?2021年廣東省深圳市二十三校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確的選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)的位置。）
1．（3分）下列四個數(shù)：﹣3，﹣0.8，，中，絕對值最小的是（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣0.8 C． D．
2．（3分）如圖所示的幾何體的俯視圖為（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）在國家大數(shù)據(jù)戰(zhàn)略的引領(lǐng)下，我國在人工智能領(lǐng)域取得顯著成就，自主研發(fā)的人工智能“絕藝”獲得全球最前沿的人工智能賽事冠軍，這得益于所建立的大數(shù)據(jù)中心的規(guī)模和數(shù)據(jù)存儲量，它們決定著人工智能深度學(xué)習(xí)的質(zhì)量和速度，其中的一個大數(shù)據(jù)中心能存儲58000000000本書籍，將58000000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（　　）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
4．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節(jié)水”這四個標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如果一個正多邊形的內(nèi)角和等于1080°，那么該正多邊形的一個外角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．72°
6．（3分）下列命題中：①長度相等的弧是等?。虎谟幸粋€角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形相似；③對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；④有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．真命題的個數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．2 C．1 D．0
7．（3分）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B，則△OAC和△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為（　?。?br />
A．2k B．6k C． D．k
8．（3分）如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PC＝BC，則下列選項正確的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
9．（3分）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則cos∠AOD＝（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點E在邊CD上，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，且BG＝CG，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝　 　．
12．（3分）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的方差是2，則數(shù)據(jù)x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，的方差是　 ?。?br /> 13．（3分）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（﹣2，m），B（3，n）兩點，則不等式ax+b＞的解集為　 ?。?br />
14．（3分）如圖所示，拋物線y＝x2﹣6x+8與x軸交于A、B兩點，過點B的直線與拋物線交于點C（C在x軸上方），過A、B、C三點的⊙M滿足∠MBC＝45°，則點C的坐標(biāo)為　 ?。?br />
15．（3分）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為　 ?。?br />
三、解答題（本題共7小題，其中第16題6分，第17題7分，第18題7分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）
16．（6分）計算：2cos60°﹣（3﹣π）0+（﹣）﹣2+|1﹣|．
17．（7分）荊崗中學(xué)決定在本校學(xué)生中，開展足球、籃球、羽毛球、乒乓球四種活動，為了了解學(xué)生對這四種活動的喜愛情況，學(xué)校隨機調(diào)查了該校m名學(xué)生，看他們喜愛哪一種活動（每名學(xué)生必選一種且只能從這四種活動中選擇一種），現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．

（1）m＝　 　，n＝　 ??；
（2）請補全圖中的條形圖；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請估算全校1800名學(xué)生中，大約有多少人喜愛踢足球；
（4）在抽查的m名學(xué)生中，喜愛打乒乓球的有10名同學(xué)（其中有4名女生，包括小紅、小梅），現(xiàn)將喜愛打乒乓球的同學(xué)平均分成兩組進行訓(xùn)練，且女生每組分兩人，求小紅、小梅能分在同一組的概率．
18．（7分）在“停課不停學(xué)”期間，小明用電腦在線上課，圖1是他的電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏AB可以繞O點旋轉(zhuǎn)一定角度．研究表明：當(dāng)眼睛E與顯示屏頂端A在同一水平線上，且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的視線EP與水平線EA的夾角∠AEP＝18°時，對保護眼睛比較好，而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線CD垂直時（如圖2）時，觀看屏幕最舒適，此時測得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶顯示屏的寬AB為30cm．
（1）求眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE；（結(jié)果精確到1cm）
（2）求顯示屏頂端A與底座C的距離AC．（結(jié)果精確到1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）

19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）連接CE交AB于點F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的長．

20．（8分）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元．用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的．
（1）求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
（2）該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求建造這90個攤位的最大費用．
21．（9分）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一動點，連接AC，BC，在BA的延長線上取一點D，連接CD，使CD＝CB．
（1）如圖1，若AC＝AD，求證：CD是⊙O的切線；
（2）如圖2，延長DC交⊙O于點E，連接AE．
i）若⊙O的直徑為，sinB＝，求AD的長；
ii）若CD＝2CE，求cosB的值．

22．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C，連接BC，點P是線段BC上的動點（與點B，C不重合），連接AP并延長AP交拋物線于點Q，連接CQ，BQ，設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△BCQ的面積等于2時，求m的值；
（3）在點P運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．


2021年廣東省深圳市二十三校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確的選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)的位置。）
1．（3分）下列四個數(shù)：﹣3，﹣0.8，，中，絕對值最小的是（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣0.8 C． D．
【分析】分別計算出各數(shù)的絕對值，再比較大小即可．
【解答】解：|﹣3|＝3，
|﹣0.8|＝0.8，
||＝，
||＝，
∴＜0.8＜＜3．
∴絕對值最小的數(shù)是．
故選：C．
2．（3分）如圖所示的幾何體的俯視圖為（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，注意看到的棱用實線，直接看不到的用虛線，可得答案．
【解答】解：從上邊看，是一個矩形，矩形內(nèi)部左側(cè)有一條實線，右側(cè)有一條虛線．
故選：D．
3．（3分）在國家大數(shù)據(jù)戰(zhàn)略的引領(lǐng)下，我國在人工智能領(lǐng)域取得顯著成就，自主研發(fā)的人工智能“絕藝”獲得全球最前沿的人工智能賽事冠軍，這得益于所建立的大數(shù)據(jù)中心的規(guī)模和數(shù)據(jù)存儲量，它們決定著人工智能深度學(xué)習(xí)的質(zhì)量和速度，其中的一個大數(shù)據(jù)中心能存儲58000000000本書籍，將58000000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（　?。?br /> A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
【解答】解：將580 0000 0000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為5.8×1010．
故選：A．
4．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節(jié)水”這四個標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故選項正確；
C、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故選項錯誤．
故選：B．
5．（3分）如果一個正多邊形的內(nèi)角和等于1080°，那么該正多邊形的一個外角等于（　?。?br /> A．30° B．45° C．60° D．72°
【分析】首先設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：（n﹣2）?180°＝1080°，即可求得n＝8，再由多邊形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：設(shè)此多邊形為n邊形，
根據(jù)題意得：180°×（n﹣2）＝1080°，
解得：n＝8，
∴這個正多邊形的每一個外角等于：360°÷8＝45°．
故選：B．
6．（3分）下列命題中：①長度相等的弧是等??；②有一個角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形相似；③對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；④有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．真命題的個數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】利用等弧的定義、相似三角形的判定、正方形的判定及全等三角形的判定分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：①長度相等的弧是等弧，錯誤，是假命題，不符合題意；
②一個角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形不一定相似，例如頂角為40°的等腰三角形與底角為40°的等腰三角形不相似，所以原命題說法錯誤，是假命題，不符合題意；
③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
④有兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．
真命題的個數(shù)是0，
故選：D．
7．（3分）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點B，則△OAC和△BAD的面積之差S△OAC﹣S△BAD為（　?。?br />
A．2k B．6k C． D．k
【分析】設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)及圖象可得出點B的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及點B的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長分別為a、b，
則點B的坐標(biāo)為（a+b，a﹣b）．
∵點B在反比例函數(shù)的第一象限圖象上，
∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝k．
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝．
故選：C．
8．（3分）如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PC＝BC，則下列選項正確的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】證明PA＝PB，可得結(jié)論．
【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴點P在AB的垂直平分線上，
故選項B正確，
故選：B．
9．（3分）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則cos∠AOD＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】連接BE、AE．根據(jù)格點先求出AB、AE、BE，再利用正方形對角線的性質(zhì)判斷CD與BE關(guān)系與△ABE的形狀，最后求出∠ABE的余弦值．
【解答】解：如圖，連接BE、AE．
則：EB＝，AB＝．
∵CD、BE、AE都是正方形的對角線，
∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．
∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．
∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．
∴cos∠ABE＝＝＝．
故選：D．

10．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝12，點E在邊CD上，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，且BG＝CG，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；③CE＝2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。?br />
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】依據(jù)HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依據(jù)∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依據(jù)勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，進而得出CE＝2DE；依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根據(jù)GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正確；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折疊可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，故②正確；
由題意得：EF＝DE，BG＝CG＝6＝GF，
設(shè)DE＝EF＝x，則CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得CE2+CG2＝GE2，
即（12﹣x）2+62＝（x+6）2，
解得：x＝4，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝2DE，故③正確；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正確；
∵S△GCE＝GC?CE＝×6×8＝24，
∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝，故⑤正確．
故選：D．

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣6x+3＝　3（x﹣1）2?。?br /> 【分析】先提取公因式3，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．
【解答】解：3x2﹣6x+3，
＝3（x2﹣2x+1），
＝3（x﹣1）2．
12．（3分）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的方差是2，則數(shù)據(jù)x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，的方差是　2?。?br /> 【分析】根據(jù)當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)（或減去一個數(shù)）時，方差不變，即可得出答案．
【解答】解：∵數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的方差是2，
∴數(shù)據(jù)x1+5，x2+5，x3+5，x4+5的方差是2．
故答案為：2．
13．（3分）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（﹣2，m），B（3，n）兩點，則不等式ax+b＞的解集為　﹣2＜x＜0或x＞3?。?br />
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標(biāo)，即可得出不等式的解集．
【解答】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)﹣2＜x＜0或x＞3時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
則則不等式ax+b＞的解集為﹣2＜x＜0或x＞3．
故答案為：﹣2＜x＜0或x＞3．
14．（3分）如圖所示，拋物線y＝x2﹣6x+8與x軸交于A、B兩點，過點B的直線與拋物線交于點C（C在x軸上方），過A、B、C三點的⊙M滿足∠MBC＝45°，則點C的坐標(biāo)為?。?，3）　．

【分析】解方程得到A（2，0），B（4，0），求得AB＝2，連接MC，過C作CE⊥x軸于E，過M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，則四邊形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，得到∠BMC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM＝MH，CH＝BD＝推出矩形MDEH是正方形，設(shè)MH＝EH＝a，把C（3+a，a+1），代入拋物線的解析式得到a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+8與x軸交于A、B兩點，
∴A（2，0），B（4，0），
∴AB＝2，
連接MC，過C作CE⊥x軸于E，過M作MD⊥AB于D，MH⊥CE于H，
則四邊形MDEH是矩形，AD＝BD＝1，
∴DM＝HE，MH＝DE，∠DMH＝90°，
∵∠BBC＝45°，BM＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∴∠DMB＝∠HMC，
∵∠MDB＝∠MHC＝90°，
∴△MDB≌△MHC（AAS），
∴DM＝MH，CH＝BD＝1，
∴矩形MDEH是正方形，
∴MH＝HE，
設(shè)MH＝EH＝a，
∴C（3+a，a+1），
∵拋物線過點C，
∴a+1＝（a+3）2﹣6（a+3）+8，
解得：a＝2，a＝﹣1（不合題意舍去），
∴點C的坐標(biāo)為（5，3），
故答案為：（5，3）．

15．（3分）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為　　．

【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線P′O，然后根據(jù)△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴則PQ的最小值為2OP′＝，
方法二：不用相似的方法，只利用等面積得，OC?AB＝BC?OP'，求得OP′，而其他部分的步驟共用．
故答案為：．

三、解答題（本題共7小題，其中第16題6分，第17題7分，第18題7分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）
16．（6分）計算：2cos60°﹣（3﹣π）0+（﹣）﹣2+|1﹣|．
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣1+4+﹣1
＝1﹣1+4+﹣1
＝3+．
17．（7分）荊崗中學(xué)決定在本校學(xué)生中，開展足球、籃球、羽毛球、乒乓球四種活動，為了了解學(xué)生對這四種活動的喜愛情況，學(xué)校隨機調(diào)查了該校m名學(xué)生，看他們喜愛哪一種活動（每名學(xué)生必選一種且只能從這四種活動中選擇一種），現(xiàn)將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．

（1）m＝　100　，n＝　15??；
（2）請補全圖中的條形圖；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請估算全校1800名學(xué)生中，大約有多少人喜愛踢足球；
（4）在抽查的m名學(xué)生中，喜愛打乒乓球的有10名同學(xué)（其中有4名女生，包括小紅、小梅），現(xiàn)將喜愛打乒乓球的同學(xué)平均分成兩組進行訓(xùn)練，且女生每組分兩人，求小紅、小梅能分在同一組的概率．
【分析】（1）根據(jù)喜愛乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，從而可以求得n的值；
（2）根據(jù)題意和m的值可以求得喜愛籃球的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以估算出全校1800名學(xué)生中，大約有多少人喜愛踢足球；
（4）根據(jù)題意可以寫出所有的可能性，注意（C，D）和（D，C）在一起都是暗含著（A，B）在一起．
【解答】解：（1）由題意可得，
m＝10÷10%＝100，n%＝15÷100＝15%，
故答案為：100，15；
（2）喜愛籃球的有：100×35%＝35（人），
補全的條形統(tǒng)計圖，如右圖所示；
（3）由題意可得，
全校1800名學(xué)生中，喜愛踢足球的有：1800×＝720（人），
答：全校1800名學(xué)生中，大約有720人喜愛踢足球；
（4）設(shè)四名女生分別為：A（小紅）、B（小梅）、C、D，
則出現(xiàn)的所有可能性是：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、
（B，A）、（B，C）、（B，D）、
（C，A）、（C，B）、（C，D）、
（D，A）、（D，B）、（D，C），
∴小紅、小梅能分在同一組的概率是：．

18．（7分）在“停課不停學(xué)”期間，小明用電腦在線上課，圖1是他的電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏AB可以繞O點旋轉(zhuǎn)一定角度．研究表明：當(dāng)眼睛E與顯示屏頂端A在同一水平線上，且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的視線EP與水平線EA的夾角∠AEP＝18°時，對保護眼睛比較好，而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線CD垂直時（如圖2）時，觀看屏幕最舒適，此時測得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶顯示屏的寬AB為30cm．
（1）求眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE；（結(jié)果精確到1cm）
（2）求顯示屏頂端A與底座C的距離AC．（結(jié)果精確到1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）

【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15cm，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE；
（2）如圖，過點B作BF⊥AC于點F，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AF和BF的長，進而求出顯示屏頂端A與底座C的距離AC．
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP＝，
∴AE＝≈48（cm），
答：眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE約為48cm；
（2）如圖，過點B作BF⊥AC于點F，

∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB?cos∠BAF＝30×cos18°≈30×0.95≈28.5，
BF＝AB?sin∠BAF＝30×sin18°≈30×0.31≈9.3，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF?tan∠CBF＝9.3×tan30°＝9.3×≈5.36，
∴AC＝AF+CF＝28.5+5.36≈34（cm）．
答：顯示屏頂端A與底座C的距離AC約為34cm．
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）連接CE交AB于點F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的長．

【分析】（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可判斷．
（2）證明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∵AB＝AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四邊形AEBD是矩形．

（2）解：∵四邊形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．

20．（8分）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元．用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的．
（1）求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？
（2）該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求建造這90個攤位的最大費用．
【分析】（1）設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位占地面積為（x+2）平方米，根據(jù)用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的這個等量關(guān)系列出方程即可．
（2）設(shè)建A攤位a個，則建B攤位（90﹣a）個，結(jié)合“B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍”列出不等式并解答，也可以利用一次函數(shù)的增減性解答．
【解答】解：（1）設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位占地面積為（x+2）平方米，
根據(jù)題意得：，
解得：x＝3，
經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位的占地面積為3平方米；

（2）解法一：設(shè)建A攤位a個，建造這90個攤位的費用為y元，則建B攤位（90﹣a）個，
由題意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y隨a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a為整數(shù)，
∴當(dāng)a取最大值22時，費用最大，
此時最大費用為：110×22+8100＝10520；
解法二：設(shè)建A攤位a（a為整數(shù)）個，則建B攤位（90﹣a）個，
由題意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元，
∴要想使建造這90個攤位有最大費用，所以要多建造A類攤位，即a取最大值22時，費用最大，
此時最大費用為：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造這90個攤位的最大費用是10520元．
21．（9分）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一動點，連接AC，BC，在BA的延長線上取一點D，連接CD，使CD＝CB．
（1）如圖1，若AC＝AD，求證：CD是⊙O的切線；
（2）如圖2，延長DC交⊙O于點E，連接AE．
i）若⊙O的直徑為，sinB＝，求AD的長；
ii）若CD＝2CE，求cosB的值．

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠D，∠D＝∠ACD，則∠B＝∠ACD，由圓周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠DCO＝90°，則可得出結(jié)論；
（2）i）連接OC，由勾股定理求出BC＝3，證明△COB∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出BD的長，則可得出答案；
ii）連接OC，設(shè)CE＝k，得出CD＝BC＝2k，DE＝3k，證明△DAE∽△COB和△COB∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)可得出BC的長，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．
【解答】（1）證明：連接OC，

∵CD＝BC，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
解：（2）i）連接OC，

∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，
在Rt△ACB中，AC＝AB?sinB，
∴AC＝＝1，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∵OB＝CO，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠OCB＝∠D，
∵∠CBO＝∠DBC，
∴△COB∽△DCB，
∴，
∴CB2＝OB?BD，
∵AB＝，
∴OA＝OB＝，
∴BD＝32×＝，
∴AD＝BD﹣AB＝；
ii）連接CO，
∵CD＝2CE，
設(shè)CE＝k，
∴CD＝BC＝2k，
∴DE＝3k，
∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，
∴△DAE∽△COB，
∴，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴AD＝r，
∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，
∵△COB∽△DCB，
∴，
∴BC2＝OB?BD，
∴（2k）2＝r×r，
∴k＝r，
∴BC＝2k＝r，
∴cosB＝．
22．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C，連接BC，點P是線段BC上的動點（與點B，C不重合），連接AP并延長AP交拋物線于點Q，連接CQ，BQ，設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△BCQ的面積等于2時，求m的值；
（3）在點P運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線表達式，求解即可；
（2）連接OQ，得到點Q的坐標(biāo)，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面積，再令S＝2，即可解出m的值；
（3）證明△APC∽△QPH，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 ，根據(jù)三角形的面積，可得QH＝，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），可得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：，
令x＝0，則y＝2，
∴點C的坐標(biāo)為（0，2）；
（2）連接OQ，
∵點Q的橫坐標(biāo)為m，
∴Q（m，），
∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC
＝﹣
＝﹣m2+4m，
令S＝2，
解得：m＝或，

（3）如圖，過點Q作QH⊥BC于H，連接AC，
∵AC＝，BC＝，AB＝5，
滿足AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，又∠QHP＝90°，∠APC＝∠QPH，
∴△APC∽△QPH，
∴，
∵S△BCQ＝BC?QH＝QH，
∴QH＝，
∴＝，
∴當(dāng)m＝2時，存在最大值．



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