2021版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第8章第7節(jié)　拋物線-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

[最新考綱]　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用．

1．拋物線的定義
滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：
(1)在平面內(nèi)；
(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等；
(3)定點不在定直線上．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)．
(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．
(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長度等于2p，通徑是過焦點最短的弦．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線． (　　)
(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切．
(　　)
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－. (　　)
(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形． (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改編
1．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(　　)
A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6
B　[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]
2．若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是(　　)
A. B.
C. D．0
B　[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.]
3．設(shè)拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
B　[如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x＝－2，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交直線l于點B，

則|AB|＝2.由于點P到y(tǒng)軸的距離為4，則點P到準(zhǔn)線l的距離|PB|＝4＋2＝6，所以點P到焦點的距離|PF|＝|PB|＝6.故選B.]
4．頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
y2＝－x或x2＝－8y　[若焦點在y軸上，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意可知16＝－2m，∴m＝－8，即x2＝－8y.若焦點在x軸上，設(shè)拋物線方程為y2＝nx，由題意，得4＝－4n，∴n＝－1，∴y2＝－x.
綜上知，y2＝－x或x2＝－8y.]

考點1　拋物線的定義及應(yīng)用
(1)應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點
①由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化．
②注意靈活運用拋物線上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
(2)解決與過拋物線焦點的弦有關(guān)問題的重要途徑是：“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”．
(1)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離為(　　)
A.　　　B.　　　C．1　　　D．3
(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為．
(1)B　(2)4　[(1)∵F是拋物線y2＝x的焦點，
∴F，準(zhǔn)線方程x＝－，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可得
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3.
解得x1＋x2＝，∴線段AB的中點橫坐標(biāo)為，
∴線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離為＋＝.故選B.
(2)如圖，過點B作BQ垂直準(zhǔn)線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.]

[母題探究]
1．若將例(2)中的B點坐標(biāo)改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．
[解]　由題意可知點B(3,4)在拋物線的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，F(xiàn)(1,0)，
　∴|PB|＋|PF|≥|BF|
＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值為2.
2．若將例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值．
[解]　由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)．
點P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離，
故d2＋|PF|的最小值為＝3，
所以d1＋d2的最小值為3－1.
　與拋物線有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法
(1)將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解．
(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．
　(2017· 全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝ .
6　[如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF.

由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵點M為FN的中點，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]
考點2　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)
　求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)(2019·濰坊模擬)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為(　　)
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝
(2)[一題多解]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝ .
(1)B　(2)4　[(1)設(shè)M(x，y)，因為|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面積為4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x.
(2)法一：拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝，所以yA＝2.因為PA⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2.將其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
法二：拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因為PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF為等邊三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.]
　在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此．
　1.(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，
拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，
∴不妨設(shè)A，D.
∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上，
∴ ∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)．
∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.]
2.如圖所示，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為(　　)

A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
B　[如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點G，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，

則在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，從而得a＝，∵AE∥FG，
∴＝，即＝，p＝2.∴拋物線的方程為y2＝4x.故選B.]
考點3　直線與拋物線的位置關(guān)系
　求解拋物線綜合問題的方法
(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應(yīng)用．
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點在x軸正半軸)，若不過焦點，則必須用弦長公式．
提醒：涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解．
(1)過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有條．
(2)(2019·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.
①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
②若＝3，求|AB|.
(1)3　[(1)結(jié)合圖形分析可知(圖略)，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)．]
(2)[解]　設(shè)直線l：y＝x＋t，A，B.
①由題設(shè)得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，
由題設(shè)可得x1＋x2＝.
由，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－.
從而由－＝，得t＝－.
所以l的方程為y＝x－.
②由＝3得y1＝－3y2.
由，得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.
從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.
　解答本例(2)第②問的關(guān)鍵是從條件“＝3”中發(fā)現(xiàn)變量間的關(guān)系“y1＝－3y2”，從而為方程組的消元提供明確的方向．
[教師備選例題]
1．(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
[解](1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，
故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設(shè)知＝8，
解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程為y＝x－1.
　(2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則

解得或
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
2．(2019·金華模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)在第一象限內(nèi)的點P(2，t)到焦點F的距離為.
(1)若N，過點N，P的直線l1與拋物線相交于另一點Q，求的值；
(2)若直線l2與拋物線C相交于A，B兩點，與圓M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E兩點，O為坐標(biāo)原點，OA⊥OB，試問：是否存在實數(shù)a，使得|DE|為定值？若存在，求出a的值；若不存存，請說明由．
[解](1)∵點P(2，t)到焦點F的距離為，
∴2＋＝，解得p＝1，
故拋物線C的方程為y2＝2x，P(2,2)，
∴l(xiāng)1的方程為y＝x＋，
聯(lián)立得解得xQ＝，
又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，∴＝＝.
(2)設(shè)直線l2的方程為x＝ny＋m(m≠0)，代入拋物線方程可得y2－2ny－2m＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，①
由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0，
整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，②
將①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，滿足Δ＝4n2＋8m>0，∴直線l2：x＝ny＋2，
∵圓心M(a,0)到直線l2的距離d＝，
∴|DE|＝2，
顯然當(dāng)a＝2時，|DE|＝2，∴存在實數(shù)a＝2，使得|DE|為定值．
　1.[一題多解]過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于(　　)
A．4 B.
C．5 D．6
B　[法一：(直接法)易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
法二：(應(yīng)用性質(zhì))由對稱性不妨設(shè)點A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，

設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，
則|AB|＝3m，
由拋物線的定義知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.則sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝＝.
法三：(應(yīng)用性質(zhì))因為|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.]
2．(2019·臨沂模擬)已知點A(m,4)(m＞0)在拋物線x2＝4y上，過點A作傾斜角互補的兩條直線l1和l2，且l1，l2與拋物線的另一個交點分別為B，C.
(1)求證：直線BC的斜率為定值；
(2)若拋物線上存在兩點關(guān)于BC對稱，求|BC|的取值范圍．
[解](1)證明：∵點A(m,4)在拋物線上，
∴16＝m2，∴m＝±4，
又m＞0，∴m＝4.
設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，
則kAB＋kAC＝＋＝＝0，
∴x1＋x2＝－8.
∴kBC＝＝＝＝－2，
∴直線BC的斜率為定值－2.
(2)設(shè)直線BC的方程為y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)
關(guān)于直線BC對稱，設(shè)PQ的中點為M(x0，y0)，則
kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1.
∴M(1，－2＋b)．
又點M在拋物線內(nèi)部，
∴－2＋b＞，即b＞.
由
得x2＋8x－4b＝0，
∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b.
∴|BC|＝|x3－x4|
＝·
＝×.
又b＞，∴|BC|＞10.
∴|BC|的取值范圍為(10，＋∞)．