?玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品
專題九 動(dòng)態(tài)幾何定值問題
【考題研究】
數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動(dòng)態(tài)題是近年來中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有軸對(duì)稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、滾動(dòng)）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要 “以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動(dòng)態(tài)問題的特殊情況。以動(dòng)態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。
【解題攻略】
動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動(dòng)態(tài)幾何中的常見問題，其考點(diǎn)包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。
解答動(dòng)態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：
第一種是分兩步完成 ：先探求定值. 它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動(dòng)點(diǎn)放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫出證明.
第二種是采用綜合法，直接寫出證明.
【解題類型及其思路】
在中考中，動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考?jí)狠S題中，動(dòng)態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點(diǎn)是線段（和差）為定值問題，問題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究。
【典例指引】
類型一 【線段及線段的和差為定值】
【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點(diǎn)E．

（1）如圖1，當(dāng)∠CA′D＝15°時(shí)，作∠A′EC的平分線EF交BC于點(diǎn)F．
①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
②求證：EA′+EC＝EF；
（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（1）①105°，②見解析；（2）
【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解決問題，
②連接A′F，設(shè)EF交CA′于點(diǎn)O，在EF時(shí)截取EM=EC，連接CM．首先證明△CFA′是等邊三角形，再證明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解決問題．
（2）如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線于M．證明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F(xiàn)關(guān)于A′E對(duì)稱，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解決問題．
【詳解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋轉(zhuǎn)角α為105°．
②證明：連接A′F，設(shè)EF交CA′于點(diǎn)O．在EF時(shí)截取EM＝EC，連接CM．
∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，

∴∠CEA′＝120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴＝，
∴＝，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′CF是等邊三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM是等邊三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F(xiàn)關(guān)于A′E對(duì)稱，
∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝CB′＝1，CM＝，
∴AB′＝＝＝．
∴PA+PF的最小值為．
【名師點(diǎn)睛】
本題屬于四邊形綜合題，考查旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題，難度較大．
【舉一反三】
如圖（1），已知∠,點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，且，、為射線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（），過點(diǎn)作⊥，垂足為點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)．

（1）若時(shí)，求的值；
（2）設(shè)，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）如圖(2)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)、在射線和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示的長．
【答案】（1）；（2）(x>2)；（3）OQ的長度等于3.
【解析】（1）根據(jù)有兩對(duì)角相等的三角形相似可證明△CAP∽△COB，由相似三角形的性質(zhì)可知：，在由已知條件可求出OB的長，由正切的定義計(jì)算即可；
（2）作AE⊥PC于E，易證△PAE∽△PCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等，再利用平行線的性質(zhì)即可得到 ，所以，整理即可得到求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域即可；
（3）點(diǎn)B、C在射線OM和ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段OQ的長不發(fā)生變化，由△PAH∽△PBA得：，即PA=PH?PB，由△PHQ∽△POB得：即PQ?PO=PH?PB，所以PA=PQ?PO，再由已知數(shù)據(jù)即可求出OQ的長．
【詳解】（1）∵∠ACP=∠OCB ∠CAP=∠O=90°
∴△CAP∽△COB
∴
∵
∴
∴
∵AP=2
∴
在Rt△OBP中，
（2）作AE⊥PC，垂足為E，
易證△PAE∽△PCA
∴
∴
∴
∵∠MON=∠AEC=90°
∴ AE∥OM
∴
∴
整理得(x>2)
（3）線段OQ的長度不會(huì)發(fā)生變化
由△PAH∽△PBA
得
即
由△PHQ∽△POB
得
即
∴
∵PA=2 PO=4
∴PQ=1
∴OQ=3
即OQ的長度等于3.

【點(diǎn)睛】
此題考查相似形綜合題，解題關(guān)鍵在于作輔助線
類型二 【線段的積或商為定值】
【典例指引2】如圖①，矩形中，，，將繞點(diǎn)從處開始按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交邊（或）于點(diǎn)，交邊（或）于點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時(shí)，的旋轉(zhuǎn)隨即停止.
（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，也恰好過點(diǎn)，此時(shí)是否與相似？并說明理由；
（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）拓展延伸：設(shè)時(shí)，的面積為，試用含的代數(shù)式表示；
①在旋轉(zhuǎn)過程中，若時(shí)，求對(duì)應(yīng)的的面積；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e為4.2時(shí)，求對(duì)應(yīng)的的值.

【答案】（1）相似；（2）定值，；（3）①2，②.
【解析】（1）根據(jù)“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”即可得出答案；
（2）由得出，又為定值，即可得出答案；
（3）先設(shè)結(jié)合得出
①將t=1代入中求解即可得出答案；
②將s=4.2代入中求解即可得出答案.
【詳解】（1）相似
理由：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）

在旋轉(zhuǎn)過程中的值為定值，
理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，
，∴，∴，
∵四邊形為矩形，∴四邊形為矩形，
∴
∴
即在旋轉(zhuǎn)過程中，的值為定值，；
（3）由（2）知：，∴，
又∵，
∴，，
∴

即：；
①當(dāng)時(shí)，的面積，
②當(dāng)時(shí)，∴
解得：，（舍去）
∴當(dāng)?shù)拿娣e為4.2時(shí)，；
【名師點(diǎn)睛】
本題考查的是幾何綜合，難度系數(shù)較高，涉及到了相似以及矩形等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，第三問解題關(guān)鍵在于求出面積與AE的函數(shù)關(guān)系式.
【舉一反三】
如圖1,已知直線y＝a與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C
(1)若AB＝4,求a的值
(2)若拋物線上存在點(diǎn)D(不與A、B重合),使,求a的取值范圍
(3)如圖2,直線y＝kx＋2與拋物線交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),延長PE、PF分別交直線y＝－2于M、N兩點(diǎn),MN交y軸于Q點(diǎn),求QM·QN的值。
圖1 圖2
【答案】（1）；（2）；（3）8
【解析】（1）將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立，解一元二次方程求得A、B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AB，即可解答；
（2）由（1）可得CD=AB=，設(shè)D ，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，利用勾股定理可知，進(jìn)而得到，得到，根據(jù)函數(shù)圖象可知，即可求得a的取值范圍；
（3）設(shè)E（），F(xiàn)（），P（），分別表示EP和FP的解析式，當(dāng)時(shí)，求得，，聯(lián)立和y＝kx＋2，得到，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入即可解答.
【詳解】（1）聯(lián)立，
∴，解得：
∴
∴
（2）由（1）知AB=，
∴CD=AB=
設(shè)D

過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，則
∴
∴
又
∴
∴
又
∴
∴
（3）設(shè)E（），F(xiàn)（），P（）
EP解析式為
將P，E代入可得：
當(dāng)時(shí)，可求，
同理可求FP的解析式為

又聯(lián)立得：
∴
∴

【點(diǎn)睛】
本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，難度大，主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，還涉及了一元二次方程和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
類型三 【角及角的和差定值】
【典例指引3】如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點(diǎn)C、D在邊AB的同側(cè)），連接CD．
（1）若∠ABC90°，∠BAC30°，求∠BDC的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠BAC2∠BDC時(shí)，請(qǐng)判斷△ABC的形狀并說明理由；
（3）當(dāng)∠BCD等于多少度時(shí)，∠BAC2∠BDC恒成立．

【答案】（1）30°；（2）△ABC是等腰三角形，理由見解析；（3）當(dāng)∠BCD=150°時(shí)，∠BAC=2∠BDC恒成立.
【解析】（1）證明AC垂直平分BD，從而可得CD=BC，繼而得∠BDC=30°；
（2）設(shè)∠BDC=x，則∠BAC=2x，證明∠ACD=∠ADC，從而得AC=AD，再根據(jù)AB=AD可得AB=AC，從而得△ABC是等腰三角形；
（3）如圖， 作等邊△BCE，連接DE，證明△BCD≌△ECD后可得到∠BDE=2∠BDC，再通過證明△BDE≌△BAC得到∠BAC=∠BDE，從而得∠BAC=2∠BDC.
【詳解】（1）∵△ABD為等邊三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD，
又∵∠BAC=30°，
∴AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分BD，
∴CD=BC，
∴∠BDC=∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-60°=30°；

（2）△ABC是等腰三角形，
理由：設(shè)∠BDC=x，則∠BAC=2x，
有∠CAD=60°-2x，∠ADC=60°+x，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+x，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
又∵AB=AD，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
（3）當(dāng)∠BCD=150°時(shí)，∠BAC=2∠BDC恒成立，
如圖， 作等邊△BCE，連接DE，

∴BC=EC，∠BCE=60°.
∵∠BCD=150°，
∴∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°，
∴∠DCE=∠DCB.
又∵CD=CD，
∴△BCD≌△ECD.
∴∠BDC=∠EDC，
即∠BDE=2∠BDC.
又∵△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABC=∠DBE=60°+∠DBC.
又∵BC=BE，
∴△BDE≌△BAC.
∴∠BAC=∠BDE，
∴∠BAC=2∠BDC.
【名師點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)、結(jié)合圖形正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
【舉一反三】
如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，直線交拋物線W于另一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求直線的解析式；
（2）過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，若平分，求拋物線W的解析式；
（3）若，將拋物線W向下平移個(gè)單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，與射線的交點(diǎn)為．問：在平移的過程中，是否恒為定值？若是，請(qǐng)求出的值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）恒為定值．
【解析】（1）由拋物線解析式可得頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，-2），利用待定系數(shù)法即可得直線AB解析式；
（2）如圖，過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BE=BN，由∠BND=∠CED=90°，∠BND=∠CDE可證明，設(shè)BE=x，BD=y，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CE=2x，CD=2y，根據(jù)勾股定理由得y與x的關(guān)系式，即可用含x的代數(shù)式表示出C、D坐標(biāo)，代入y=ax2-2可得關(guān)于x、a的方程組，解方程組求出a值即可得答案；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平移規(guī)律可得拋物線W1的解析式為y=x2-2-m，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0）（t＜0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的W1的解析式為y=x2-t2，聯(lián)立直線BC解析式可用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)C1的坐標(biāo)，即可得，可得∠，根據(jù)拋物線W的解析式可得點(diǎn)D坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC與拋物線W的解析式可得點(diǎn)C、A坐標(biāo)，即可求出CG、DG的長，可得CG=DG，∠CDG=∠，即可證明，可得，，由∠CDG=45°可得BF=DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出DF的長，利用勾股定理可求出CD的長，即可求出CF的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得答案．
【詳解】（1）∵拋物線W：的頂點(diǎn)為點(diǎn)，
∴點(diǎn)，
設(shè)直線解析式為，
∵B（1，0），
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為：．
（2）如圖，過點(diǎn)作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)，點(diǎn)，
∴點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線W：上的點(diǎn)，
∴，
∵x＞0，
∴，
解得：(舍去)，，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為：．

（3）恒為定值，理由如下：
如圖，過點(diǎn)作軸于H，過點(diǎn)作軸G，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵a=，
∴拋物線W的解析式為y=x2-2，
∵將拋物線W向下平移m個(gè)單位，得到拋物線，
∴拋物線的解析式為：，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為：，
∵拋物線與射線的交點(diǎn)為，
∴，
解得：，(不合題意舍去)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)，
∴，
∴，
∴，且軸，
，
∵與軸交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)，
∵與交于點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
解得：或，
∴點(diǎn)，A（0，-2），
∴，
∴，且軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴恒為定值．

【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，難度較大，屬中考?jí)狠S題，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
類型四 【三角形的周長為定值】
【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為的正方形ABCD，點(diǎn)P 為正方形 AD 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、點(diǎn)D 重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B 落在 P 處，點(diǎn) C 落在 G 處，PG 交DC 于H，折痕為 EF，連接 BP，BH.
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；
（4）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）周長固定，周長為.（4）
【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，即能解決問題.（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和問題（1）的結(jié)論即能解決問題.（3）通過證明過B點(diǎn)向PG作垂線，垂足為Q，通過分別證明 和，將△PDH的周長問題轉(zhuǎn)化成兩固定邊長之和，即能解決問題，
【詳解】（1）證明：∵四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊
∴EP = EB
∴∠EPB = ∠EBP
（2）證明∵四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊，PG與BC重疊
∴∠EPG = ∠EBC
又∵∠EPB = ∠EBP
∴∠EPG - ∠EPB = ∠EBC - ∠EBP，即
∠BPH = ∠PBC
∵ AD∥BC,
∴∠APB = ∠PBC,
∴∠APB = ∠BPH
（3）解：△PDH的周長不發(fā)生變化.
如圖所示，過點(diǎn)B作BQ丄PG于點(diǎn)Q.

在△BPA和△BPQ中，
∵，
∴
∴
∴
，
∵
∴
∴QH=HC
∴△PDH的周長為：
為固定值，固定不變.
如圖，過點(diǎn)F作FM垂直AB于點(diǎn)M.


∵
∴
在△ABP和△MFE中
∵
∴
∴
在△AEP中，根據(jù)勾股定理，可得：

解得：
∴ ，即

即S關(guān)于x的關(guān)系式為：

【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等，二次函數(shù)、綜合性較強(qiáng)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形各邊長之間關(guān)系及三角形全等的判定方法.
【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).將一個(gè)邊長足夠大的Rt△DEF的直角頂點(diǎn)E放在點(diǎn)O處，并將其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點(diǎn)G，EF與BC邊交于點(diǎn)H.
(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC邊什么位置時(shí)，四邊形CGOH是正方形.
(2)等腰直角三角ABC的邊被Rt△DEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長度之和是否會(huì)發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請(qǐng)求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)點(diǎn)G在AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CGOH是正方形；(2)CG與CH的和不會(huì)發(fā)生變化，CG+CH＝8.
【解析】(1)由三角形中位線定理可得OG∥BC，OG＝BC，可證四邊形CGOH是矩形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACO＝∠COG＝45°，可得CG＝GO，可得結(jié)論；

(2)由“ASA”可證△GOC≌△HOB，可得CG＝BH，即可得CG+CH＝HB+CH＝BC＝8.
【詳解】解：(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CGOH是正方形，
連接CO，

∵O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，
∴OG∥BC，OG＝BC，
∴∠CGO＝∠C＝90°，
∵∠GOF＝90°，
∴四邊形CGOH是矩形，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AO＝BO，
∴∠ACO＝45°，且∠CGO＝90°，
∴∠ACO＝∠COG＝45°，
∴CG＝GO，
∴矩形CGOH是正方形；
(2)CG與CH的和不會(huì)發(fā)生變化，
理由如下：
連接OC，
∵△ABC是等腰直角三角形且點(diǎn)O為中點(diǎn)
∴∠GCO＝∠B＝45°，∠COB＝90°，CO＝BO
∵∠DOF＝90°＝∠COB，
∴∠GOC＝∠HOB，且CO＝BO，∠GCO＝∠B＝45°，
∴△GOC≌△HOB(ASA)
∴HB＝GC，
∴CG+CH＝HB+CH＝BC
∵AB＝8，
∴BC＝AC＝8
∴CG+CH＝8.
【點(diǎn)睛】
此題考查的是中位線的性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握中位線的性質(zhì)定理、正方形的判定定理和用ASA證明兩三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.
類型五 【三角形的面積及和差為定值】
【典例指引5】綜合與實(shí)踐：矩形的旋轉(zhuǎn)
問題情境：
在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個(gè)矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時(shí)對(duì)角線AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)停止，在此過程中開展探究活動(dòng)．
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊AB與EF交于點(diǎn)M，邊CD與GH交于點(diǎn)N，如圖2、圖3所示，則線段AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是　 ?。?br /> （2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個(gè)矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時(shí)，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．
（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題（2）中的四邊形QMRN中∠MQN與旋轉(zhuǎn)角∠AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫出這一關(guān)系，并說明理由．
實(shí)踐探究：
（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會(huì)發(fā)生變化．若矩形紙片的長為，寬為，請(qǐng)你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOE為多少度時(shí)，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）

【答案】（1）結(jié)論：AM＝CN，理由見解析；（2）證明見解析；（3）結(jié)論：∠MQN＝∠AOE，理由見解析；
（4）∠AOE＝45°或135°時(shí)，四邊形QMRN面積最大為．
【解析】(1)先證明△AOK≌△AOJ(ASA)，推出OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，再證明△EKM≌△GJN(ASA)即可的解；(2)過點(diǎn)Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分別為點(diǎn)K，L、先證明四邊形QMRN是平行四邊形，再證明QM＝QN即可的解；(3)由三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可解決問題；(4)如圖3-2中，連接BD，在DC上取一點(diǎn)J，使得DJ＝AD＝，則AJ＝2，通過解直角三角形求出∠BOC的度數(shù)，再結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】（1）結(jié)論：AM＝CN．
理由：如圖2中，設(shè)AB交EG于K，CD交EG于J．

∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是矩形，
∴AB∥CD，EF∥EG，OA＝OC＝OE＝OG，
∴∠MEK＝∠JGN，∠OAK＝∠OAJ，
∵∠AOK＝∠AOJ，∴△AOK≌△AOJ（ASA），
∴OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，∴EK＝JG，
∵∠EKM＝∠AKO，∠GJN＝∠CJO，∴∠EKM＝∠GJN，
∴△EKM≌△GJN（ASA），∴KM＝JN，∴AM＝AN．
（2）證明：過點(diǎn)Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分別為點(diǎn)K，L．

由題可知：矩形ABCD≌矩形EFGH，
∴AD＝EH，AB∥CD，EF∥HG，
∴四邊形QMRN為平行四邊形，
∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK＝EH，QL＝AD，∠QKM＝∠QLN＝90°，∴QK＝QL，
又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ＝∠MQN，∠MQN＝∠LNQ，
∴∠KMQ＝∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS），
∴MQ＝NQ∴四邊形QMRN為菱形．
（3）結(jié)論：∠MQN＝∠AOE．理由：如圖3﹣1中，

∵∠QND＝∠1+∠2，∠AOE＝∠1+∠3，
又由題意可知旋轉(zhuǎn)前∠2與∠3重合，∴∠2＝∠3，∴∠QND═∠AOE，
∵AB∥CD，∴∠MQN＝∠QND，∴∠MQN＝∠AOE．
（4）如圖3﹣2中，連接BD，在DC上取一點(diǎn)J，使得DJ＝AD＝，則AJ＝2，

∵CD＝2+，∴CJ＝AJ＝2，∴∠JCA＝∠JAC，
∵∠AJD＝45°＝∠JCA+∠JAC，∴∠ACJ＝22.5°，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝22.5°，∴∠BOC＝45°，
觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合或點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形QMRN的面積最大，最大值＝，
∴∠AOE＝45°或135°時(shí)，四邊形QMRN面積最大為．
【名師點(diǎn)睛】
本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定，解直角三角形和全等三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能正確找到全等三角形.
【舉一反三】
如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點(diǎn)B，C，∠F＝30°.
（1）求證：BE＝CE
（2）將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF，EG分別與AB，BC相交于點(diǎn)M，N.（如圖2）
①求證：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；
③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3），求sin∠EBG的值.

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②2；③.
【解析】（1）只要證明△BAE≌△CDE即可；
（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；
②構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
③如圖3中，作EH⊥BG于H．設(shè)NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m．利用面積法求出EH，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.
【詳解】（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE．
（2）①解：如圖2中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，設(shè)BM=CN=x，則BN=4-x，
∴S△BMN=?x（4-x）=-（x-2）2+2，
∵-＜0，
∴x=2時(shí)，△BMN的面積最大，最大值為2．
③解：如圖3中，作EH⊥BG于H．設(shè)NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m．

∴EG=m+m=（1+）m，
∵S△BEG=?EG?BN=?BG?EH，
∴EH==m，
在Rt△EBH中，sin∠EBH=．
【點(diǎn)睛】
本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題
【新題訓(xùn)練】
1．已知在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120°，E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長線相交于點(diǎn)G，
（1）如圖1，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，求線段BE、CG的長度．
（2）如圖2，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接DE，DF，△BEF與△CEG的周長之和是否是一個(gè)定值，若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，設(shè)BE=x，△DEF的面積為y，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

【答案】（1）BE=3，EG =；（2）是定值，為15+5；（3）y=﹣x2+（0＜x＜10）．
【解析】（1）先求出BE，AE，進(jìn)而求出BF，EF，再用平行四邊形的面積求出FG，即可得出結(jié)論；
（2）先求出BH，AH，再用相似表示出BF，EF，進(jìn)而得出CG，EG，即可得出結(jié)論；
（3）利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAD+∠B=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=60°，
∵AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=6，
∴BE=3，AE=3，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=BE=，EF=，
∵S?ABCD=BC×AE=AB×FG，
∴10×3=6FG，
∴FG=5，
∴EG=FG﹣EF=；
（2）如圖2，

過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵∠B=60°，
∴BH=3，AH=3，
∵∠AHB=∠BFE=90°，∠B=∠B，
∴△ABH∽△EBF，
∴，
設(shè)BE=a，
∴，
∴BF=a，EF=a，
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△CEG，
∴，
∴，
∴CG=（10﹣a），EG=（10﹣a），
∴C△BEF+C△CEG=BE+BF+EF+CE+CG+EG=a+a+a+10﹣a+（10﹣a）+（10﹣a）=10+5+5=15+5；
（3）同（2）的方法得，EF=x，CG=（10﹣x），
∴DG=CD+CG=6+5﹣x=11﹣x，
∴S△DEF=EF×DG=×x×（11﹣x）=﹣x2+（0＜x＜10）．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決第（2）小題的關(guān)鍵．
2．如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線的解析式；
（2）小明探究點(diǎn)P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值，請(qǐng)你判定該猜想是否正確，并說明理由；
（3）請(qǐng)直接寫出△PDE周長的最大值和最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+8；（2）正確，d＝|PD﹣PF|為定值2；理由見解析；（3）△PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10．
【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）首先表示出P，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式得出PD，PF的長，進(jìn)而求出即可；
（3）過E作EF⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE＋PF），當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE＋PF最?。划?dāng)P與A重合時(shí)，PE＋PF最大；即可解答．
【詳解】（1）∵邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+c，
則，
解得：．
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+8．
（2）設(shè)P（x，﹣x2+8），則F（x，8），
則PF＝8﹣（﹣x2+8）＝x2．
PD2＝x2+[6﹣（﹣x2+8）]2＝x4+x2+4＝（x2+2）2
∴PD＝x2+2，
∴d＝|PD﹣PF|＝|x2+2﹣x2|＝2
∴d＝|PD﹣PF|為定值2；
（3）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，

由d＝|PD﹣PF|為定值2，
得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），
又∵D（0，6），E（﹣4，0）
∴DE＝．
∴C△PDE＝2+2+（PE+PF），
當(dāng)PE和PF在同一直線時(shí)PE+PF最小，
得C△PDE最小值＝2+2+8＝2 +10．
設(shè)P為拋物線AC上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作PM∥x軸，交AB于點(diǎn)M，連接ME，如圖2．

由于E是AO的中點(diǎn)，易證得ME≥PE（當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A時(shí)，在△PME中，顯然∠MPE是鈍角，故ME≥PE，與A重合時(shí)，等號(hào)成立），而ME≤AE+AM，
所以PE≤AE+AM．
所以當(dāng)P與A重合時(shí)，PE+PF最大，
AE＝8﹣4＝4，PD＝＝10．
得C△PDE最大值＝2+4+10＝2+14．
綜上所述，△PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點(diǎn)距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵．
3．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．
(1)直接填空：∠BAD=______°.
(2)點(diǎn)P在CD上，連結(jié)AP，AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，AM、AN分別與射線BP交于點(diǎn)M、N．設(shè)∠DAM=α°．
①求∠BAN的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)．
②若AN⊥BM，試探究∠AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)用α的代數(shù)式表示它．

【答案】(1)90；(2)①∠BAN=(45-α)°；②∠AMB=45°.
【解析】(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAD的度數(shù)；
(2)①根據(jù)AM平分∠DAP，∠DAM=α°，即可得到∠BAP=(90-2α)°，再根據(jù)AN平分∠PAB，即可得到∠BAN=(90-2α)°=(45-α)°；
②根據(jù)AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，即可得出∠MAN=∠MAP+∠PAN=45°，再根據(jù)AN⊥BM，即可得到∠AMB的度數(shù)為定值．
【詳解】解：(1)∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-90°=90°．
故答案為：90；
(2)①∵AM平分∠DAP，∠DAM=α°，
∴∠DAP=2α°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP=(90-2α)°，
∵AN平分∠PAB，
∴∠BAN=(90-2α)°=(45-α)°；
②∵AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，
∴∠PAM=∠PAD，∠PAN=∠PAB，
∴∠MAN=∠MAP+∠PAN=∠PAD+∠∠PAB=90°=45°，
∵AN⊥BM，
∴∠ANM=90°，
∴∠AMB=180°-90°-45°=45°．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
4．將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BC，DE．探究S△ABC與S△ADC的比是否為定值．

（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時(shí)，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖①）
（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時(shí)，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖②）
（3）兩塊三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n為常數(shù)），S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由．（圖③）
【答案】（1）結(jié)論：S△ABC：S△ADE＝1，為定值．理由見解析；（2）S△ABC：S△ADE＝，為定值，理由見解析；（3）S△ABC：S△ADE＝，為定值．理由見解析.
【解析】（1）結(jié)論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
（2）結(jié)論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
（3）結(jié)論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）結(jié)論：S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝AE＝AD＝AC，
∴1．
（2）如圖2中，S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．

不妨設(shè)∠ADC＝30°，則ADAC，AE＝AB，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∴．
（3）如圖3中，如圖2中，S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n
∴．
【點(diǎn)睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．
5.（解決問題）如圖1，在中，，于點(diǎn)．點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．

（1）若，，則的面積是______，______．
（2）猜想線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．

（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．若，，直接寫出的值．

【答案】（1）15，8；（2），見解析；（3）；（4）4
【解析】解決問題（1）只需運(yùn)用面積法：，即可解決問題；
（2）解法同（1）；
（3）連接、、，作于，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理得出，得出的面積，由的面積的面積的面積的面積，即可得出答案；
（4）過點(diǎn)作，垂足為，易證，過點(diǎn)作，垂足為，由解決問題（1）可得，易證，，只需求出即可．
【詳解】解：（1）∵，，，
∴的面積，
∵，，，
且，
∴，
∵，
∴.
故答案為：15，8.
（2）∵，，，
且，
∴，
∵，
∴.
（3）連接、、，作于，如圖2所示：

∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的面積，
∵，，，
∴的面積的面積的面積的面積

，
∴.
（4）過點(diǎn)作，垂足為，如圖3所示：

∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
由折疊可得：，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由解決問題（1）可得：，
∴，即的值為4.
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，考查了用面積法證明幾何問題，考查了運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，體現(xiàn)了自主探究與合作交流的新理念，是充分體現(xiàn)新課程理念難得的好題．
6．如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O

（1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC；
（2）試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）2α；（2）是定值
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=BO=CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，根據(jù)周角定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠OBC=90°﹣α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
解：（1）AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O，
∴AO=BO=CO，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，
∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），
∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）=360°﹣2（∠OAB+∠OAC）=360°﹣2∠A=360°﹣2α，
∴∠BOC=360°﹣（∠AOB+∠AOC）=2α；
（2）∠ABO+∠ACB為定值，
∵BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，
∴∠OBC=（180°﹣2∠A）=90°﹣α，
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A=180°，
∴∠ABO+∠ACB=180°﹣α﹣（90°﹣α）=90°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，周角的定義，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．
7．⊙O的直徑AB＝15cm，有一條定長為9cm的動(dòng)弦，CD在弧AB上滑動(dòng)（點(diǎn)C和A、點(diǎn)D與B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F．
（1）求證：AE＝BF
（2）在動(dòng)弦CD滑動(dòng)過程中，四邊形CDFE的面積是否為定值，若是定值，請(qǐng)給出證明，并求這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）四邊形CDFE面積是定值，證明見解析.
【解析】（1）要證：AE=BF，就要從點(diǎn)O向CD作垂線，然后利用垂徑定理和平行線等分線段定理可知AE=BF；
（2）是定值，要求四邊形的面積就要分析這個(gè)四邊形是什么形狀的，從圖中可以看出是梯形，那就要利用梯形的計(jì)算公式計(jì)算，即（上底+下底）×高÷2，從圖中給出的數(shù)量關(guān)系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面積是定值．
【詳解】（1）如圖，過O作OG⊥CD于G，

則G為CD的中點(diǎn),
又EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD,
∴EC∥OG∥FD,
∴O為EF的中點(diǎn)，即OE=OF,
又AB為⊙O的直徑,
∴OA=OB,
∴AE=BF（等式性質(zhì)）,
(2)四邊形CDFE的面積是定值,理由如下：
過點(diǎn)O作OG⊥CD于G，連接OD.

則
在△OGD中,
根據(jù)勾股定理得 則GD=4.5cm.
∵OD、DG是定值，
∴OG是定值,
∵CE∥OG∥DF，G為CD中點(diǎn)，
∴O為EF中點(diǎn)，
①當(dāng)CD與AB不平行時(shí)．
∴OG為梯形CDFE的中位線，
∴CE+DF=2OG=2×6=12cm，
∵梯形的高也是定值9cm，
∴梯形的面積是定值=12×9÷2=54cm2.
②當(dāng)CD∥AB時(shí)，四邊形ECDF是矩形，
OG=EC=FD=6，
∴矩形的面積=6×9=54cm2是定值.
綜上所述，四邊形CDFE的面積是定值.
【點(diǎn)睛】
考查了垂徑定理和平行線的性質(zhì)，要學(xué)會(huì)幾何圖形的綜合應(yīng)用的解法，充分利用已知條件求證結(jié)論.
8．如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，為直徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)及的中點(diǎn)重合），連接.過點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊在半圓同側(cè)作正方形，過點(diǎn)作的切線交射線于點(diǎn)，連接、.
（1）探究：如左圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；
①判斷是否成立？請(qǐng)說明理由；
②設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；
③設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）拓展：如右圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；
分別判斷（1）中的三個(gè)結(jié)論是否保持不變？如有變化，請(qǐng)直接寫出正確的結(jié)論.（均不必說明理由）
【答案】(1)①成立，理由見解析；②為定值1；③為定值45°；（2）不發(fā)生變化.
【解析】
試題分析：(1) ①∠MEO=∠MDN=90°，∠MOE=∠DMN,證明△OEM∽△MDN；②過點(diǎn)B作BG⊥MN,證明△BME≌△BMG,得BM=MG,再證明△BNG≌△BCN,得GN=CN，從而得k=1；③由②知∠OBM=∠MBG得BM=MG,有△BNG≌△BCN,得∠GBN=∠CBN,，即可得為定值45°；（2）和（1）的思路相同，不發(fā)生變化.
試題解析：
（1）①成立，理由如下：
過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，以BE為邊在半圓同側(cè)作正方形BCDE，
∴∠MEO=∠MDN=90°，
∴∠MOE+∠EMO=90°
過M點(diǎn)的的切線交射線DC于點(diǎn)N，
∴∠OMN=90°，
∴∠DMN+∠EMO=90°
∴∠MOE=∠DMN
∴△OEM∽△MDN
②k是定值1，理由如下：
過點(diǎn)B作BG⊥MN,
∵過M點(diǎn)的的切線交射線DC于點(diǎn)N，
∴∠OMN=90°，
∵BG⊥MN,
∴∠BGM=90°，
∴∠OMN=∠BGM=90°，
∴OM∥BG
∴∠OMB=∠MBG,
∵OM=OB
∴∠OMB=∠OBM,
∴∠OBM=∠MBG,
∴△BME≌△BMG,
∴BM=MG,BG=BE,
∵正方形BCDE，
∴BG=BC
∴△BNG≌△BCN,
∴GN=CN
∴MN=MG+NG=ME+CN
即

③為定值45°，理由如下：
由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG≌△BCN,
∴∠GBN=∠CBN,
∵正方形BCDE，
∴∠EBC=90°，
∴∴∠MBN=
(2)不發(fā)生變化.
考點(diǎn)：圓的綜合題
9．如圖，已知⊙的半徑為，為直徑，為弦．與交于點(diǎn)，將 沿著翻折后，點(diǎn)與圓心重合，延長至，使，鏈接．

（）求的長．
（）求證：是⊙的切線．
（）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在延長線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（與、不重合）．則為一定值．請(qǐng)說明理由，并求出該定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），理由見解析.
【解析】
試題分析：（1）連接OC，根據(jù)翻折的性質(zhì)求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據(jù)圓的切線的定義證明即可；（3）連接GA、AF、GB，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，從而得到GE?GF=AG2，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．
（）連接，

∵沿翻折后，與重合，
∴，
∴，
∵，
∴．
（）∵，，
∵，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴是⊙的切線．
（），為定值，
連接，，，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵為直徑，，
∴，
∴，
∴．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且OA=6，OB=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)及AB的長；
（2）若直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DP分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、N，射線DM交x軸于點(diǎn)M，連接MN．
①當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸時(shí)，若△PDM∽△MON，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②在直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，∠DMN的大小是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．

【答案】 （1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），AB=10；（2）①點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0， ）；②在直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化，理由見解析
【解析】（1）根據(jù)OA＝6，OB＝8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），根據(jù)勾股定理可得AB10；
（2）①先過點(diǎn)D作DC⊥y軸于C，作DE⊥x軸于E，則得出CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90°，再設(shè)ON＝x，則CN＝4﹣x，判定△CDN∽△EDM，得出EM（4﹣x），判定△CDN∽△OPN，得出OP，再根據(jù)PO＝MO，得出關(guān)于x的方程（4﹣x），求得x的值即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②先根據(jù)△CDN∽△EDM，得到，再根據(jù)OA＝6，OB＝8，得到，最后根據(jù)，∠AOB＝∠NDM＝90°，判定△AOB∽△NDM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠DMN＝∠OBA，進(jìn)而得到∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化．
【詳解】（1）∵OA＝6，OB＝8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），AB10；
（2）①如圖，過點(diǎn)D作DC⊥y軸于C，作DE⊥x軸于E，則
CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90°，設(shè)ON＝x，則CN＝4﹣x．
∵∠CDE＝∠PDM＝90°，∴∠CDN＝∠EDM，∴△CDN∽△EDM，∴，即，∴EM（4﹣x）．
∵CD∥PO，∴△CDN∽△OPN，∴，即，∴OP．
∵△PDM∽△MON，∴∠NPO＝∠NMO，∴PN＝MN．
∵NO⊥PM，∴PO＝MO，即（4﹣x），解得：x1＝10（舍去），x2，∴ON，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，）；
②在直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：
由①可得：△CDN∽△EDM，∴，即．
又∵OA＝6，OB＝8，∴，∴，即．
又∵∠AOB＝∠NDM＝90°，∴△AOB∽△NDM，∴∠DMN＝∠OBA．
∵∠OBA大小不變，∴∠DMN的大小不會(huì)發(fā)生變化．

【點(diǎn)睛】
本題屬于相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，解題時(shí)注意等腰三角形具有三線合一的性質(zhì)，注意方程思想的靈活運(yùn)用．判定相似三角形的常用方法有：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
11．如圖，△AOB中，A（－8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、C，與x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，EC的延長線交x軸于點(diǎn)F，
（1）⊙P的半徑為　　　??；
（2）求證：EF為⊙P的切線；
（3）若點(diǎn)H是上一動(dòng)點(diǎn)，連接OH、FH，當(dāng)點(diǎn)H在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）是定值，
【解析】(1)根據(jù)勾股定理求得AB=，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，得到AE=AO=8，BE=,在△BEC中，根據(jù)勾股定理求得CO=CE=4，再依據(jù)△AOC∽△COD求得OD=2，進(jìn)而求得半徑為5；（2）依據(jù)角平分線證得PC//AE，得到CP⊥EF；（3）根據(jù)△POH∽△PHF求得.
【詳解】（1）(1)連接PC，
∵AC平分∠OAB，
∴∠BAC=∠OAC，
∵PA=PC，
∴∠PCA=∠PAC，
∴∠BAC=∠ACP，
∴PC∥AB，
∴△OPC∽△OAB，
∴PCAB=OPOA，
∵A(?8,0),B(0,)，
∴OA=8,OB=，
∴AB=，
∴=，
∴PC=5，
∴⊙P的半徑為5；
故答案為5；
（2）證明：連接CP，
∵AP=CP
∴∠PAC=∠PCA
∵AC平分∠OAB
∴∠PAC=∠EAC
∴∠PCA=∠EAC
∴PC//AE
∵CE⊥AB
∴CP⊥EF即EF是⊙P的切線


（3）是定值，
連接PH,
由（1）得AP=PC=PH=5，
∵A(-8，0)
∴OA=8
∴OP=OA-AP=3
在Rt△POC中，
由射影定理可得，
∴OF=,
∴PF=PO+OF=
∵,
∴
又∵∠HPO=∠FPH
∴△POH∽△PHF
∴,
當(dāng)H與D重合時(shí)，.
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，射影定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．過點(diǎn)A作對(duì)角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點(diǎn)E．P為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，D重合），連接PA，PE，AC．

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）求四邊形ABDE的周長和面積；
（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值；如果不是定值的，請(qǐng)直接寫出它的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）?ABDE的周長為：，面積為；
（3）①；②S1+S2的值為定值，這個(gè)定值為
【解析】（1）利用菱形的性質(zhì)得：AB∥DE，由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形可得結(jié)論；
（2）設(shè)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O．根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)得AC的長，由勾股定理得OB的長和BD的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得其周長和面積；
（3）①先根據(jù)三角形的周長計(jì)算C1+C2=2AB+BD+AP+PE=4+2+AP+PE，確定AP+PE的最大值和最小值即可；
根據(jù)軸對(duì)稱的最短路徑問題可得：當(dāng)P在D處時(shí)，AP+PE的值最小，最小值是2+2=4，由圖形可知：當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí)，AP+PE的值最大，構(gòu)建直角三角形計(jì)算即可；
②S1+S2的值為定值，這個(gè)定值為，根據(jù)面積公式可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
即AB∥DE．
∵BD∥AE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形．
（2）解：設(shè)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBP＝∠ABC＝30°，AC⊥BD．
在Rt△AOB中，AO＝AB＝1，
∴OB＝．
∴BD＝2BO＝2．
∴ABDE的周長為：2AB+2BD＝4+4，
ABDE的面積為：BD?AO＝2×1＝2．
（3）①∵C1+C2＝AB+PB+AP+PD+PE+DE＝2AB+BD+AP+PE＝4+2+AP+PE，
∵C和A關(guān)于直線BD對(duì)稱，
∴當(dāng)P在D處時(shí)，AP+PE的值最小，最小值是2+2＝4，
當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí)，AP+PE的值最大，如圖2，
過E作EG⊥BD，交BD的延長線于G，
∵∠BDE＝150°，
∴∠EDG＝30°，
∵DE＝2，
∴EG＝1，DG＝，
Rt△PEG中，BG＝2+＝3，
由勾股定理得：PE＝，
∴AP+PE的最大值是：2+2，
∵P為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，D重合），
∴4+4+2＜C1+C2＜4+2+2+2，即8+2＜C1+C2＜6+2+2；
（寫對(duì)一邊的范圍給一分）
②S1+S2的值為定值，這個(gè)定值為；
理由是：S1+S2＝．

【點(diǎn)睛】
考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積和周長公式，解（1）的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，解（2）的關(guān)鍵是計(jì)算OA和OB的長，解（3）的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)建直角三角形.
13．如圖，在中，圓心關(guān)于弦的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，連接、、、.
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）如圖，若點(diǎn)是優(yōu)?。ú缓它c(diǎn)、）上任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，的半徑為.
試探究
①線段與的積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；
②求的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）①為定值12 ，理由見解析；②
【解析】（1）連接OC交AB于I，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂徑定理得到AB垂直平分OC，OC平分AB，根據(jù)菱形的判定定理證明；
（2）①連接AC、AQ，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC=OA=2，證明△ACP∽△QCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
②根據(jù)正弦的定義求出AB，根據(jù)相交弦定理得到CP?PQ=AP?PB，利用配方法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【詳解】證明：
（1）如圖1，連接交于點(diǎn)，
圓心與點(diǎn)關(guān)于弦的對(duì)稱，
垂直平分，
是半徑，
平分，
四邊形是菱形.

（2）①為定值12
理由如下：
由（1）證得：四邊形是菱形，
.
連接、，如圖2，

圖2
，
，
，
又，
，
，即
②如圖1，四邊形是菱形，
，，
又，
，
與均是等邊三角形，

在中，，，

如圖3，

圖3
連接、，則，，
，，，
設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為9
當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（或點(diǎn)）的位置時(shí)，點(diǎn)、重合，此時(shí)
的取值范圍是：
【點(diǎn)睛】
考查的是相交弦定理、菱形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相交弦定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，8），并且經(jīng)過A（8，0），點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）猜想并探究：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差是否為固定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由；
（3）求：①當(dāng)△PDE的周長最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)；②使△PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+8；（2）PD與PF的差是定值，PD﹣PF=2；（3）①P（4，6），此時(shí)△PDE的周長最??；②共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn)．
【解析】
（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+h）2+k
∵點(diǎn)C（0，8）是它的頂點(diǎn)坐標(biāo)， ∴y=ax2+8
又∵經(jīng)過點(diǎn)A（8，0），
有64a+8=0，解得a=
故拋物線的解析式為：y=x2+8；
（2）是定值，解答如下：
設(shè)P（a，a2+8），則F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD=
PF=，
∴PD﹣PF=2；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE大小不變，則PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長最小，
∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，
此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為4，
將x=4代入y=x2+8，得y=6，
∴P（4，6），此時(shí)△PDE的周長最?。?
過點(diǎn)P做PH⊥x軸，垂足為H．
設(shè)P（a，a2+8）
∴PH=a2+8，EH=a-4，OH=a
S△DPE=S梯形PHOD-S△PHE-S△DOE
=
=
=
∵點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）
∴0≤a≤8
當(dāng)a=6時(shí)，S△DPE取最大值為13．
當(dāng)a=0時(shí)，S△DPE取最小值為4．
即4≤S△DPE≤13
其中，當(dāng)S△DPE=12時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P．
所以，共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn)．
點(diǎn)睛：本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的函數(shù)值的范圍、不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，列出△DPE的面積與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
15．如圖1，點(diǎn)、，其中、滿足，將點(diǎn)、分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位至、，連接、.

（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：__________；
（2）連接交于一點(diǎn)，求的值：
（3）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向上平移運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向左平移運(yùn)動(dòng)，設(shè)射線交軸于.問的值是否為定值？如果是定值，請(qǐng)求出它的值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）證明略；
【解析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建方程組即可解決問題．
（2）利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．
（3）結(jié)論：S△FMD-S△OFN的值是定值．分兩種情形：如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)N在線段OB上時(shí)，連接OD．如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)N在BO的延長線上時(shí)，連接OD．分別說明即可解決問題．
【詳解】（1）∵，
又∵（3a+b）2≥0，b-a-4≥0，
∴，
解得，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=CD=4，
∵OC=2，CD∥AB，
∴D（4，2），
故答案為（4，2）．
（2）如圖1中，

∵CD∥OA，
∴，
∵CD=4，OA=1，
∴
（3）結(jié)論：S△FMD-S△OFN的值是定值．
理由：如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)N在線段OB上時(shí)，連接OD．

由題意：OM=t，BN=2t，
∴S△OMD=×t×4=2t，S△DBN=×2t×2=2t，
∴S△OMD=S△BND，
∴S四邊形DMON=S△OBD=×3×2=3，
∵S△FMD-S△OFN=S四邊形DMON=3=定值．
如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)N在BO的延長線上時(shí)，連接OD．

∵S△FMD-S△OFN=S△ODM-S△ODN=S△DBN-S△ODN=S△OBD=3=定值，
綜上所述，S△FMD-S△OFN的值是定值，定值為3．
【點(diǎn)睛】
本題考查幾何變換綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.
16．如圖所示，為等腰底邊上一動(dòng)點(diǎn)，于于，，問當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否為定值，如果是，求出這個(gè)定值，如果不是，說明理由．

【答案】,理由見解析.
【解析】先作出等腰三角形邊上的高為，再觀察可以發(fā)現(xiàn)：;最后在應(yīng)用三角形的面積公式，即可完成解答.
【詳解】解：,理由如下：

如圖:設(shè)邊上的高為，則由等腰三角形腰高關(guān)系圖可知：，
∵，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形腰高關(guān)系，作圖能幫助我們思考，幫助我們尋找解題思路.
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線和與軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)兩直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)和重合），連結(jié)，并過點(diǎn)作交于點(diǎn)．
（）判斷的形狀，并說明理由．
（）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
（）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，在軸上找到一點(diǎn)使得的周長最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（）等腰直角三角形，理由見解析；（）定值為8；（）
【解析】
試題分析：（1）分別求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)以及AC、AB、BC的長，即可得出的形狀；
（2），可知四邊形的面積是定值；
（3）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求解.
解：（）由題意可知，，令，則，，
∴，則，，，則，且，
∴為等腰直角三角形．
（）由題意知，即，連結(jié)，過點(diǎn)作于，于，

∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，平分，
∴，
∵，
∴≌，
∴，
∴，是定值．
（）當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，
則要使周長最小，即只需時(shí)最小，又兩點(diǎn)之間線段最短，
∴設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴，令，，
∴．

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