中央民大附中2019—2020學(xué)年第一學(xué)期9月考試試題卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．函數(shù)的定義域?yàn)椋ā　。?/span>A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．[0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）2．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣3，4），則cosα＝（　　）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（　　）A．y＝x2+2x B．y＝x3 C．y＝lnx D．y＝x24．已知函數(shù)y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，則它的圖象是（　　）A． B． C． D．5．“α“是“cosα“成立的（　?。?/span>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（　　）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）7．已知函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x2＞x1＞1時(shí)，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，設(shè)a＝f（），b＝f（2），c＝f（3），則a、b、c的大小關(guān)系為（　?。?/span>A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c8．一個(gè)國(guó)際象棋棋盤（由8×8個(gè)方格組成），其中有一個(gè)小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）．“L”形骨牌由三個(gè)相鄰的小方格組成，如圖所示．現(xiàn)要將這個(gè)破損的棋盤剪成數(shù)個(gè)“L”形骨牌，則（　　）A．至多能剪成19塊“L”形骨牌 B．至多能剪成20塊“L”形骨牌 C．一定能剪成21塊“L”形骨牌 D．前三個(gè)答案都不對(duì)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.9．已知向量（1，﹣2），（2，m），若⊥，則m＝　   　．10．已知函數(shù)f（x）＝log3（x+a）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），那么a＝　   　．11．sin225°＝　   　．12．能夠說(shuō)明“設(shè)a，b是任意非零實(shí)數(shù)．若，則b＞a”是假命題的一組整數(shù)a，b的值依次為　   　．13．函數(shù)f（x）＝Asin（2x+φ）（A，φ∈R）的部分圖象如圖所示，那么f（0）＝　   　．14．已知函數(shù)f（x）為定義域?yàn)?/span>R，設(shè)Ff（x）．①若f（x），則Ff（1）＝　   　；②若f（x）＝ea﹣|x|﹣1，且對(duì)任意x∈R，Ff（x）＝f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　   　．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15．（13分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[﹣2，2]的最大值和最小值．16．（13分）若集合A＝{x|x2+ax+1＝0，x∈R}，集合B＝{1，2}，且A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．（13分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝3，，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．18．（13分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx﹣cos2x．（Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）≥﹣1．19．已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y＝x+2垂直，求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，試求a的取值范圍；（Ⅲ）記g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．20．若A1，A2，…，Am為集合A＝{1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且滿足兩個(gè)條件：①A1∪A2∪…∪Am＝A；②對(duì)任意的{x，y}?A，至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，m}，使Ai∩{x，y}＝{x}或{y}．則稱集合組A1，A2，…，Am具有性質(zhì)P．如圖，作n行m列數(shù)表，定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為akl．a11a12…a1ma21a22…a2m…………an1an2…anm（Ⅰ）當(dāng)n＝4時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)P，如果是請(qǐng)畫出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由；集合組1：A1＝{1，3}，A2＝{2，3}，A3＝{4}；集合組2：A1＝{2，3，4}，A2＝{2，3}，A3＝{1，4}．（Ⅱ）當(dāng)n＝7時(shí)，若集合組A1，A2，A3具有性質(zhì)P，請(qǐng)先畫出所對(duì)應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫出集合A1，A2，A3；（Ⅲ）當(dāng)n＝100時(shí)，集合組A1，A2，…，At是具有性質(zhì)P且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值．（其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個(gè)數(shù)）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．C2．A3．D4．D網(wǎng)]5．A6．C7．D8．C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.9． 1．10． 1．11． ．12．﹣1，﹣2．13．﹣1．14．，（﹣∞，ln2]．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15．（Ⅰ）f′（x）＝x2+3x+2＝（x+1）（x+2），令f′（x）＞0解得x＜﹣2或x＞﹣1；令f′（x）＜0解得﹣2＜x＜﹣1，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，﹣1）上單調(diào)遞減；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x，f′（x），f（x）的變化情況， x﹣2 （﹣2，﹣1）﹣1 （﹣1，2） 2 f′（x） 0﹣0+  f（x）  減 極小值 增 故函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為，最小值為．16．根據(jù)題意，A?B，分4種情況討論：（1）若A＝?，則△＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；（2）若A＝{1}，則12+a+1＝0，解得a＝﹣2，此時(shí)A＝{1}，適合題意；（3）若A＝{2}，則22+2a+1＝0，解得此時(shí)，不合題意；（4）若A＝{1，2}，即x2+ax+1＝0的兩根為1和2，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣2，2）．17．（本題滿分為13分）解：（Ⅰ）在△ABCD中，因?yàn)?/span>a＝3，，，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，………．（2分）可得c2﹣2c﹣3＝0，………．所以c＝3，或c＝﹣1（舍）．                             …………．（6分）（Ⅱ）因?yàn)椋?/span>所以．所以△ABC的面積．…………．（13分）18．（Ⅰ）∵f（x），∴f（）＝2sin1．證明：（Ⅱ）∵0≤x，∴，當(dāng)2x時(shí)，即x＝0時(shí)，f（x）取得最小值﹣1，∴當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）≥﹣1．19．（Ⅰ）直線y＝x+2的斜率為1，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞），因?yàn)椋?，，所以?/span>a＝1．所以，，． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2）．（Ⅱ）  ，由f'（x）＞0解得 ； 由f'（x）＜0解得 ．所以，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，．因?yàn)閷?duì)于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可． 則． 由解得 ．所以，a的取值范圍是  ．（Ⅲ） 依題得 ，則 ．由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)．又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得 ．   所以，b的取值范圍是．20．（Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì)P．…（1分）所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為：集合組2不具有性質(zhì)P．…因?yàn)榇嬖?/span>{2，3}?{1，2，3，4}，有{2，3}∩A1＝{2，3}，{2，3}∩A2＝{2，3}，{2，3}∩A3＝?，與對(duì)任意的{x，y}?A，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3}，有Ai∩{x，y}＝{x}或{y}矛盾，所以集合組A1＝{2，3，4}，A2＝{2，3}，A3＝{1，4}不具有性質(zhì)P．…（Ⅱ）A1＝{3，4，5，7}，A2＝{2，4，6，7}，A3＝{1，5，6，7}．…（8分）（注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同）（Ⅲ）設(shè)A1，A2，…，At所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表M，因?yàn)榧辖MA1，A2，…，At為具有性質(zhì)P的集合組，所以集合組A1，A2，…，At滿足條件①和②，由條件①：A1∪A2∪…∪At＝A，可得對(duì)任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈Ai，所以axi＝1，即第x行不全為0，所以由條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0．…（9分）由條件②知，對(duì)任意的{x，y}?A，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，t}，使Ai∩{x，y}＝{x}或{y}，所以axi，ayi一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第x行與第y行的第i列的兩個(gè)數(shù)一定不同．所以由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同．…因?yàn)橛?/span>0，1所構(gòu)成的t元有序數(shù)組共有2t個(gè)，去掉全是0的t元有序數(shù)組，共有2t﹣1個(gè)，又因數(shù)表M中任意兩行都不完全相同，所以100≤2t﹣1，所以t≥7．又t＝7時(shí)，由0，1所構(gòu)成的7元有序數(shù)組共有128個(gè)，去掉全是0的數(shù)組，共127個(gè)，選擇其中的100個(gè)數(shù)組構(gòu)造100行7列數(shù)表，則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì)P．所以t＝7．…（ 12分）因?yàn)?/span>|A1|+|A2|+…+|At|等于表格中數(shù)字1的個(gè)數(shù)，所以，要使|A1|+|A2|+…+|At|取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少，而t＝7時(shí)，在數(shù)表M中，1的個(gè)數(shù)為1的行最多7行；1的個(gè)數(shù)為2的行最多C72＝21行；1的個(gè)數(shù)為3的行最多C73＝35行；1的個(gè)數(shù)為4的行最多C74＝35行；因?yàn)樯鲜龉灿?/span>98行，所以還有2行各有5個(gè)1，所以此時(shí)表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2＝304個(gè)1．所以|A1|+|A2|+…+|At|的最小值為304．… 

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