專題07 幾何圖形動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題-玩轉(zhuǎn)壓軸題,爭(zhēng)取滿分之備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)解答題高端精品-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭(zhēng)取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品
專題七幾何圖形動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題
【考題研究】
幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題，是以幾何知識(shí)和具體的幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，通過點(diǎn)、線、形的運(yùn)動(dòng)，圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等把圖形的有關(guān)性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系看作是在變化的、相互依存的狀態(tài)之中，要求對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過程伴隨的數(shù)量關(guān)系的圖形的位置關(guān)系等進(jìn)行探究．對(duì)學(xué)生分析問題的能力，對(duì)圖形的想象能力，動(dòng)態(tài)思維能力的培養(yǎng)和提高有著積極的促進(jìn)作用．動(dòng)態(tài)問題，以運(yùn)動(dòng)中的幾何圖形為載體所構(gòu)建成的綜合題，它能把幾何、三角、函數(shù)、方程等知識(shí)集于一身，題型新穎、靈活性強(qiáng)、有區(qū)分度，受到了人們的高度關(guān)注，同時(shí)也得到了命題者的青睞，動(dòng)態(tài)幾何問題，常常出現(xiàn)在各地的中考數(shù)學(xué)試卷中．
【解題攻略】
幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題通常包括動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題、面動(dòng)問題，在考查圖形變換(含三角形的全等與相似)的同時(shí)常用到的不同幾何圖形的性質(zhì)，以三角形四邊形為主，主要運(yùn)用方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想．
【解題類型及其思路】
動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。利用動(dòng)點(diǎn)（圖形）位置進(jìn)行分類，把運(yùn)動(dòng)問題分割成幾個(gè)靜態(tài)問題，然后運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想和方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程問題 ,利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)（或所求圖形面積）直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程。
解題類型：
幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題常見有兩種常見類型：
(1)利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程；
(2)根據(jù)運(yùn)動(dòng)圖形的位置分類，把動(dòng)態(tài)問題分割成幾個(gè)靜態(tài)問題，再將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程問題

【典例指引】
類型一【探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中線段之間的數(shù)量關(guān)系】
【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AD，以AD為一邊在AD右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，如圖1，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，判斷∠BAD　　∠CAF（填“＝”或“≠”），并證明：CF⊥BD
（2）如果AB≠AC，且點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的示意圖，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)正方形ADEF的邊DE所在直線與直線CF相交于點(diǎn)P，若AC＝4，CD＝2，求線段CP的長(zhǎng)．

【答案】（1）＝，見解析；（2）AB≠AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立，見解析；（3）線段CP的長(zhǎng)為1或3
【解析】
【分析】
（1）證出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可證△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．
（2）過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，可得出AC＝AG，易證△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．
（3）分兩種情況去解答．①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易證△AQD∽△DCP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出CP＝1；②點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理得出CP＝3．
【詳解】
（1）①解：∠BAD＝∠CAF，理由如下：
∵四邊形ADEF是正方形
∴∠DAF＝90°，AD＝AF
∵AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
故答案為：＝
②在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD
∴∠B＝∠ACF
∴∠B+∠BCA＝90°
∴∠BCA+∠ACF＝90°
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD
（2）如圖2所示：AB≠AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立．理由如下：
過點(diǎn)A作GA⊥AC交BC于點(diǎn)G

則∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD
∵∠ACB＝45°
∴∠AGD＝45°
∴AC＝AG
在△GAD和△CAF中，，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°
∴CF⊥BD．
（3）過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3所示：

∵∠BCA＝45°
∴△ACQ是等腰直角三角形
∴AQ＝CQ＝AC＝4
∴DQ＝CQ﹣CD＝4﹣2＝2
∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°
∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°
∴∠DAQ＝∠PDC
∵∠AQD＝∠DCP＝90°
∴△DCP∽△AQD
∴＝，即＝
解得：CP＝1
②點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖4所示：

∵∠BCA＝45°
∴AQ＝CQ＝4
∴DQ＝AQ+CD＝4+2＝6
∵AQ⊥BC于Q
∴∠Q＝∠FAD＝90°
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D
∴∠ADQ＝∠AFC′
則△AQD∽△AC′F
∴CF⊥BD
∴△AQD∽△DCP
∴＝，即＝
解得：CP＝3
綜上所述，線段CP的長(zhǎng)為1或3．
【名師點(diǎn)睛】
此題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．
【舉一反三】
如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，（點(diǎn)C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)P
（1）觀察猜想：①線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為_________；②∠APC的度數(shù)為_______________
（2）數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE=BD交于點(diǎn)P，則線段AE與BD的關(guān)系為________________

【答案】（1）AE=BD．∠APC=60°；（2）成立，見詳解；（3）AE=BD
【解析】
【分析】
（1）觀察猜想：①證明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE=BD，∠CAE=∠BDC；
②過點(diǎn)C向AE，BD作垂線，由三角形全等可得高相等，再根據(jù)角分線判定定理，推出PC平分∠APB，即可求出∠APC的度數(shù)；
（2）數(shù)學(xué)思考：結(jié)論成立，證明方法類似；
（3）拓展應(yīng)用：證明△ACE≌△DCB（SAS），即可得AE=BD.
【詳解】
解：（1）觀察猜想：結(jié)論：AE=BD．∠APC=60°．
理由： ①∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
②由①得∠EAC=∠BDC，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠APB=∠AOC+∠EAC=180°-60°= 120°．
過過點(diǎn)C向AE，BD作垂線交于點(diǎn)F與G

∵由①知△ACE≌△DCB
∴CF=CG
∴CP為∠APB的角平分線
∴∠APC=60°；
（2）數(shù)學(xué)思考：結(jié)論仍然成立．

①∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
②由①得∠AEC=∠DBC，
∴∠CEA+∠PEB=∠CBD+∠PEB=60°，
∴∠APB=∠CBD+∠CBE+∠PEB=120°．
過過點(diǎn)P向AC，BC作垂線交于點(diǎn)H與I

∵由①知△ACE≌△DCB
∴PH=PI
∴CP為∠APB的角平分線
∴∠APC=60°；
（3）∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=90°，CE=CB，
∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD.
【點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
類型二【確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間】
【典例指引2】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形的項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.

（1）直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)（______，______），點(diǎn)坐標(biāo)（______，______）；
（2）如圖，D為中點(diǎn).連接，，如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，且四邊形的面積是面積的倍，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每鈔個(gè)單位的速度沿線段運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā).以每秒個(gè)單位的連度沿線段運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒，在，運(yùn)動(dòng)過程中.當(dāng)時(shí)，直接寫出時(shí)間的值.

【答案】（1），（2）（3）或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的確定，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)四邊形的面積是面積的倍，列出關(guān)于m的方程，解方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由題意表示出ON=6－2t，MC=t，過點(diǎn)M作ON 得垂線ME交OA 于點(diǎn)E，
根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求解即可.
【詳解】
（1）∵長(zhǎng)方形的項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴BC=6，AB=4，
∴OA=6，OC=4，
∴A（6,0）C（0,4）；
（2）連接PD，PO，過點(diǎn)P作PE⊥OD，交OD 于點(diǎn)E，

∵BC=6，AB=4；
∴，
∵四邊形的面積是面積的倍，
∴四邊形的面積是24，
∴

∵D為中點(diǎn)，
∴OD=2;
∵是第二象限的點(diǎn)，
∴PE=﹣m，
∴可列方程為；解得m=﹣18，
∴
（3）如圖，過點(diǎn)M作ON 的垂線ME交OA 于點(diǎn)E，

由題意得ON=6－2t，MC=t；
∴ME=4，EN=6－3t
又∵，
∴根據(jù)勾股定理可列方程為，解方程得t=或t=
∴當(dāng)t=或t=時(shí)，.
【名師點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)和直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的確定，勾股定理等，利用方程思想解決問題是解題的關(guān)鍵
【舉一反三】如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求BQ的長(zhǎng)，（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，求t的值
（3）當(dāng)點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上時(shí)，直接寫出t的值．

【答案】（1）BQ＝5﹣t;（2）秒;（3）t＝.
【解析】
【分析】
（1）利用平行四邊形的性質(zhì)可證△APO≌△CQO，則AP＝CQ，再利用即可得出答案；

（2）由平行四邊形性質(zhì)可知AP∥BQ，當(dāng)AP＝BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，建立一個(gè)關(guān)于t的方程，解方程即可求出t的值；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AO的長(zhǎng)度，然后利用的面積求出EF的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出OE的長(zhǎng)度，而AE可以用含t的代數(shù)式表示出來，最后在中利用勾股定理即可求值.
【詳解】
解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∵BC＝5，
∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；
（2）∵AP∥BQ，
當(dāng)AP＝BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，
即t＝5﹣t，
t＝，
∴當(dāng)t為秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；
（3）t＝，
如圖，

在Rt△ABC中，
∵AB＝3，BC＝5，
∴AC=
∴AO＝CO＝AC＝2，

∴3×4＝5×EF，
∴，
∴，
∵OE是AP的垂直平分線，
∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，

或（舍去）
∴當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)以及動(dòng)點(diǎn)問題，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.
類型三【探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中圖形的形狀或圖形之間的關(guān)系】
【典例指引3】已知矩形ABCD中，，，現(xiàn)有兩只螞蟻P和Q同時(shí)分別從A、B出發(fā)，沿方向前進(jìn)，螞蟻P每秒走1cm，螞蟻Q每秒走2cm．問：

（1）螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行幾秒?
（2）P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬袔酌牒?，直線PQ與邊AB平行?
【答案】（1）螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行秒；（2）P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬?0秒后,直線PQ∥AB
【解析】
【分析】
（1）首先設(shè)螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，可得方程：10-t=2t，解此方程即可求得答案；
（2）首先設(shè)P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬衳秒后，直線PQ∥AB，可得方程：x-10=50-2x，解此方程即可求得答案.
【詳解】
(1)設(shè)螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行t秒，
∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴∠B=90°，
∴BP=BQ，
∵AP=tcm,BQ=2tcm,則PB=AB?AP=10?t(cm)，
∴10?t=2t，
解得：t=，
∴螞蟻出發(fā)后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行秒；
(2)設(shè)P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬衳秒后,直線PQ∥AB，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴AQ=BP，
∴x?10=50?2x，
解得：x=20，
∴P、Q兩只螞蟻?zhàn)羁炫佬?0秒后,直線PQ∥AB；
【名師點(diǎn)睛】
此題考查了矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
【舉一反三】
如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)（AO

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