?2021年四川省成都市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分；每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．（3分）在有理數(shù)2，0，﹣1，﹣3中，任意取兩個(gè)數(shù)相加，和最小是（　?。?br /> A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
2．（3分）下列幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖都相同的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（3分）下列算式中，正確的是（　　）
A．（a3b）2＝a6b2 B．a(chǎn)2﹣a3＝﹣a
C． D．﹣（﹣a3）2＝a6
4．（3分）如圖，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，AC與BD交于點(diǎn)E，在圖中全等三角形有（　?。?br />
A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)
5．（3分）“PM2.5”是指大氣中危害健康的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它們含有大量的有毒、有害物質(zhì)，對(duì)人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大危害，2.5微米即0.0000025米．將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
6．（3分）將點(diǎn)P（2，1）沿x軸方向向左平移3個(gè)單位，再沿y軸方向向上平移2個(gè)單位，所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（5，3）
7．（3分）每年的4月23日為“世界讀書(shū)日”，某學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生多讀書(shū)，開(kāi)展了“書(shū)香校園”的活動(dòng)．如圖是初三某班班長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)的全班50名學(xué)生一學(xué)期課外圖書(shū)的閱讀量（單位：本），則這50名學(xué)生圖書(shū)閱讀數(shù)量的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)分別為（　?。?br />
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
9．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠OBA＝50°，則∠C的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．80°
10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1、3，則下列結(jié)論中，正確的有（　?。?br /> ①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④對(duì)于任意x均有ax2+bx≥a+b．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）
11．（4分）若＝，則＝　 　．
12．（4分）在一不透明的袋子里裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅色小球和綠色小球若干個(gè)，若從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球是紅色的概率為，則袋子里裝有　 　個(gè)綠色小球．
13．（4分）一次函數(shù)y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的圖象交于點(diǎn)（a，n），直線y＝n﹣1與y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的圖象分別交于點(diǎn)（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，則a、b、c從大到小排列應(yīng)為　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)M、AB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)；再分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P、Q兩點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)，則圖中∠α＝　 　．

三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共54分）
15．（12分）（1）計(jì)算：+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0；
（2）化簡(jiǎn)：（﹣）÷．
16．（6分）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，則m的取值范圍為多少？
17．（8分）房山某中學(xué)改革學(xué)生的學(xué)習(xí)模式，變“老師要學(xué)生學(xué)習(xí)”為“學(xué)生自主學(xué)習(xí)”，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．小華與小明同學(xué)就“最喜歡哪種學(xué)習(xí)方式”隨機(jī)調(diào)查了他們周?chē)囊恍┩瑢W(xué)，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)下面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖回答以下問(wèn)題：
（1）這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了　 　名學(xué)生；
（2）補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估算該校1000名學(xué)生中大約有多少人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”？

18．（8分）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行救援，救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到C處有生命跡象．已知A、B兩點(diǎn)相距4米，探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）

19．（10分）如圖，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函數(shù)y＝x+b與反比例函數(shù)y＝（m≠0，x＜0）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求m、a的值及一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E．
（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）求證：BC2＝BD?BA；
（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，求證：△ABC是等腰直角三角形．

一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
21．（4分）已知三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，則m的最小值為　 ?。?br /> 22．（4分）如圖，△ABC三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)組成△DEF，△DEF三邊的中點(diǎn)M，N，P組成△MNP，將△FPM與△ECD涂成陰影．假設(shè)可以隨意在△ABC中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率為　 ?。?br />
23．（4分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC邊在直線a上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝1+；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝2+；…．按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)P2020為止，則AP2020＝　 ?。?br />
24．（4分）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)的線段的比值為k；再將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過(guò)相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，θ為旋轉(zhuǎn)角．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°）得到△ADE，則BD長(zhǎng)　 　cm．

25．（4分）如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABC，點(diǎn)C在第四象限．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y＝（k＜0）上運(yùn)動(dòng)，則k的值是　 　．

二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）
26．（8分）某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價(jià)為10元/千克，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于18元/千克，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）求每天的銷售利潤(rùn)W（元）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)銷售價(jià)為多少時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？

27．（10分）已知：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＝12cm，BD＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此時(shí)P，E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

28．（12分）如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（0，1），矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B（0，2），且其面積為8．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連接PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R．
①求證：PB＝PS；
②判斷△SBR的形狀；
③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


2021年四川省成都市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分；每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．（3分）在有理數(shù)2，0，﹣1，﹣3中，任意取兩個(gè)數(shù)相加，和最小是（　?。?br /> A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
【分析】找出值最小的兩個(gè)數(shù)相加即可．
【解答】解：（﹣1）+（﹣3）＝﹣4．
故選：D．
2．（3分）下列幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖都相同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
【解答】解：A、圓柱的主視圖和左視圖都是長(zhǎng)方形，俯視圖是圓，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、長(zhǎng)方體的三視圖不相同，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、球的主視圖和左視圖、俯視圖都是圓，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
3．（3分）下列算式中，正確的是（　?。?br /> A．（a3b）2＝a6b2 B．a(chǎn)2﹣a3＝﹣a
C． D．﹣（﹣a3）2＝a6
【分析】積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．同底數(shù)冪的除法，法則為：底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)﹣p＝任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．
【解答】解：A、（a3b）2＝a3×2b1×2＝a6b2，故本選項(xiàng)正確；
B、a2﹣a3＝a2（1﹣a）；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、＝a（2﹣1﹣1）＝a0＝1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、﹣（﹣a3）2＝﹣（﹣1）2a3×2＝﹣a6；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
4．（3分）如圖，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，AC與BD交于點(diǎn)E，在圖中全等三角形有（　　）

A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)
【分析】根據(jù)題目的意思，可以推出①△ABC≌△DCB；②△ABE≌△DCE；③△ABD≌△DCA；再分別進(jìn)行證明．
【解答】解：①△ABC≌△DCB；
∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，
∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB；
②△ABE≌△DCE，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△CDE；
③△ABD≌△DCA，
∵∠BAC＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABD＝∠DCA，
∵AB＝CD，BD＝AC，
∴△ABD≌△DCA；
故選：B．

5．（3分）“PM2.5”是指大氣中危害健康的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它們含有大量的有毒、有害物質(zhì)，對(duì)人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大危害，2.5微米即0.0000025米．將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6．
故選：B．
6．（3分）將點(diǎn)P（2，1）沿x軸方向向左平移3個(gè)單位，再沿y軸方向向上平移2個(gè)單位，所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（5，3）
【分析】根據(jù)平移的方法：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減，即可得結(jié)論．
【解答】解：將點(diǎn)P（2，1）沿x軸方向向左平移3個(gè)單位，
再沿y軸方向向上平移2個(gè)單位，所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，3）．
故選：B．
7．（3分）每年的4月23日為“世界讀書(shū)日”，某學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生多讀書(shū)，開(kāi)展了“書(shū)香校園”的活動(dòng)．如圖是初三某班班長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)的全班50名學(xué)生一學(xué)期課外圖書(shū)的閱讀量（單位：本），則這50名學(xué)生圖書(shū)閱讀數(shù)量的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)分別為（　　）

A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
【分析】利用折線統(tǒng)計(jì)圖得到50個(gè)數(shù)據(jù)，其中第25個(gè)數(shù)為12本，第26個(gè)數(shù)是18本，從而得到數(shù)據(jù)的中位數(shù)，再求出眾數(shù)和平均數(shù)．
【解答】解：由折線統(tǒng)計(jì)圖得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（12+18）÷2＝15，
眾數(shù)為12，
平均數(shù)為（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8．
故選：C．
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
【分析】因?yàn)镈點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），由平行四邊形的性質(zhì)，可知C點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定是3，又由D點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)橫坐標(biāo)移動(dòng)了2，故可得C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+5＝7，即頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（7，3）．
【解答】解：已知A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0），（2，3），
∵AB在x軸上，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，都為3，
又∵D點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)橫坐標(biāo)移動(dòng)了2﹣0＝2，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+5＝7，
∴即頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（7，3）．
故選：C．
9．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠OBA＝50°，則∠C的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠AOB的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)圓周角定理求解．
【解答】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故選：B．
10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1、3，則下列結(jié)論中，正確的有（　?。?br /> ①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④對(duì)于任意x均有ax2+bx≥a+b．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】由拋物線開(kāi)口方向得到a＞0，利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題和拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，x＝1時(shí)，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，分別分析得出答案．
【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正確；
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正確；
∵x＝3時(shí)，y＝0，
∴x＝2時(shí)，4a+2b+c＜0，故③錯(cuò)誤；
∵x＝1時(shí)，y的值最小，
∴對(duì)于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，
即ax2+bx≥a+b，所以④正確．
故選：C．
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）
11．（4分）若＝，則＝　　．
【分析】對(duì)已知式子分析可知，原式可根據(jù)比例合比性質(zhì)可直接得出比例式的值．
【解答】解：根據(jù)＝得3a＝5b，則＝．
故答案為：．
12．（4分）在一不透明的袋子里裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅色小球和綠色小球若干個(gè)，若從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球是紅色的概率為，則袋子里裝有　20　個(gè)綠色小球．
【分析】根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)袋子里有x個(gè)綠色小球，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝20是原方程的解，
故答案為：20．
13．（4分）一次函數(shù)y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的圖象交于點(diǎn)（a，n），直線y＝n﹣1與y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的圖象分別交于點(diǎn)（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，則a、b、c從大到小排列應(yīng)為　c＞a＞b　．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵k1＞0，k2＜0，
∴y1隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減小，
∵n＞n﹣1，
∴a＞b，a＜c，
∴c＞a＞b，
故答案為c＞a＞b．
14．（4分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)M、AB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)；再分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P、Q兩點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)，則圖中∠α＝　56°　．

【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到∠DAC＝68°，再根據(jù)基本作圖得到AO平分∠DAC，則∠DAO＝∠CAO＝34°，根據(jù)基本作圖得到PQ垂直平分AC，所以∠1＝90°，然后利用互余計(jì)算出∠2，從而得到∠α的度數(shù)．
【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA＝68°，
由作法得AO平分∠DAC，
∴∠DAO＝∠CAO＝×68°＝34°，
由作法得PQ垂直平分AC，
∴∠1＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CAO＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝∠2＝56°．
故答案為56°．

三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共54分）
15．（12分）（1）計(jì)算：+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0；
（2）化簡(jiǎn)：（﹣）÷．
【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪可以解答本題；
（2）根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題．
【解答】解：（1）+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0
＝2+4﹣4×+1
＝2+4﹣2+1
＝5；
（2）（﹣）÷
＝
＝
＝
＝．
16．（6分）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，則m的取值范圍為多少？
【分析】由方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范圍，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于m的不等式，解不等式可得出答案．
【解答】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×（）＞0，
解得m＞3或m＜1；
由題意得x1+x2＝﹣＝（4﹣m）＞﹣3，
解得m＜7；
∵x1x2＝＝＜，
解得m＞﹣2．
綜上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．
17．（8分）房山某中學(xué)改革學(xué)生的學(xué)習(xí)模式，變“老師要學(xué)生學(xué)習(xí)”為“學(xué)生自主學(xué)習(xí)”，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．小華與小明同學(xué)就“最喜歡哪種學(xué)習(xí)方式”隨機(jī)調(diào)查了他們周?chē)囊恍┩瑢W(xué)，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)下面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖回答以下問(wèn)題：
（1）這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了　500　名學(xué)生；
（2）補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估算該校1000名學(xué)生中大約有多少人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”？

【分析】（1）根據(jù)個(gè)人自學(xué)后老師點(diǎn)撥的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)即可；
（2）用小組合作學(xué)習(xí)的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得出小組合作學(xué)習(xí)所占的百分比，用總?cè)藬?shù)減去其他學(xué)習(xí)方式的人數(shù)求出教師傳授的人數(shù)，再除以總?cè)藬?shù)，求出教師傳授的人數(shù)所占的百分比，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（3）用該校的總?cè)藬?shù)乘以“小組合作學(xué)習(xí)”所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查的學(xué)生數(shù)是：＝500（名）；
故答案為：500．

（2）小組合作學(xué)習(xí)所占的百分比是：×100%＝30%，
教師傳授的人數(shù)是：500﹣300﹣150＝50（人），
教師傳授所占的百分比是：×100%＝10%；
補(bǔ)圖如下：


（3）根據(jù)題意得：
1000×30%＝300（人）．
答：該校1000名學(xué)生中大約有300人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”．
18．（8分）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行救援，救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到C處有生命跡象．已知A、B兩點(diǎn)相距4米，探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD＝x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB＝4米，即可得出關(guān)于x的方程，解出即可．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
設(shè)CD＝x（m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
則AD＝CD?cos30°＝CD＝x（m），
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
則BD＝CD＝x（m），
由題意得，AD﹣BD＝AB，即x﹣x＝4，
解得：x＝＝2（+1）≈5.5（m），
答：生命所在點(diǎn)C的深度為5.5米．

19．（10分）如圖，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函數(shù)y＝x+b與反比例函數(shù)y＝（m≠0，x＜0）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求m、a的值及一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可計(jì)算出m＝﹣4×＝﹣2，再把B（﹣1，a）代入y＝﹣可求得a＝2，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝x+b求出b，從而得到一次函數(shù)解析式；
（2）連接PC、PD，如圖，設(shè)P（x，x+），根據(jù)三角形面積公式得到××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，然后計(jì)算自變量為時(shí)的一次函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵反比例y＝的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣4，），
∴m＝﹣4×＝﹣2，
把B（﹣1，a）代入y＝﹣得﹣a＝﹣2，解得a＝2，
∵y＝x+b的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣4，）
∴×（﹣4）+b＝，解得b＝，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x+；
（2）連接PC、PD，如圖，設(shè)P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面積相等，
∴××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，
當(dāng)x＝時(shí)，y＝x+＝，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．

20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E．
（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）求證：BC2＝BD?BA；
（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，求證：△ABC是等腰直角三角形．

【分析】（1）利用切線的性質(zhì)及圓周角定理證明；
（2）利用相似三角形證明；
（3）利用正方形的性質(zhì)證明．
【解答】證明：（1）如圖，連接OD．

∵DE為切線，
∴∠EDC+∠ODC＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECD+∠OCD＝90°．
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC；
∵AC為直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDE+∠EDC＝90°，∠B+∠ECD＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴ED＝BE．
∴EB＝EC，即點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)；

（2）∵AC為直徑，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，
又∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴，
∴BC2＝BD?BA；

（3）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時(shí)，∠OCD＝45°；
∵AC為直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ADC﹣∠OCD＝90°﹣45°＝45°
∴Rt△ABC為等腰直角三角形．

一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
21．（4分）已知三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，則m的最小值為　﹣?。?br /> 【分析】解方程組，用含m的式子表示出a，b，c的值，根據(jù)a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范圍而求得m的最小值．
【解答】解：由題意可得，
解得a＝﹣3，b＝7﹣，c＝，
由于a，b，c是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴﹣≥m≥﹣．
所以m最小值＝﹣．
故本題答案為：﹣．
22．（4分）如圖，△ABC三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)組成△DEF，△DEF三邊的中點(diǎn)M，N，P組成△MNP，將△FPM與△ECD涂成陰影．假設(shè)可以隨意在△ABC中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率為　?。?br />
【分析】先設(shè)陰影部分的面積是x，得出整個(gè)圖形的面積，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：∵D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴ED∥AB，且DE＝AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝＝，
∴S△CDE＝S△CBA．
同理，S△FPM＝S△FDE＝S△CBA．
∴S△FPM+S△CDE＝S△CBA．
則＝．
故答案是：．
23．（4分）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC邊在直線a上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝1+；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝2+；…．按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)P2020為止，則AP2020＝　1346+674?。?br />
【分析】觀察圖形的變化可得，AP1＝；AP2＝1+；AP3＝2+；AP4＝2+2；AP5＝3+2；AP6＝4+2＝2（2+）；…．發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求解．
【解答】解：觀察圖形的變化可知：
AP1＝；
AP2＝1+；
AP3＝2+；
AP4＝2+2；
AP5＝3+2；
AP6＝4+2＝2（2+）；
…．
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
AP3n＝n（2+）；
AP3n+1＝n（2+）+；
AP3n+2＝n（2+）++1．
∴AP2020＝AP673×3+1＝673（2+）+＝1346+674．
故答案為：1346+674．
24．（4分）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)的線段的比值為k；再將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過(guò)相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，θ為旋轉(zhuǎn)角．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°）得到△ADE，則BD長(zhǎng)　2　cm．

【分析】已知2中△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．
【解答】解：△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE以及AD＝cm，可推出∠BAD＝90°，
利用勾股定理得到：BD＝＝2（cm）．
故答案為：2．
25．（4分）如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABC，點(diǎn)C在第四象限．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y＝（k＜0）上運(yùn)動(dòng)，則k的值是　﹣6　．

【分析】連接OC，易證AO⊥OC，OC＝OA．由∠AOC＝90°想到構(gòu)造K型相似，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，可證△AEO∽△OFC．從而得到OF＝AE，F(xiàn)C＝EO..設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b）則ab＝2，可得FC?OF＝6．設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），從而有FC?OF＝﹣xy＝﹣6，即k＝xy＝﹣6．
【解答】解：∵雙曲線y＝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∴OA＝OB．
連接OC，如圖所示．
∵△ABC是等邊三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB．∠BAC＝60°．
∴tan∠OAC＝＝．
∴OC＝OA．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴＝＝．
∵OC＝OA，
∴OF＝AE，F(xiàn)C＝EO．
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴AE＝a，OE＝b．
∴OF＝AE＝a，F(xiàn)C＝EO＝b．
∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，
∴ab＝2．
∴FC?OF＝b?a＝3ab＝6
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)C在第四象限，
∴FC＝x，OF＝﹣y．
∴FC?OF＝x?（﹣y）＝﹣xy
＝6．
∴xy＝﹣6．
∵點(diǎn)C在雙曲線y＝上，
∴k＝xy＝﹣6．
故答案為：﹣6．

二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）
26．（8分）某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價(jià)為10元/千克，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于18元/千克，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）求每天的銷售利潤(rùn)W（元）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)銷售價(jià)為多少時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？

【分析】（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本價(jià)為10元/千克，銷售價(jià)不高于18元/千克，得出自變量x的取值范圍；
（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)＝銷售量×每一件的銷售利潤(rùn)得到w和x的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得最值即可；
（3）先把y＝150代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求出x，再根據(jù)x的取值范圍即可確定x的值．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x+60（10≤x≤18）；

（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
對(duì)稱軸x＝20，在對(duì)稱軸的左側(cè)W隨著x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴當(dāng)x＝18時(shí)，W最大，最大為192．
即當(dāng)銷售價(jià)為18元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是192元．

（3）由150＝﹣2x2+80x﹣600，
解得x1＝15，x2＝25（不合題意，舍去）
答：該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為15元．
27．（10分）已知：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＝12cm，BD＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此時(shí)P，E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，OA＝AC，OB＝BD．在Rt△AOB中，運(yùn)用勾股定理求出AB＝10．再由△DFQ∽△DCO．得出＝．求出DF．由AP＝DF．求出t．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，由S菱形ABCD＝AB?CG＝AC?BD，求出CG．據(jù)S梯形APFD＝（AP+DF）?CG．S△EFD＝EF?QD．得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，由S菱形ABCD＝AB?CG，求出CG，由S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，據(jù)線段關(guān)系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8．
在Rt△AOB中，AB＝＝10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD＝∠COD＝90°．
又∵∠FDQ＝∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴＝．
即＝，
∴DF＝t．
∵四邊形APFD是平行四邊形，
∴AP＝DF．
即10﹣t＝t，
解這個(gè)方程，得t＝．
∴當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，

∵S菱形ABCD＝AB?CG＝AC?BD，
即10?CG＝×12×16，
∴CG＝．
∴S梯形APFD＝（AP+DF）?CG
＝（10﹣t+t）?＝t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴＝．
即＝，
∴QF＝t．
同理，EQ＝t．
∴EF＝QF+EQ＝t．
∴S△EFD＝EF?QD＝×t×t＝t2．
∴y＝（t+48）﹣t2＝﹣t2+t+48．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，

若S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40，
則﹣t2+t+48＝×96，
即5t2﹣8t﹣48＝0，
解這個(gè)方程，得t1＝4，t2＝﹣（舍去）
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，
當(dāng)t＝4時(shí)，
∵△PBN∽△ABO，
∴＝＝，即＝＝．
∴PN＝，BN＝．
∴EM＝EQ﹣MQ＝＝．
PM＝BD﹣BN﹣DQ＝＝．
在Rt△PME中，
PE＝＝＝（cm）．
28．（12分）如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（0，1），矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點(diǎn)B（0，2），且其面積為8．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連接PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R．
①求證：PB＝PS；
②判斷△SBR的形狀；
③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)以及矩形的面積可以求出矩形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（2）①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PS，垂足為N，可以設(shè)P的坐標(biāo)是（a，a2+1），根據(jù)勾股定理就可以用a表示出PB＝PS的長(zhǎng)，由此可以證明；
②判斷△SBR的形狀，根據(jù)①同理可知BQ＝QR，根據(jù)等邊對(duì)等角就可以證明∠SBR＝90度，則△SBR為直角三角形；
③若以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等就可以求出．
【解答】解：（1）方法一：
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（0.2），
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面積為8，
∴CF＝4．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2）．F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c．
其過(guò)三點(diǎn)A（0，1），C（﹣2.2），F(xiàn)（2，2）．
得，
解這個(gè)方程組，得a＝，b＝0，c＝1，
∴此拋物線的解析式為y＝x2+1．
方法二：
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（0.2），
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面積為8，
∴CF＝4．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2），
根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+c．
其過(guò)點(diǎn)A（0，1）和C（﹣2.2）

解這個(gè)方程組，得a＝，c＝1
此拋物線解析式為y＝x2+1．

（2）①證明：如圖（2）過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PS，垂足為N．
∵P點(diǎn)在拋物線y＝x2+1上．可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a2+1）．
∴PS＝a2+1，OB＝NS＝2，BN＝﹣a．
∴PN＝PS﹣NS＝，
在Rt△PNB中．
PB2＝PN2+BN2＝（a2﹣1）2+a2＝（a2+1）2
∴PB＝PS＝．
②根據(jù)①同理可知BQ＝QR．
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
同理∠SBP＝∠5，
∴2∠5+2∠3＝180°
∴∠5+∠3＝90°
∴∠SBR＝90度．
∴△SBR為直角三角形．
③方法一：如圖（3）作QN⊥PS，
設(shè)PS＝b，QR＝c，
∵由①知PS＝PB＝b．QR＝QB＝c，PQ＝b+c．PN＝b﹣c．
∴QN2＝SR2＝（b+c）2﹣（b﹣c）2
∴．
假設(shè)存在點(diǎn)M．且MS＝x，則MR＝．
若使△PSM∽△MRQ，
則有．
即x2﹣2x+bc＝0
∴．
∴SR＝2
∴M為SR的中點(diǎn)．
若使△PSM∽△QRM，
則有．
∴．
∴．
∴M點(diǎn)即為原點(diǎn)O．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)．△PSM∽△MRQ；
當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，△PSM∽△MRQ．
方法二：
若以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)的三角形相似，
∵∠PSM＝∠MRQ＝90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況．
當(dāng)△PSM∽△MRQ時(shí)．∠SPM＝∠RMQ，∠SMP＝∠RQM．
由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知∠PMS+∠QMR＝90°．
∴∠PMQ＝90°．
取PQ中點(diǎn)為T(mén)．連接MT．則MT＝PQ＝（QR+PS）．
∴MT為直角梯形SRQP的中位線，
∴點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)，
∴＝1，
當(dāng)△PSM∽△QRM時(shí)，，
∵PS∥OB∥QR，＝．
∴點(diǎn)M為原點(diǎn)O．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，△PSM∽△MRQ；
當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，△PSM∽△QRM．




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