專題03 相似三角形的存在性問題-玩轉壓軸題,爭取滿分之備戰(zhàn)中考數(shù)學解答題高端精品-試卷下載-教習網(wǎng)

玩轉壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2018年中考數(shù)學解答題高端精品專題三相似三角形的存在性問題【考題研究】相似三角形的存在性問題是近幾年中考數(shù)學的熱點問題．解相似三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根。難點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使得解的個數(shù)不重復不遺漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解題攻略】相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應角相等．判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗。應用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等．應用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應成比例列連比式解方程（組）．【解題類型及其思路】相似三角形存在性問題需要注意的問題： 1、若題目中問題為△ABC∽△DEF ，則對應線段已經(jīng)確定。 2、若題目中為△ABC與 △DEF相似，則沒有確定對應線段，此時有三種情況：①△ABC∽△DEF ,②△ABC∽△FDE、 ③△ABC∽△EFD、 3、若題目中為△ABC與 △DEF并且有 ∠A、 ∠D（或為90°），則確定了一條對應的線段，此時有二種情況：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分類討論上述的各種情況。【典例指引】類型一【確定符合相似三角形的點的坐標】典例指引1．（2019·貴州中考真題）如圖，拋物線與直線分別相交于，兩點，且此拋物線與軸的一個交點為，連接，．已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線對稱軸上找一點，使的值最大，并求出這個最大值；（3）點為軸右側拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【舉一反三】（2019·海南模擬）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0）．（1）求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；（2）該拋物線與直線相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．①連結PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；②連結PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似?若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．類型二【確定符合相似三角形的動點的運動時間或路程等】典例指引2．（2019年廣東模擬）如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線經(jīng)過O，D，C三點.(1)求AD的長及拋物線的解析式；(2)一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，以P，Q，C為頂點的三角形與△ADE相似？(3)點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由. 【舉一反三】（2019·湖南模擬）如圖，已知直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當t為何值時，△APQ為直角三角形；（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標；（4）設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．類型三【確定符合相似三角形的函數(shù)解析式或字母參數(shù)的值】典例指引3．（2019·江蘇中考真題）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為，對稱軸是直線，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，且與直線關于的對稱直線交于點．（1）點的坐標是 ______；（2）直線與直線交于點，是線段上一點（不與點、重合），點的縱坐標為．過點作直線與線段、分別交于點，，使得與相似．①當時，求的長；②若對于每一個確定的的值，有且只有一個與相似，請直接寫出的取值范圍 ______．【舉一反三】（2018武漢中考）拋物線L：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，1），與它的對稱軸直線x=1交于點B．（1）直接寫出拋物線L的解析式；（2）如圖1，過定點的直線y=kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D．F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應點P的坐標．【新題訓練】1．（2019·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校初三月考）如圖1，已知拋物線；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸交于點B、C（點B在點C的左側），與y軸交于點E．（1）求點B、點C的坐標；（2）當△BCE的面積為6時，若點G的坐標為（0，b），在拋物線C1的對稱軸上是否存在點H，使得△BGH的周長最小，若存在，則求點H的坐標（用含b的式子表示）；若不存在，則請說明理由；（3）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．2．（2020·浙江初三期末）邊長為2的正方形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點是邊的中點，連接，點在第一象限，且，.以直線為對稱軸的拋物線過，兩點.（1）求拋物線的解析式；（2）點從點出發(fā)，沿射線每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為秒.過點作于點，當為何值時，以點，，為頂點的三角形與相似？（3）點為直線上一動點，點為拋物線上一動點，是否存在點，，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.3．（2020·長沙市長郡雙語實驗中學初三開學考試）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c的圖象經(jīng)過點C（0，﹣2），頂點D的坐標為（1，﹣），與x軸交于A、B兩點．（1）求拋物線的解析式．（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和的值．（3）點C關于x軸的對稱點為H，當FC+BF取最小值時，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QHF是直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2019·貴州初三）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（﹣9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．5．（2020·河南初三）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．6．（2020·浙江初三期末）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，將直線繞著點順時針旋轉的度數(shù)后與該拋物線交于兩點（點在點的左側），點是該拋物線上一點（1）若，求直線的函數(shù)表達式（2）若點將線段分成的兩部分，求點的坐標（3）如圖②，在（1）的條件下，若點在軸左側，過點作直線軸，點是直線上一點，且位于軸左側，當以，，為頂點的三角形與相似時，求的坐標7．（2020·上海初三）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+mx+n經(jīng)過點B（6，1），C（5，0），且與y軸交于點A．（1）求拋物線的表達式及點A的坐標；（2）點P是y軸右側拋物線上的一點，過點P作PQ⊥OA，交線段OA的延長線于點Q，如果∠PAB＝45°．求證：△PQA∽△ACB；（3）若點F是線段AB（不包含端點）上的一點，且點F關于AC的對稱點F′恰好在上述拋物線上，求FF′的長．8．（2019·江蘇初三期末）如圖，拋物線y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）與x軸負半軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，D是拋物線的頂點，過D作DH⊥x軸于點H，延長DH交AC于點E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，（1）求A、B兩點的坐標；（2）若△DBH與△BEH相似，試求拋物線的解析式．9．（2019·湖南中考模擬）如圖，頂點坐標為（2，﹣1）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點．（1）求拋物線的表達式；（2）設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求△ACD的面積；（3）點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F．問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2019·西安市鐵一中學中考模擬）如圖，拋物線的頂點坐標為，并且與軸交于點，與軸交于、兩點．（）求拋物線的表達式．（）如圖，設拋物線的對稱軸與直線交于點，點為直線上一動點，過點作軸的平行線，與拋物線交于點，問是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．11．（2019·廣東中考模擬）如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線與x 軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2019·江蘇泗洪姜堰實驗學校中考模擬）如圖，拋物線與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點．（1）求△AOB的外接圓的面積；（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動．問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBAN面積的最大值．13．（2019·陜西中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線L：經(jīng)過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關于原點O對稱的拋物線為.（1）求拋物線L的表達式；（2）點P在拋物線上，且位于第一象限，過點P作PD⊥y軸，垂足為D.若△POD與△AOB相似，求符合條件的點P的坐標.14．（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，且過點．點P、Q是拋物線上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當點P在直線OD下方時，求面積的最大值．(3)直線OQ與線段BC相交于點E，當與相似時，求點Q的坐標．15．（2018·四川中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點，交x軸于C、D兩點，連接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線對稱軸l上找一點M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個最大值；（3）點P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2019·湖南中考真題）如圖1，△AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線F1：的圖象上，點A的橫坐標為﹣4，點B的縱坐標為﹣2.(點A在點B的左側)(1)求點A、B的坐標；(2)將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△A'OB'，拋物線F2：經(jīng)過A'、B'兩點，已知點M為拋物線F2的對稱軸上一定點，且點A'恰好在以OM為直徑的圓上，連接OM、A'M，求△OA'M的面積；(3)如圖2，延長OB'交拋物線F2于點C，連接A'C，在坐標軸上是否存在點D，使得以A、O、D為頂點的三角形與△OA'C相似.若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

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