?玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品
專題二 等腰三角形的存在性問題
【考題研究】
近幾年各地的中考數(shù)學(xué)試題中，探索等腰三角形的存在性問題頻頻出現(xiàn)，這類試題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思精巧，要求學(xué)生要有較高的分析問題的能力和解決問題的能力，這類問題符合課標(biāo)對學(xué)生能力提高的要求。
【解題攻略】
在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．
解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．
幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．哪些題目適合用幾何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．
①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么 ；③如圖3，如果CA＝CB，那么 ．
代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．
如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．
【解題類型及其思路】
解題類型：
動態(tài)類型：1.一動點(diǎn)類型問題；2.雙動點(diǎn)或多動點(diǎn)類型問題
背景類型：1.幾何圖形背景；2.平面直角坐標(biāo)系和幾何圖形背景
解題思路：
幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算；代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．
【典例指引】
類型一 【二次函數(shù)綜合題中根據(jù)條件判定三角形的形狀】
典例指引1．
拋物線與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（1，0），與軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)M是其頂點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式；
（2）第一象限拋物線上有一點(diǎn)D,滿足∠DAB=45°,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）直線 (﹣3＜＜﹣1)與x軸相交于點(diǎn)H．與線段AC，AM和拋物線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，P．證明線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形.
【解析】試題分析：（1）把B、C的坐標(biāo)代入，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）令y=0，求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AD交y軸于點(diǎn)N，求出求直線AN的解析式， 與拋物線聯(lián)立成方程組，解方程組，即可得到D的坐標(biāo)；
（3）求出直線AM、AC的解析式，當(dāng)x=t時，表示出HE，HF，HP，得到HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=，由HE+EF﹣FP=＞0， 得到HE+EF＞FP，再由HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，得到當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形．
試題解析：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B、C，∴ ，解得： ，∴拋物線的解析式為： ；
（2）令y=0，得： ，解得： ， ，∴A（﹣3，0），B（1，0），
設(shè)直線AD交y軸于點(diǎn)N，∵∠DAB=45°，∴△NAO是等腰直角三角形，N（0，3），
可求直線AN的解析式為y=x+3，
聯(lián)立，解得： 或，∴D的坐標(biāo)為（2，5）；
（3）M（﹣1，﹣4），
可求直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，
∵當(dāng)x=t時，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（）
∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=，
∵HE+EF﹣FP=＞0，
∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，
∴當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形．
【名師點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)的綜合題，難度較大．解答第（2）問的關(guān)鍵是：利用∠DAB=45°，找出直線AN與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；解答第（3）問的關(guān)鍵是：用含t的代數(shù)式表示出HE，HF，HP，EF的長．
【舉一反三】
（2020·江西初三期中）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）當(dāng)a=-時，S四邊形BOCE最大，且最大值為，此時，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-，）．
【解析】
【分析】
（1）已知拋物線過A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3-x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．
②當(dāng)CM=MP時，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點(diǎn)）．
③當(dāng)CM=CP時，因?yàn)镃的坐標(biāo)為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；
（3）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時E的坐標(biāo)．
【詳解】
(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(?3,0)，
∴
解得：.
∴所求拋物線解析式為：y=?x2?2x+3；
(2)∵拋物線解析式為：y=?x2?2x+3，
∴其對稱軸為，
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,a)，當(dāng)x=0時，y=3，
∴C(0,3),M(?1,0)
∴當(dāng)CP=PM時,(?1)2+(3?a)2=a2,解得a=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：；
∴當(dāng)CM=PM時,(?1)2+32=a2,解得，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：或；
∴當(dāng)CM=CP時,由勾股定理得：(?1)2+32=(?1)2+(3?a)2，解得a=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4 (?1,6).

綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為或 或P(?1,6)或；
(3)過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(a,?a2?2a+3)(?3

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