1．（3分）下列各數(shù)中，比﹣2021小的是（ ）
A．﹣2022B．2021C．0D．﹣0.001
2．（3分）地鐵是城市生活中的重要交通工具，地鐵標(biāo)志作為城市地鐵的形象和符號，出現(xiàn)在城市的每個角落，它是城市文化的縮影．下列城市地鐵的標(biāo)志圖案中（文字部分除外），既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查方式的是（ ）
A．調(diào)查太原市市民平均每日廢棄口罩的數(shù)量
B．調(diào)查某一批次LED燈泡的使用壽命
C．調(diào)查“嫦娥五號”月球探測器零部件的合格情況
D．調(diào)查太原市市民進(jìn)行垃圾分類的情況
4．（3分）如圖所示的幾何體由6個相同的小正方體搭成，關(guān)于該幾何體的三種視圖，下列說法正確的是（ ）
A．僅主視圖與左視圖相同
B．僅主視圖與俯視圖相同
C．僅左視圖與俯視圖相同
D．主視圖、左視圖和俯視圖都相同
5．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．3a?2a＝5a2
B．﹣6a2÷3a＝2a
C．（﹣2a3+4a2﹣a）÷a＝﹣2a2+4a﹣1
D．（﹣3a）3＝﹣9a3
6．（3分）如圖，已知直線a∥b，將一塊含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按圖示位置放置．若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．（3分）“中國疫苗，助力全球戰(zhàn)疫”．據(jù)中國外交部數(shù)據(jù)顯示，中國已向53個提出要求的發(fā)展中國家提供了疫苗援助，并正在向20多個國家出口疫苗．預(yù)計2021年我國生產(chǎn)的新冠疫苗總產(chǎn)能將會超過20億劑，必將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn)．將數(shù)據(jù)“20億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×108
8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，2），（﹣1，﹣1）．以點O為位似中心，在原點的另一側(cè)按2：1的相似比將△OEF縮小，則點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為（ ）
A．（）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（4，﹣2）
9．（3分）二十四節(jié)氣，是我國古人根據(jù)地球在黃道（即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道）上的位置變化而制定的，每一個節(jié)氣分別相對應(yīng)于地球在黃道上每運轉(zhuǎn)15°所到達(dá)的一定位置，反映了太陽對地球產(chǎn)生的影響．它凝聚著中華文明的歷史文化精華，在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽為“中國的第五大發(fā)明”．如圖是地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道圖，若將其近似看作圓形，其半徑為Rkm，則從每年的立春到立夏，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的路程是（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
10．（3分）如圖是一個正方形紙板，陰影部分是由4段以正方形邊長的一半為半徑的弧所圍成的，這些弧所在圓的圓心分別是正方形的頂點或中心，這樣的圖形被稱為斯坦因豪斯圖形．若將一根針隨機(jī)投擲到該正方形紙板上，則針尖落在陰影區(qū)域的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分．請將答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置）
11．（3分）化簡+結(jié)果是 ．
12．（3分）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由全等的正六邊形構(gòu)成的，依此規(guī)律，第n個圖案中正六邊形的個數(shù)為 ．（用含有n的代數(shù)式表示）
13．（3分）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點M，N，F(xiàn)分別是邊AE，AB，CD與⊙O的切點，則∠MFN的度數(shù)為 °．
14．（3分）某學(xué)校要為生物科學(xué)活動社團(tuán)提供實驗器材，計劃購買A，B兩種型號的放大鏡，A型號的放大鏡每個20元，B型號的放大鏡每個15元，且所需購買A型號放大鏡的數(shù)量是B型號放大鏡數(shù)量的2倍，且總費用不超過1100元，則最多可以購買A型號放大鏡 個．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC邊上的中線，過點B作AE的垂線BD，垂足為H，交AC于點D，則AD的長為 ．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（5分）計算：（﹣4﹣5）×（﹣）2﹣2﹣2+（﹣）3．
17．（5分）閱讀下列解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的過程，并解決相關(guān)問題．
解：將方程左邊分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程兩邊都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
①第一步方程左邊分解因式的方法是 ，解方程的過程從第 步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是 ；
②請直接寫出方程的根為 ．
18．（7分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且CD平分∠ACB，過點D作⊙O的切線，交CA的延長線于點E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）若AC的長為，請直接寫出DE的長．
19．（9分）經(jīng)過近半個世紀(jì)的迅速發(fā)展，我國航天事業(yè)取得了巨大成就．隨著“嫦娥五號”月球探測器攜帶月壤返回地球，中國探月工程“繞、落、回”計劃完美收官；2021年2月10日，“天問一號”火星探測器抵達(dá)火星軌道，成為中國首顆人造火星衛(wèi)星，并從距地球1.9億千米外傳回新春祝?！_學(xué)初，某學(xué)校組織首屆“航天夢 報國情”航天知識競賽活動，旨在引導(dǎo)同學(xué)們感受祖國航天事業(yè)的成就，提升愛國熱情．活動中，九年級全體同學(xué)參加了“航天知識競賽”，為了解本次競賽的成績，小彬進(jìn)行了下列統(tǒng)計活動．
收集數(shù)據(jù)：
現(xiàn)隨機(jī)抽取九年級40名同學(xué)“航天知識競賽”的成績（單位：分）如下：
75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95
95 75 90 80 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60
整理分析：
小彬按照如下表格整理了這組數(shù)據(jù)，并繪制了如下的頻數(shù)直方圖．
九年級40名同學(xué)“航天知識競賽”成績頻數(shù)分布表
（1）請將圖表中空缺的部分補充完整，并直接寫出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（2）簡要說明這40名同學(xué)“航天知識競賽”成績的分布情況．（寫出一條即可）
問題解決：
（3）活動組委會決定，給“航天知識競賽”成績在90分及以上的同學(xué)授予“小宇航員”稱號．根據(jù)上面的統(tǒng)計結(jié)果，估計該校九年級560人中約有多少人將獲得“小宇航員”稱號．
（4）“航天知識競賽”活動中，獲得“小宇航員”稱號的小穎得到了A，B，C，D四枚紀(jì)念章（除圖案外完全相同）．如圖所示，四枚紀(jì)念章上分別印有“嫦娥五號”“天問一號”“長征火箭”“天宮一號”的圖案．她將這四枚紀(jì)念章背面朝上放在桌面上，然后從中隨機(jī)選取兩枚送給同學(xué)小彬，求小穎送給小彬的兩枚紀(jì)念章中恰好有一枚印有“嫦娥五號”圖案的概率．
20．（8分）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，指的是只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并且只允許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖問題．在初中階段，我們學(xué)習(xí)過五種基本尺規(guī)作圖，并且運用基本尺規(guī)作圖方法，結(jié)合圖形性質(zhì)可以作出更多的數(shù)學(xué)圖形．
如圖1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺規(guī)作底邊BC的垂直平分線的過程如下：
①以點A為圓心，小于AB長為半徑作弧，分別交AB，AC于點D，E；
②分別以點D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點P；
③作射線AP，則AP⊥BC．
（1）根據(jù)小明的作圖方法在圖1中作出圖形，他得出“AP⊥BC”的依據(jù)是 ．
（2）如圖2，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作對角線BD的垂直平分線，小亮只用直尺作直線AC，就得到對角線BD的垂直平分線．請你幫小亮說明理由．
（3）如圖3，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．請你只用直尺作出BC邊的垂直平分線．（不寫作法，保留作圖痕跡）
21．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣4x+2的圖象與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于點B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．過點A作AD⊥y軸交反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象于點D，連接BD．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點C的坐標(biāo)．
（2）求△ABD的面積．
（3）請直接寫出不等式＜﹣4x+2的解集．
22．（9分）山西省隰縣盛產(chǎn)香梨，被稱為“隰縣玉露香”．縣政府運用“互聯(lián)網(wǎng)+玉露香梨”的發(fā)展思路，探索“愛心助農(nóng)精準(zhǔn)脫貧”的方式，構(gòu)建“隰縣玉露香”電商生態(tài)圈，使隰縣成為中國北方最大的電商孵化基地.2021年春節(jié)期間，“隰縣玉露香”在網(wǎng)上熱銷，某電商看準(zhǔn)商機(jī)，用10000元購進(jìn)一批“隰縣玉露香”，銷量可觀，于是又用18000元購進(jìn)一批同款規(guī)格的“隰縣玉露香”，但第二次的進(jìn)價比第一次每箱上漲20元，第二次所購數(shù)量恰好是第一次的1.5倍．
（1）求第一次購進(jìn)的“隰縣玉露香”每箱的價格．
（2）政府為推進(jìn)農(nóng)村電商高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，在隰縣新建一批移動信號發(fā)射塔，以提高農(nóng)村互聯(lián)網(wǎng)的傳輸效率．如圖，是一個新建的移動信號發(fā)射塔AC，其高AC＝15m．用測角儀在山腳下的點B處測得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔頂A的仰角∠ABD＝42°，點A，C，D在同一條鉛垂線上．果農(nóng)要在山腳B處修建房屋以方便管理梨園，按國家規(guī)定，通訊基站離居民居住地至少100m就可不受信號塔輻射的影響．請判斷在點B處的房屋是否受信號塔塔頂A發(fā)出的信號輻射的影響．
（測角儀、房屋的高度忽略不計；結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°＝0.75，sin42°＝0.67，cs42°＝0.74，tan42°≈0.90）
23．（12分）綜合與實踐﹣﹣圖形變換中的數(shù)學(xué)問題．
問題情境：
如圖1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．將△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，兩個三角形拼成四邊形ABCD．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形．
初步探究：
（2）將△ABC從圖1位置開始繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中點A，C的對應(yīng)點分別是點E，F(xiàn)，連接AE，F(xiàn)C并分別延長，交于點M．試猜想線段AM與FM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
深入探究：
（3）如圖3，連接DE，當(dāng)DE∥CM時，請直接寫出CM的長．
24．（13分）綜合與探究：
如圖，拋物線y＝﹣x2+x+6與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線l經(jīng)過B，C兩點．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．
（2）點D是直線l上方拋物線上一點，其橫坐標(biāo)為m，過點D作直線DE⊥x軸于點E，交直線l于點F．當(dāng)DF＝2EF時，求點D的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點P，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2021年山西省晉一大聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該選項涂黑）
1．（3分）下列各數(shù)中，比﹣2021小的是（ ）
A．﹣2022B．2021C．0D．﹣0.001
【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較解答即可．
【解答】解：因為﹣2022＜﹣2021＜﹣0.001＜0＜2021，
所以其中比﹣2021小的是﹣2022．
故選：A．
2．（3分）地鐵是城市生活中的重要交通工具，地鐵標(biāo)志作為城市地鐵的形象和符號，出現(xiàn)在城市的每個角落，它是城市文化的縮影．下列城市地鐵的標(biāo)志圖案中（文字部分除外），既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意．
故選：D．
3．（3分）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查方式的是（ ）
A．調(diào)查太原市市民平均每日廢棄口罩的數(shù)量
B．調(diào)查某一批次LED燈泡的使用壽命
C．調(diào)查“嫦娥五號”月球探測器零部件的合格情況
D．調(diào)查太原市市民進(jìn)行垃圾分類的情況
【分析】根據(jù)調(diào)查對象的特點，結(jié)合普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果接近準(zhǔn)確數(shù)值，從而可得答案．
【解答】解：A、調(diào)查太原市市民平均每日廢棄口罩的數(shù)量，適合采用抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；
B、調(diào)查某一批次LED燈泡的使用壽命，適合采用抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；
C、調(diào)查“嫦娥五號”月球探測器零部件的合格情況，適合采用全面調(diào)查方式，故本選項符合題意；
D、調(diào)查太原市市民進(jìn)行垃圾分類的情況，適合采用抽樣調(diào)查，故本選項不合題意．
故選：C．
4．（3分）如圖所示的幾何體由6個相同的小正方體搭成，關(guān)于該幾何體的三種視圖，下列說法正確的是（ ）
A．僅主視圖與左視圖相同
B．僅主視圖與俯視圖相同
C．僅左視圖與俯視圖相同
D．主視圖、左視圖和俯視圖都相同
【分析】根據(jù)該幾何體的三視圖可逐一判斷．
【解答】解：該幾何體的主視圖：底層是兩個小正方形，上層是兩個小正方形；
左視圖：底層是兩個小正方形，上層是兩個小正方形；
俯視圖：底層是兩個小正方形，上層是兩個小正方形；
所以主視圖、左視圖和俯視圖都相同．
故選：D．
5．（3分）下列運算正確的是（ ）
A．3a?2a＝5a2
B．﹣6a2÷3a＝2a
C．（﹣2a3+4a2﹣a）÷a＝﹣2a2+4a﹣1
D．（﹣3a）3＝﹣9a3
【分析】根據(jù)單項式乘以單項式、單項式除以單項式，有理數(shù)混合運算法則，及積的乘方運算法則逐項進(jìn)行計算即可得出答案．
【解答】解：A：因為3a?2a＝6a2，所以A選項錯誤；
B：因為﹣6a2÷3a＝﹣2a，所以B選項錯誤；
C：因為（﹣2a3+4a2﹣a）÷a＝﹣2a2+4a﹣1，所以C選項正確；
D：因為（﹣3a）3＝﹣27a3，所以D選項錯誤．
故選：C．
6．（3分）如圖，已知直線a∥b，將一塊含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按圖示位置放置．若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】過A作直線AD∥直線a，求出AD∥直線a∥直線b，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠DAC＝30°，∠D＝∠DAB，再求出答案即可．
【解答】解：過A作直線AD∥直線a，
∵直線a∥b，
∴AD∥直線a∥直線b，
∴∠1＝∠DAC＝30°，∠D＝∠DAB，
∵∠1＝30°，∠CAB＝45°，
∴∠2＝∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝30°+45°＝75°，
故選：D．
7．（3分）“中國疫苗，助力全球戰(zhàn)疫”．據(jù)中國外交部數(shù)據(jù)顯示，中國已向53個提出要求的發(fā)展中國家提供了疫苗援助，并正在向20多個國家出口疫苗．預(yù)計2021年我國生產(chǎn)的新冠疫苗總產(chǎn)能將會超過20億劑，必將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn)．將數(shù)據(jù)“20億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×108
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：20億＝2000000000＝2×109，
故選：B．
8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，2），（﹣1，﹣1）．以點O為位似中心，在原點的另一側(cè)按2：1的相似比將△OEF縮小，則點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為（ ）
A．（）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（4，﹣2）
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，判斷即可．
【解答】解：∵點E的坐標(biāo)為（﹣4，2），以點O為位似中心，在原點的另一側(cè)按2：1的相似比將△OEF縮小，
∴點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（2，﹣1），
故選：C．
9．（3分）二十四節(jié)氣，是我國古人根據(jù)地球在黃道（即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道）上的位置變化而制定的，每一個節(jié)氣分別相對應(yīng)于地球在黃道上每運轉(zhuǎn)15°所到達(dá)的一定位置，反映了太陽對地球產(chǎn)生的影響．它凝聚著中華文明的歷史文化精華，在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽為“中國的第五大發(fā)明”．如圖是地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道圖，若將其近似看作圓形，其半徑為Rkm，則從每年的立春到立夏，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的路程是（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
【分析】可得從每年的立春到立夏地球繞太陽公轉(zhuǎn)的圓心角度數(shù)為90°，根據(jù)扇形的弧長公式計算即可求解．
【解答】解：∵從每年的立春到立夏地球繞太陽公轉(zhuǎn)的圓心角度數(shù)為90°，
∴地球繞太陽公轉(zhuǎn)的路程是＝（km）．
故選：A．
10．（3分）如圖是一個正方形紙板，陰影部分是由4段以正方形邊長的一半為半徑的弧所圍成的，這些弧所在圓的圓心分別是正方形的頂點或中心，這樣的圖形被稱為斯坦因豪斯圖形．若將一根針隨機(jī)投擲到該正方形紙板上，則針尖落在陰影區(qū)域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用割補法可得陰影部分的面積等于正方形面積的一半，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：如圖所示，連接正方形的對邊重點得到四個相同的小正方形，觀察圖形，把①和③、②和④的位置互換，得到兩個陰影部分面積相等的小正方形，所以陰影部分的面積是正方形的面積的一半，
所以將一根針隨機(jī)投擲到該正方形紙板上，則針尖落在陰影區(qū)域的概率是，
故選：A．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分．請將答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置）
11．（3分）化簡+結(jié)果是 ．
【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案為：
12．（3分）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由全等的正六邊形構(gòu)成的，依此規(guī)律，第n個圖案中正六邊形的個數(shù)為 3n+1 ．（用含有n的代數(shù)式表示）
【分析】先表示出前三個圖形的個數(shù)，再根據(jù)圖形的變化規(guī)律解答即可．
【解答】解：第1個圖案中正六邊形的個數(shù)為4＝3×1+1；
第2個圖案中正六邊形的個數(shù)為7＝3×2+1；
第3個圖案中正六邊形的個數(shù)為10＝3×3+1；
……
第n個圖案中正六邊形的個數(shù)為3n+1；
故答案為：3n+1．
13．（3分）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點M，N，F(xiàn)分別是邊AE，AB，CD與⊙O的切點，則∠MFN的度數(shù)為 36 °．
【分析】如圖，連接OM，ON．求出∠MON，再利用圓周角定理求解即可．
【解答】解：如圖，連接OM，ON．
∵M(jìn)，N，F(xiàn)分別是AE，AB，CD與⊙O的切點，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
∴∠MFN＝∠MON＝36°，
故答案為：36．
14．（3分）某學(xué)校要為生物科學(xué)活動社團(tuán)提供實驗器材，計劃購買A，B兩種型號的放大鏡，A型號的放大鏡每個20元，B型號的放大鏡每個15元，且所需購買A型號放大鏡的數(shù)量是B型號放大鏡數(shù)量的2倍，且總費用不超過1100元，則最多可以購買A型號放大鏡 40 個．
【分析】設(shè)出A型放大鏡為x個，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解．
【解答】解：設(shè)A型放大鏡x個，則B型放大鏡為x個，
根據(jù)題意可得：20x+15×x≤1100．
解得：x≤40．
故答案為：40．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC邊上的中線，過點B作AE的垂線BD，垂足為H，交AC于點D，則AD的長為 ．
【分析】過點C作FC⊥BC于C，延長BD交CF于F，證明△ABE≌△BCF（ASA），得BE＝CF，再證明△ABD∽△CFD，列比例式可得結(jié)論．
【解答】解：過點C作FC⊥BC于C，延長BD交CF于F，
∵∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴AB∥CF，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB＝∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠ABH+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠BAH，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∵AE是BC邊上的中線，
∴BE＝BC＝1，
∴CF＝1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，
∵AB∥CF，
∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，
∴△ABD∽△CFD，
∴，即，
解得：AD＝．
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（5分）計算：（﹣4﹣5）×（﹣）2﹣2﹣2+（﹣）3．
【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及有理數(shù)的混合運算計算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣9×﹣﹣
＝﹣4﹣﹣
＝﹣4．
17．（5分）閱讀下列解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的過程，并解決相關(guān)問題．
解：將方程左邊分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程兩邊都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
①第一步方程左邊分解因式的方法是 公式法 ，解方程的過程從第 二 步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是 x﹣3可能為0 ；
②請直接寫出方程的根為 x1＝3，x2＝﹣1 ．
【分析】①根據(jù)公式法因式分解、等式的基本性質(zhì)判斷即可；
②利用公式法求解即可．
【解答】解：①第一步方程左邊分解因式的方法是公式法，解方程的過程從第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是：x﹣3可能為0，
故答案為：公式法，二，x﹣3可能為0；
②∵x2﹣9＝2（x﹣3），
∴（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），
∴（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
則（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
故答案為：x1＝3，x2＝﹣1．
18．（7分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且CD平分∠ACB，過點D作⊙O的切線，交CA的延長線于點E．若∠ABC＝30°．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）若AC的長為，請直接寫出DE的長．
【分析】（1）連接OD，先證ED∥AO，得出∠E＝∠BAC，于結(jié)合圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）過點A作AH⊥DE于點H，則∠DHA＝90°，選證明四邊形AODH是正方形，可求出DH的長，由直角三角形的性質(zhì)求出EH的長，即可求出DE的長．
【解答】解：（1）連接OD，
∵DE⊙O的切線，
∴DE⊥OD，
∴∠EDO＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
又∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴ED∥AO，
∴∠E＝∠BAC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠E＝60°；
（2）過點A作AH⊥DE于點H，則∠DHA＝90°，
又∵∠HDO＝∠AOD＝90°，
∴四邊形AODH是矩形，
又∵OD＝OA，
∴四邊形AODH是正方形，
∴AO＝DH＝AH，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝，
∴AB＝2，
∴AO＝，
∴DH＝AH＝AO＝，
在Rt△AHE中，EH＝＝1，
∴DE＝EH+DH＝1+．
19．（9分）經(jīng)過近半個世紀(jì)的迅速發(fā)展，我國航天事業(yè)取得了巨大成就．隨著“嫦娥五號”月球探測器攜帶月壤返回地球，中國探月工程“繞、落、回”計劃完美收官；2021年2月10日，“天問一號”火星探測器抵達(dá)火星軌道，成為中國首顆人造火星衛(wèi)星，并從距地球1.9億千米外傳回新春祝?！_學(xué)初，某學(xué)校組織首屆“航天夢 報國情”航天知識競賽活動，旨在引導(dǎo)同學(xué)們感受祖國航天事業(yè)的成就，提升愛國熱情．活動中，九年級全體同學(xué)參加了“航天知識競賽”，為了解本次競賽的成績，小彬進(jìn)行了下列統(tǒng)計活動．
收集數(shù)據(jù)：
現(xiàn)隨機(jī)抽取九年級40名同學(xué)“航天知識競賽”的成績（單位：分）如下：
75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95
95 75 90 80 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60
整理分析：
小彬按照如下表格整理了這組數(shù)據(jù)，并繪制了如下的頻數(shù)直方圖．
九年級40名同學(xué)“航天知識競賽”成績頻數(shù)分布表
（1）請將圖表中空缺的部分補充完整，并直接寫出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（2）簡要說明這40名同學(xué)“航天知識競賽”成績的分布情況．（寫出一條即可）
問題解決：
（3）活動組委會決定，給“航天知識競賽”成績在90分及以上的同學(xué)授予“小宇航員”稱號．根據(jù)上面的統(tǒng)計結(jié)果，估計該校九年級560人中約有多少人將獲得“小宇航員”稱號．
（4）“航天知識競賽”活動中，獲得“小宇航員”稱號的小穎得到了A，B，C，D四枚紀(jì)念章（除圖案外完全相同）．如圖所示，四枚紀(jì)念章上分別印有“嫦娥五號”“天問一號”“長征火箭”“天宮一號”的圖案．她將這四枚紀(jì)念章背面朝上放在桌面上，然后從中隨機(jī)選取兩枚送給同學(xué)小彬，求小穎送給小彬的兩枚紀(jì)念章中恰好有一枚印有“嫦娥五號”圖案的概率．
【分析】（1）根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)整理可得；根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；
（2）由頻數(shù)分布表可得數(shù)據(jù)的分布情況；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中90≤x＜100人數(shù)所占比例即可得；
（4）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）補全表格如下：
這40名同學(xué)的“航天知識競賽”成績的中位數(shù)是第20、21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
所以這40名同學(xué)的“航天知識競賽”成績的中位數(shù)是＝80（分），
（2）這40名同學(xué)“航天知識競賽”的成績主要分布在70≤x＜90．
（3）估計該校九年級560人中，獲得“小宇航員”稱號的約為560×＝70（人）．
（4）將分別印有“嫦娥五號”“天問一號”“長征火箭”“天宮一號”的印章分別記為A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：
則共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小穎送給小彬的兩枚紀(jì)念章中恰好有一枚印有“嫦娥五號”圖案的結(jié)果數(shù)為6，
所以小穎送給小彬的兩枚紀(jì)念章中恰好有一枚印有“嫦娥五號”圖案的概率為＝．
20．（8分）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，指的是只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并且只允許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖問題．在初中階段，我們學(xué)習(xí)過五種基本尺規(guī)作圖，并且運用基本尺規(guī)作圖方法，結(jié)合圖形性質(zhì)可以作出更多的數(shù)學(xué)圖形．
如圖1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺規(guī)作底邊BC的垂直平分線的過程如下：
①以點A為圓心，小于AB長為半徑作弧，分別交AB，AC于點D，E；
②分別以點D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點P；
③作射線AP，則AP⊥BC．
（1）根據(jù)小明的作圖方法在圖1中作出圖形，他得出“AP⊥BC”的依據(jù)是 等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高和底邊上的中線互相重合 ．
（2）如圖2，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作對角線BD的垂直平分線，小亮只用直尺作直線AC，就得到對角線BD的垂直平分線．請你幫小亮說明理由．
（3）如圖3，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．請你只用直尺作出BC邊的垂直平分線．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【分析】（1）依據(jù)線段垂直平分線的作圖方法，即可得到AB邊的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一即可得依據(jù)；
（2）分別證明點A和點C在線段BD的垂直平分線上，即可說明理由；
（3）連接AC，BD相交于點，分別延長BA和CD相交于點，兩個交點所在直線即為所求．
【解答】解：（1）作圖如下：
得出“AP⊥BC”的依據(jù)是：等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高和底邊上的中線互相重合；
故答案為：等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高和底邊上的中線互相重合；
（2）∵AB＝AD，
∴點A在線段BD的垂直平分線上，
∵∠ABC＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴點C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是對角線BD的垂直平分線；
（3）如圖，直線n即為所求．
21．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣4x+2的圖象與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于點B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．過點A作AD⊥y軸交反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象于點D，連接BD．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點C的坐標(biāo)．
（2）求△ABD的面積．
（3）請直接寫出不等式＜﹣4x+2的解集．
【分析】（1）先得到點B的坐標(biāo)，再將B點坐標(biāo)代入y＝（k≠0），利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而即可求得C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)一次函數(shù)y＝﹣4x+2的圖象與y軸交于點A，求出點A的坐標(biāo)為（0，2），再將y＝2代入y＝﹣，求出x的值，那么AD＝3．根據(jù)三角形面積公式即可求得；
（3）根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）∵B（﹣1，m）在一次函數(shù)y＝﹣4x+2的圖象上，
∴﹣4×（﹣1）+2＝m．解得m＝6，
∴B（﹣1，6），
∵點B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，
∴k＝﹣1×6＝﹣6
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣，
∵C（n，﹣4）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上
∴﹣4＝﹣，解得n＝，
∴點C的坐標(biāo)為（，﹣4）；
（2）把x＝0代入y＝﹣4x+2，得y＝2，
∴A（0，2），
∵AD⊥y軸，
∴點D的縱坐標(biāo)為2，
又∵點D在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，
∴2＝﹣，解得x＝﹣3，
∴D（﹣3，2）．
∴AD＝3
∴S△ABD＝×3×（6﹣2）＝6；
（3）觀察圖象可知，不等式＜﹣4x+2的解集為x＜﹣1或0＜x＜．
22．（9分）山西省隰縣盛產(chǎn)香梨，被稱為“隰縣玉露香”．縣政府運用“互聯(lián)網(wǎng)+玉露香梨”的發(fā)展思路，探索“愛心助農(nóng)精準(zhǔn)脫貧”的方式，構(gòu)建“隰縣玉露香”電商生態(tài)圈，使隰縣成為中國北方最大的電商孵化基地.2021年春節(jié)期間，“隰縣玉露香”在網(wǎng)上熱銷，某電商看準(zhǔn)商機(jī)，用10000元購進(jìn)一批“隰縣玉露香”，銷量可觀，于是又用18000元購進(jìn)一批同款規(guī)格的“隰縣玉露香”，但第二次的進(jìn)價比第一次每箱上漲20元，第二次所購數(shù)量恰好是第一次的1.5倍．
（1）求第一次購進(jìn)的“隰縣玉露香”每箱的價格．
（2）政府為推進(jìn)農(nóng)村電商高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，在隰縣新建一批移動信號發(fā)射塔，以提高農(nóng)村互聯(lián)網(wǎng)的傳輸效率．如圖，是一個新建的移動信號發(fā)射塔AC，其高AC＝15m．用測角儀在山腳下的點B處測得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔頂A的仰角∠ABD＝42°，點A，C，D在同一條鉛垂線上．果農(nóng)要在山腳B處修建房屋以方便管理梨園，按國家規(guī)定，通訊基站離居民居住地至少100m就可不受信號塔輻射的影響．請判斷在點B處的房屋是否受信號塔塔頂A發(fā)出的信號輻射的影響．
（測角儀、房屋的高度忽略不計；結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°＝0.75，sin42°＝0.67，cs42°＝0.74，tan42°≈0.90）
【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)隰縣玉露香的進(jìn)價為x元/箱，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價，再結(jié)合第二次所購數(shù)量恰好是第一次的1.5倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，然后解方程，再檢驗即可解答本題；
（2）根據(jù)題意和圖形，利用銳角三角函數(shù)，可以求得BD的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到AB的長，然后與100比較大小，即可解答本題．
【解答】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)隰縣玉露香的進(jìn)價為x元/箱，
根據(jù)題意可得：×1.5＝，
解得x＝100，
經(jīng)檢驗，x＝100是原方程的解，
答：第一次購進(jìn)的“隰縣玉露香”每箱的價格為100元；
（2）由題意得，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴AD＝BD?tan42°，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴CD＝BD?tan36.9°，
∵AC＝AD﹣CD，AC＝15m，
∴15＝BD?tan42°﹣BD?tan36.9°，
解得BD≈100m，
∴AB＝≈≈135.1（m），
∵135.1＞100，
∴在點B處的房屋不會受信號塔塔頂A發(fā)出的信號輻射的影響．
23．（12分）綜合與實踐﹣﹣圖形變換中的數(shù)學(xué)問題．
問題情境：
如圖1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．將△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，兩個三角形拼成四邊形ABCD．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形．
初步探究：
（2）將△ABC從圖1位置開始繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中點A，C的對應(yīng)點分別是點E，F(xiàn)，連接AE，F(xiàn)C并分別延長，交于點M．試猜想線段AM與FM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
深入探究：
（3）如圖3，連接DE，當(dāng)DE∥CM時，請直接寫出CM的長．
【分析】（1）先證明△ABC是等腰三角形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可證明四邊形ABCD是菱形，進(jìn)而可證明四邊形ABCD是正方形．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△ABC≌△EBF，進(jìn)而可證明△ABE≌△CBF，△ACM≌△FEM，利用全等三角形性質(zhì)可得AM⊥FM且AM＝FM．
（3）取AC的中點G，連接EG，BG，先證明△BAG≌△BEG，利用全等三角形性質(zhì)可證得BG⊥AE，利用面積法建立方程求出AE，再運用勾股定理即可求得CM．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四邊形ABCD是正方形．
（2）由旋轉(zhuǎn)可知，△ABC≌△EBF，
∴AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∠ABE＝∠CBF＝α，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF，
∵AB＝BC，
∴AB＝BE＝BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∵∠BEF＝∠ACB＝45°，∠AEB＝∠BCF，
∴180°﹣（∠AEB+∠BEF）＝180°﹣（∠BCF+∠ACB），
∴∠FEM＝∠ACM，
在△ACM和△FEM中，
，
∴△ACM≌△FEM（AAS），
∴AM＝FM，∠MAC＝∠MFE，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠MAC＝45°﹣∠DAM，∠MCA＝45°+∠MCD，
∴∠DAM＝∠MCD，
∴∠MAC+∠ACM＝45°﹣∠DAM+45°+∠MCD＝90°，
∴∠M＝90°，
∴AM⊥FM，
故答案為：AM⊥FM且AM＝FM．
（3）取AC的中點G，連接EG，BG，
∵DE∥CM，
∴∠DEM＝∠M＝90°，
∵AG＝GE＝，AB＝BE，
在△BAG和△BEG中，
，
∴△BAG≌△BEG（SSS），
∠BEG＝∠BAG＝90°，∠GBA+∠GBE＝，
∵∠EBA＝α，
∴∠EAB＝，
∴∠ABG+∠BAE＝+＝90°，
∴BG⊥AE，
∵AB＝5，AG＝，
∴BG＝，
∴AE?＝×2×5×，
解得：AE＝2，
設(shè)CM＝ME＝x，
在Rt△ACM中，x2+（x+2）2＝（5）2，
∵x＞0，
∴x＝，
故CM＝．
24．（13分）綜合與探究：
如圖，拋物線y＝﹣x2+x+6與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線l經(jīng)過B，C兩點．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．
（2）點D是直線l上方拋物線上一點，其橫坐標(biāo)為m，過點D作直線DE⊥x軸于點E，交直線l于點F．當(dāng)DF＝2EF時，求點D的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點P，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）在y＝﹣x2+x+6中，令y＝0，可求得點A，B的坐標(biāo)，令x＝0，可求得點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先分別表示出EF，DF的長，然后根據(jù)DF＝2EF列方程求解即可；
（3）分情況討論：①當(dāng)點P在y軸正半軸上時，連接AD交y軸于點Q，過點P作PH⊥AD于點H，先求得直線AD的函數(shù)表達(dá)式，再證明△PAH∽△DAE和△PQH∽△AQO，設(shè)QH＝t，則PH＝2t，根據(jù)相似三角形性質(zhì)和勾股定理建立方程求解即可求得點P的坐標(biāo)，②當(dāng)點P在y軸負(fù)半軸上時，利用點P′與點P關(guān)于x軸對稱，即可求得點P′的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+6中，
令y＝0，得：＝﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝12，
∵點A在點B的左側(cè)，
∴A（﹣4，0），B（12，0），
令x＝0，得y＝6，
∴C（0，6），
設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，
∵直線l經(jīng)過點B（12，0）和點C（0，6），
∴，
解得：，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+6．
（2）如圖1，∵DE⊥x軸，垂足為E，點D的橫坐標(biāo)為m，
∴E（m，0），D（m，﹣+m+6），F(xiàn)（m，﹣m+6），
∴EF＝﹣m+6，DF＝﹣+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣+m，
∵DF＝2EF，
∴﹣+m＝2（﹣m+6），
解得：m＝8或m＝12（舍去），
把m＝8代入y＝﹣+m+6，得y＝6，
∴D（8，6）．
（3）存在，點P的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．
①如圖2，當(dāng)點P在y軸正半軸上時，連接AD交y軸于點Q，過點P作PH⊥AD于點H，
則∠PHA＝∠DEA＝90°，
設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝k1x+b1，
∵A（﹣4，0），D（8，6），
∴，
解得：，
∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+2，
∴Q（0，2），
∴OQ＝2，
∵∠PAB＝2∠DAB，
∴∠PAH＝∠DAE，
∴△PAH∽△DAE，
∴＝＝＝，
∵∠PHA＝∠AOQ＝90°，∠PQH＝∠AQO，
∴△PQH∽△AQO，
∴＝＝，
設(shè)QH＝t，則PH＝2t，
根據(jù)勾股定理，得：PQ＝t，
∴＝，
解得：t＝，
∴OP＝2+t＝，
∴點P的坐標(biāo)為（0，）．
②如圖3，當(dāng)點P在y軸負(fù)半軸上時，
由題意知，點P′與點P關(guān)于x軸對稱，則點P′的坐標(biāo)為（0，﹣），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．
成績x/分
頻數(shù)（人數(shù)）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80

80≤x＜90
18
90≤x＜100

成績x/分
頻數(shù)（人數(shù)）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80
15
80≤x＜90
18
90≤x＜100
5
成績x（單位：分）
頻數(shù)（人數(shù)）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80
15
80≤x＜90
18
90≤x＜100
5

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