全國卷ⅢT5
標準方程
y2＝2px（p＞0）
y2=-2pxp>0
x2＝2py（p＞0）
x2＝－2py（p＞0）
圖形
幾何
性質
對稱軸
x軸
y軸
頂點
O（0，0）
焦點
④ F（p2，0）
⑤ F（－p2，0）
⑥ F（0，p2）
⑦ F（0，－p2）
準線方程
⑧ x＝－p2
⑨ x＝p2
⑩ y＝－p2
? y＝p2
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
離心率
e＝? 1
焦半徑（其中Px0,y0為拋物線上任一點）
? p2＋x0
p2－x0
? p2＋y0
p2－y0

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