1．（3分）下列各數(shù)是正數(shù)的是（ ）
A．0B．5C．﹣D．﹣
2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．x7÷x＝x7B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3?x3＝2x6D．（x3）2＝x6
4．（3分）2019年6月8日，全國鐵路發(fā)送旅客約9560000次，將數(shù)據(jù)9560000科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．9.56×106B．95.6×105C．0.956×107D．956×104
5．（3分）下表是我市七個縣（區(qū)）今年某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計結(jié)果：
則該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．25，25B．25，26C．25，23D．24，25
6．（3分）不等式組的解集是（ ）
A．x＞3B．x≤4C．x＜3D．3＜x≤4
7．（3分）如圖所示，該幾何體的左視圖是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）下列事件屬于必然事件的是（ ）
A．打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國”
B．若原命題成立，則它的逆命題一定成立
C．一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小
D．在數(shù)軸上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)表示的數(shù)一定是有理數(shù)
9．（3分）為推進(jìn)垃圾分類，推動綠色發(fā)展．某化工廠要購進(jìn)甲、乙兩種型號機(jī)器人用來進(jìn)行垃圾分類．用360萬元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同，兩種型號機(jī)器人的單價和為140萬元．若設(shè)甲型機(jī)器人每臺x萬元，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
A．＝B．＝
C．+＝140D．﹣140＝
10．（3分）如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上的動點(diǎn)，CA⊥AB，PD⊥AC于點(diǎn)D，連接AP，設(shè)AP＝x，PA﹣PD＝y(tǒng)，則下列函數(shù)圖象能反映y與x之間關(guān)系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11．（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 ．
12．（3分）函數(shù)y＝5x的圖象經(jīng)過的象限是 ．
13．（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有實數(shù)根，那么k的取值范圍是 ．
14．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（4，2），B（5，0），以點(diǎn)O為位似中心，相們比為，把△ABO縮小，得到△A1B1O，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 ．
15．（3分）如圖，BD是矩形ABCD的對角線，在BA和BD上分別截取BE，BF，使BE＝BF；分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF的長為半徑作弧，兩弧在∠ABD內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線BG交AD于點(diǎn)P，若AP＝3，則點(diǎn)P到BD的距離為 ．
16．（3分）如圖所示的點(diǎn)陣中，相鄰的四個點(diǎn)構(gòu)成正方形，小球只在點(diǎn)陣中的小正方形ABCD內(nèi)自由滾動時，則小球停留在陰影區(qū)域的概率為 ．
17．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB和菱形OCDE的邊OA，OE都在x軸上，點(diǎn)C在OB邊上，S△ABD＝，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值為 ．
18．（3分）如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過B1作B1A1⊥1，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3延長B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)?n的橫坐標(biāo)為 （結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）
三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）
19．（10分）先化簡，再求值（﹣）÷，其中a滿足a2+3a﹣2＝0．
20．（12分）某中學(xué)為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，成立了以下社團(tuán)：A．機(jī)器人，B．圍棋，C．羽毛球，D．電影配音．每人只能加入一個社團(tuán)．為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，其中圖（1）中A所占扇形的圓心角為36°．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人；
（2）請你將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）若該校共有1000學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計這1000名學(xué)生中有多少人參加了羽毛球社團(tuán)；
（4）在機(jī)器人社團(tuán)活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加機(jī)器人大賽．用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．
四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）
21．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延長CD到點(diǎn)E，使DE＝DA，連接AE．
（1）求證：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四邊形ABCE的面積．
22．（12分）小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?，需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，②分別是她上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE，箱長BC，拉桿AB的長度都相等，B，F(xiàn)在AC上，C在DE上，支桿DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，請根據(jù)以上信息，解決下列向題．
（1）求AC的長度（結(jié)果保留根號）；
（2）求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離（結(jié)果保留根號）．
五、解答題（滿分12分）
23．（12分）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元、工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是多少？
六、解答題（滿分12分）
24．（12分）如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的對角線AC上的一點(diǎn)，連接BP并延長交CD于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP．
（1）求證：DP是⊙O的切線；
（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的邊長為4，求⊙O的半徑和線段OP的長．
七、解答題（滿分12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點(diǎn)，且DA＝DB，O是AB的中點(diǎn)，CE是△BCD的中線．
（1）如圖a，連接OC，請直接寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）點(diǎn)M是射線EC上的一個動點(diǎn)，將射線OM繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON＝∠ADB，ON與射線CA交于點(diǎn)N．
①如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，當(dāng)∠AON＝15°時，請直接寫出線段ME的長度（用含m的代數(shù)式表示）．
八、解答題（滿分14分）
26．（14分）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，對稱軸交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為拋物線對稱軸CD上的一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與C，D重合）．過點(diǎn)C作直線PB的垂線交PB于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PCF的面積為5時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△PCF為等腰三角形時，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2019年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．【解答】解：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；5是正數(shù)；和都是負(fù)數(shù)．
故選：B．
2．【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：B．
3．【解答】解：A、x7÷x＝x6，故此選項錯誤；
B、（﹣3x2）2＝9x4，故此選項錯誤；
C、x3?x3＝x6，故此選項錯誤；
D、（x3）2＝x6，故此選項正確；
故選：D．
4．【解答】解：將數(shù)據(jù)9560000科學(xué)記數(shù)法表示為9.56×106．
故選：A．
5．【解答】解：∵在這7個數(shù)中，25（℃）出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)是25；
把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列位于中間位置的數(shù)是25，
則中位數(shù)為：25；
故選：A．
6．【解答】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x≤4，
則不等式組的解集為3＜x≤4，
故選：D．
7．【解答】解：從左邊看是一個矩形，中間有兩條水平的虛線，
故選：B．
8．【解答】解：A、打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國”，是隨機(jī)事件，不合題意；
B、若原命題成立，則它的逆命題一定成立，是隨機(jī)事件，不合題意；
C、一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小，是必然事件，符合題意；
D、在數(shù)軸上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)表示的數(shù)一定是有理數(shù)，是隨機(jī)事件，不合題意；
故選：C．
9．【解答】解：設(shè)甲型機(jī)器人每臺x萬元，根據(jù)題意，可得：，
故選：A．
10．【解答】設(shè)：圓的半徑為R，連接PB，
則sin∠ABP＝，
∵CA⊥AB，即AC是圓的切線，則∠PDA＝∠PBA＝α，
則PD＝APsinα＝x×＝x2，
則y＝PA﹣PD＝﹣x2+x，
圖象為開口向下的拋物線，
故選：C．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11．【解答】解：由題意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案為：x≥2．
12．【解答】解：函數(shù)y＝5x的圖象經(jīng)過一三象限，
故答案為：一、三
13．【解答】解：根據(jù)題意得：△＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4．
故答案為：k≤4．
14．【解答】解：以點(diǎn)O為位似中心，相們比為，把△ABO縮小，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A（4，2），
則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故答案為：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
15．【解答】解：結(jié)合作圖的過程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴點(diǎn)P到BD的距離等于AP的長，為3，
故答案為：3．
16．【解答】解：如圖所示，AD與直線的交點(diǎn)為E，AB與直線的交點(diǎn)為F，
根據(jù)題意可知，AF＝，
∴＝，
∴小球停留在陰影區(qū)域的概率為：1﹣．
故答案為：
17．【解答】解：連接OD，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵四邊形OCDE是菱形，
∴DE∥OB，
∴∠DEO＝∠AOB＝60°，
∴△DEO是等邊三角形，
∴∠DOE＝∠BAO＝60°，
∴OD∥AB，
∴S△BDO＝S△AOD，
∵S四邊形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB，
∴S△AOB＝S△ABD＝，
過B作BH⊥OA于H，
∴OH＝AH，
∴S△OBH＝，
∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
∴k的值為，
故答案為：．
18．【解答】解：過點(diǎn)B1、C1、C2、C3、C4分別作B1D⊥x軸，C1D1⊥x軸，C2D2⊥x軸，C3D3⊥x軸，C4D4⊥x軸，……垂足分別為D、D1、D2、D3、D4……
∵點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)為1，
即：OD＝2，B1D＝1，
圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2，
∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為：2++（）0，
點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1
點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2
點(diǎn)C4的橫坐標(biāo)為：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3
……
點(diǎn)?n的橫坐標(biāo)為：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1
＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1
＝
故答案為：
三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）
19．【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝
＝，
∵a2+3a﹣2＝0，
∴a2+3a＝2，
∴原式＝＝1．
20．【解答】解：（1）∵A類有20人，所占扇形的圓心角為36°，
∴這次被調(diào)查的學(xué)生共有：20÷＝200（人）；
故答案為：200；
（2）C項目對應(yīng)人數(shù)為：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；
補(bǔ)充如圖．
（3）1000×＝300（人）
答：這1000名學(xué)生中有300人參加了羽毛球社團(tuán)；
（4）畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種，
∴P（選中甲、乙）＝＝．
四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）
21．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∠B＝45°
∴∠C+∠B＝180°
∴∠C＝135°
∵DE＝DA，AD⊥CD
∴∠E＝45°
∵∠E+∠C＝180°
∴AE∥BC，且AB∥CD
∴四邊形ABCE是平行四邊形
∴AE＝BC
（2）∵四邊形ABCE是平行四邊形
∴AB＝CE＝3
∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2
∴四邊形ABCE的面積＝3×2＝6
22．【解答】解：（1）過F作FH⊥DE于H，
∴∠FHC＝∠FHD＝90°，
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴FH＝DF＝15，DH＝DF＝15，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15，
∴，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝CD＝20+20，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（40+40）cm；
（2）過A作AG⊥ED交ED的延長線于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG＝AC＝20+20，
答：拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿ED的距離為（20+20）cm．
五、解答題（滿分12分）
23．【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時，y＝40；
當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時，y＝﹣x+50；
當(dāng)x＞60且x為整數(shù)時，y＝20；
（2）設(shè)所獲利潤w（元），
當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時，y＝40，
∴w＝（40﹣16）×20＝480元，
當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時，y＝40，
∴當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時，y＝﹣x+50，
∴w＝（y﹣16）x＝（﹣x+50﹣16）x，
∴w＝﹣x2+34x，
∴w＝﹣（x﹣34）2+578，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)x＝34時，w最大，最大值為578元．
答：一次批發(fā)34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元．
六、解答題（滿分12分）
24．【解答】（1）連接OD，
∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，
∴△CDP≌△CBP（SAS），
∴∠CDP＝∠CBP，
∵∠BCD＝90°，
∴∠CBP+∠BEC＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∠OED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠CDP+∠ODE＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∴DP是⊙O的切線；
（2）∵∠CDP＝∠CBE，
∴tan，
∴CE＝，
∴DE＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴EF是⊙O的直徑，
∴∠F+∠DEF＝90°，
∴∠F＝∠CDP，
在Rt△DEF中，，
∴DF＝4，
∴＝＝2，
∴，
∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，
∴△DPE∽△FPD，
∴，
設(shè)PE＝x，則PD＝2x，
∴，
解得x＝，
∴OP＝OE+EP＝．
七、解答題（滿分12分）
25．【解答】解：（1）結(jié)論：∠ECO＝∠OAC．
理由：如圖1中，連接OE．
∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，
∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，
∴∠OCA＝∠A，
∵BE＝ED，BO＝OA，
∴OE∥AD，OE＝AD，
∴CE＝EO．
∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，
∴∠ECO＝∠OAC．
故答案為：∠OCE＝∠OAC．
（2）如圖2中，
∵OC＝OA，DA＝DB，
∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，
∴∠COA＝∠ADB，
∵∠MON＝∠ADB，
∴∠AOC＝∠MON，
∴∠COM＝∠AON，
∵∠ECO＝∠OAC，
∴∠MCO＝∠NAO，
∵OC＝OA，
∴△COM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON．
②如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N在CA的延長線上時，
∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，
∴∠AON＝∠ANO＝15°，
∴OA＝AN＝m，
∵△OCM≌△OAN，
∴CM＝AN＝m，
在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，
∴BD＝m，
∵BE＝ED，
∴CE＝BD＝m，
∴EM＝CM+CE＝m+m．
如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時，作OH⊥AC于H．
∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，
∴∠ONH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HN＝m，
∵AH＝m，
∴CM＝AN＝m﹣m，
∵EC＝m，
∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，
綜上所述，滿足條件的EM的值為m+m或m﹣m．
八、解答題（滿分14分）
26．【解答】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；
（2）拋物線的對稱軸為x＝1，則點(diǎn)C（2，2），
設(shè)點(diǎn)P（2，m），
將點(diǎn)P、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+t并解得：
函數(shù)PB的表達(dá)式為：y＝﹣mx+…①，
∵CE⊥PE，故直線CE表達(dá)式中的k值為，
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，
同理可得直線CE的表達(dá)式為：y＝…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝2﹣，
故點(diǎn)F（2﹣，0），
S△PCF＝×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，
解得：m＝5或﹣3（舍去5），
故點(diǎn)P（2，﹣3）；
（3）由（2）確定的點(diǎn)F的坐標(biāo)得：
CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，
①當(dāng)CP＝CF時，即：（2﹣m）＝（）2+4，解得：m＝0或（均舍去），
②當(dāng)CP＝PF時，（2﹣m）2＝（）2+m2，解得：m＝或3（舍去3），
③當(dāng)CF＝PF時，同理可得：m＝±2（舍去2），
故點(diǎn)P（2，）或（2，﹣2）．
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