一、選擇題（本大題共12小題）
已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，則
A. B.
C. 2，4，D. 2，3，4，
在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
已知向量，，若，則的最小值為
A. 12B. C. 15D.
已知x，y滿足，的最大值為2，則直線過定點
A. B. C. D.
一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的各個面中，面積小于的面的個數(shù)是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
已知a，，則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
鄭州綠博園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有
A. 168種B. 156種C. 172種D. 180種
已知數(shù)列：，按照k從小到大的順序排列在一起，構(gòu)成一個新的數(shù)列：首次出現(xiàn)時為數(shù)列的
A. 第44項B. 第76項C. 第128項D. 第144項
在長方體中，，，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，的中點，P是底面ABCD內(nèi)一個動點，若直線與平面EFG平行，則面積的最小值為
A. B. 1C. D.
已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調(diào)，同時的圖象向左平移個單位之后與原來的圖象重合，當，，且時，，則
A. B. C. 1D.
如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，過x軸上一定點作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點，與y軸交于點C，記的面積為，的面積為，若，則拋物線的標準方程為
A.
B.
C.
D.
已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有六個不同的實根，則a的取值范圍是
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共4小題）
設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為A、B，點P在雙曲線上且異于A、B兩點，O為坐標原點，若直線PA與PB的斜率之積為，則雙曲線的離心率為______．
已知是定義在R上的偶函數(shù)，且若當時，，則______
已知梯形ABCD，，，，P為三角形BCD內(nèi)一點包括邊界，，則的取值范圍為______．
瑞士著名數(shù)學家歐拉在研究幾何時曾定義歐拉三角形，的三個歐拉點頂點與垂心連線的中點構(gòu)成的三角形稱為的歐拉三角形．如圖，是的歐拉三角形為的垂心已知，，，若在內(nèi)部隨機選取一點，則此點取自陰影部分的概率為______．
三、解答題（本大題共7小題）
數(shù)列的前n項和為，已知，2，3，
Ⅰ證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
Ⅱ求數(shù)列的前n項和．
如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，，，為等邊三角形．
當PB長為多少時，平面平面ABCD？并說明理由；
若二面角大小為，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
已知橢圓C：，C的右焦點，長軸的左、右端點分別為，，且．
Ⅰ求橢圓C的方程；
Ⅱ過焦點F斜率為的直線l交橢圓C于A，B兩點，弦AB的垂直平分線與x軸相交于點試問橢圓C上是否存在點E使得四邊形ADBE為菱形？若存在，試求點E到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由．
第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項，329個小項，共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技．前期為迎接軍運會順利召開，武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解軍運會的相關(guān)知識，并倡議大家做文明公民，武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者，他們得分滿分100分數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：
若此次問卷調(diào)查得分總體服從正態(tài)分布，用樣本估計總體，設(shè)，分別為這200人得分的平均值和標準差同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作為代表，求，的值的值四舍五入取整數(shù)，并計算．
在的條件下，為感謝大家參與這次活動，市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運市民制定如下獎勵方案：得分低于的可以獲得1次抽獎機會，得分不低于的可獲得2次抽獎機會，在一次抽獎中，抽中價值15元的紀念品A的概率為，抽中價值為30元的紀念品B的概率為現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運參與者，記Y為他參加活動獲得紀念品的總價值，求Y的分布列和數(shù)學期望，并估算此次紀念品所需要的總金額．
參考數(shù)據(jù)：；；
已知函數(shù)e為自然對數(shù)的底數(shù)，是的導函數(shù)．
Ⅰ當時，求證；
Ⅱ是否存在正整數(shù)a，使得對一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，說明理由．
在平面直角坐標系xOy中，已知傾斜角為的直線l經(jīng)過點以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．
寫出曲線C的普通方程；
若直線l與曲線C有兩個不同的交點M，N，求的取值范圍．
已知函數(shù)，．
若，求a的取值范圍；
若，對，，都有不等式恒成立，求a的取值范圍．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．
先求出，再得出，由集合運算的定義直接求解．
【解答】
解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，
又2，，則4，，2，，2，4，．
故選C．
2.【答案】D
【解析】解：
所對應的點為，該點位于第四象限
故選：D．
根據(jù)將復數(shù)進行化簡成復數(shù)的標準形式，得到復數(shù)所對應的點，從而得到該點所在的位置．
本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的運算，復數(shù)和復平面內(nèi)的點的對應關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了向量平行和“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)已知條件，，，得出，繼而可得等式，再求解等式即可．
【解答】
解：，，，
，即，
，
當且僅當，即，，時取等號，
的最小值為：．
故選B．
4.【答案】A
【解析】解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示；
由圖可知，C為目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，
聯(lián)立，解得，
所以，即；
所以，
代入，得，
即，
由，解得．
所以直線必過定點．
故選：A．
由約束條件作出可行域，得到目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解；求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得到a，b的關(guān)系；再代入直線由直線系方程得答案．
本題考查了簡單的線性規(guī)劃應用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想與數(shù)學轉(zhuǎn)化方法，是中檔題．
5.【答案】C
【解析】【分析】
畫出幾何體的三視圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，計算求解即可，屬于中等題．
本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．
【解答】
解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：
，，
，
該幾何體的各個面中，面積小于的個數(shù)是3個．
故選：C．
6.【答案】B
【解析】解：函數(shù)的定義域為R，
若函數(shù)為奇函數(shù)，
則，
當時，，若為奇函數(shù)，
則，
即，，
即函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是，
，或，
“”推不出“函數(shù)是奇函數(shù)”，“函數(shù)是奇函數(shù)”“”；
則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的必要不充分條件．
故選：B．
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)得出“函數(shù)是奇函數(shù)”的等價條件，再根據(jù)“”或；由充分必要條件的定義即可得到結(jié)論．
本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)剩下的2個展區(qū)為丙展區(qū)和丁展區(qū)，
用間接法分析：
先計算小李和小王不受限制的排法種數(shù)，
先在6位志愿者中任選1個，安排到甲展區(qū)，有種情況，
再在剩下的5個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有種情況，
最后將剩下的4個志愿者平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個展區(qū)，
有種情況，
則小李和小王不受限制的排法有種，
若小李和小王在一起，則兩人去丙展區(qū)或丁展區(qū)，有2種情況，
在剩下的4位志愿者中任選1個，安排到甲展區(qū)，有種情況，
再在剩下的3個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有種情況，
最后2個安排到剩下的展區(qū)，有1種情況，
則小李和小王在一起的排法有種，
則小李和小王不在一起排法有種；
故選：B．
本題考查排列，組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，是中檔題．
根據(jù)題意，用間接法分析，先求小李和小王不受限制的排法種數(shù)，再減去其中小李和小王在一起的排法種數(shù)即可．
8.【答案】C
【解析】解：觀察數(shù)列可得，該數(shù)列中分子，分母之和為2的有1項，為3的有2項，為4的有3項，，分子，分母之和為16的有15項，
分子，分母之和為17的有16項，排列順序為，，，，，，
其中為分子，分母之和為17的第8項，
故共有項．
故選：C．
觀察數(shù)列可知，此數(shù)列按照分子，分母之和的大小排順序，據(jù)此可以求出的位次．
本題考查數(shù)列的應用，涉及數(shù)列求和公式和分數(shù)知識，屬于中檔題．
9.【答案】A
【解析】解：如圖，
補全截面EFG為截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，設(shè)于點R，
直線平面EFG，
，且當P與R重合時，最短，此時的面積最小，
由等積法：得，又平面ABCD，
，為直角三角形，
故，
故選：A．
找出平面EFG與長方體的截面，然后再找出過與平面EFG平面平行的平面，即可找出P在平面ABCD上的位置．
本題考查了截面，面面平行，等積法等知識點和技巧的運用．
10.【答案】B
【解析】解：由函數(shù)的圖象過點，
，解得，
又，，
；
又的圖象向左平移個單位之后為
，
由兩函數(shù)圖象完全重合知，，；
又，
，；
，其圖象的對稱軸為，；
當，，其對稱軸為，
，
．
故選：B．
由題意求得、的值，寫出函數(shù)的解析式，求圖象的對稱軸，得的值，再求的值．
本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)的應用問題，也考查了運算求解能力，是綜合題．
11.【答案】C
【解析】解：拋物線的焦點，過x軸上一定點作斜率為2的直線l的方程為，
聯(lián)立拋物線方程可得，
設(shè)，，可得，，
設(shè)F到AB的距離為d，
可得，即，
聯(lián)立可得，，．
則拋物線的標準方程為．
故選：C．
求得直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得x的二次方程，運用韋達定理，由三角形的面積公式，結(jié)合兩個三角形同高可得面積之比為底邊之比，聯(lián)立方程組，解方程可得p，進而得到所求拋物線方程．
本題考查拋物線的方程和應用，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及三角形的面積公式，考查化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
12.【答案】C
【解析】解：令，則，
函數(shù)．
由題意可得，函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，
且每個t值有2個x值與之對應，如圖所示：
由于當時，，此時，對應的x值只有一個，不滿足條件，故a的取值范圍是，
故選C．
令，則，由題意可得，函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，且每個t值有2個x值與之對應，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．
本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．
13.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查點差法，關(guān)鍵是設(shè)點代入化簡，應注意雙曲線幾何量之間的關(guān)系，屬于中檔題．
由于A，B連線經(jīng)過坐標原點，所以A，B一定關(guān)于原點對稱，利用直線PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．
【解答】
解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知A，B關(guān)于原點對稱，
設(shè)，，，
則，，
可得，，
，
該雙曲線的離心率．
故答案為：．
14.【答案】216
【解析】【分析】
本題主要考查了利用函數(shù)的周期性求解函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．
由，可知周期，結(jié)合已知函數(shù)代入即可求解．
【解答】
解：，
，即周期，
則，
當時，，
．
，
故答案為：216．
15.【答案】
【解析】解：，
分別以邊AB，AD所在的直線為，軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：
，，，，
，設(shè)，則，
由得，，
，
，設(shè)，則表示斜率為的一族平行直線，在y軸上的截距為a，當截距最大時最大，當截距最小時最小，
由圖可看出，當直線經(jīng)過點時截距最小為1，當直線經(jīng)過點時截距最大為，
的取值范圍為．
故答案為：．
根據(jù)題意可分別以邊AB，AD所在直線為軸，軸，建立平面直角坐標系，從而得出，，，，設(shè)，從而根據(jù)可得出，從而得出，并設(shè)，從而根據(jù)線性規(guī)劃的知識求出直線截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，從而得出的取值范圍．
本題考查了通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，利用線性規(guī)劃的知識求變量最值的方法，數(shù)形結(jié)合的方法，考查了計算能力，屬于中檔題．
16.【答案】
【解析】解：因為，所以，
又因為，，
由余弦定理可得：，
取BC的中點O，則，
以O(shè)為原點，建立如圖所示的直角坐標系，
則，，，設(shè)，
因為，
所以，
所以，從而，
故所求概率為：，
故答案為：．
由三角函數(shù)的余弦定理得：，由兩直線垂直得：，所以，從而，
由幾何概型中的面積型得：，得解．
本題考查了三角函數(shù)的余弦定理及幾何概型中的面積型，屬中檔題．
17.【答案】解：Ⅰ證明：，2，3，，
可得，
可得，
可得，
則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
Ⅱ，
即，
可得前n項和，
，
相減可得，
，
化簡可得．
【解析】Ⅰ運用數(shù)列的遞推式，化簡變形，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；
Ⅱ，即，由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．
本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，考查化簡運算能力，屬于中檔題．
18.【答案】解：當時，平面平面ABCD，
證明如下：在中，
因為，所以，
又，，AD，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面ABCD，
所以平面平面ABCD．
分別取線段AD，BC的中點O，E，連接PO，OE，
因為為等邊三角形，O為AD的中點，所以，
O，E為AD，BC的中點，所以，
又，所以，
故為二面角的平面角，所以，
如圖，分別以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，
因為，，
所以，0，，2，，1，．
可得，，
設(shè)y，為平面PBC的一個法向量，則有，
即，
令，可得，
設(shè)AB與平面PBC所成角為，
則有
所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．
【解析】當時，推導出，，從而平面PAD，由此能證明平面平面ABCD．
分別取線段AD，BC的中點O，E，連接PO，OE，推導出，，由，得，從而為二面角的平面角，進而，
分別以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
本題考查滿足面面垂直的線段長的求法，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
19.【答案】解：Ⅰ依題設(shè)，，
則，．
由，得：，
解得，又，所以．
所以橢圓C的方程為；
Ⅱ橢圓C上存在點E使得四邊形ADBE為菱形．
依題直線l的方程為．
聯(lián)立，
得：．
在橢圓內(nèi)，則恒成立，
設(shè)，，弦AB的中點為，
則，，
所以，，
所以．
則直線MD的方程為，
令，得，則．
若四邊形ADBE為菱形，則，
所以．
，所以．
所以．
若點E在橢圓C上，則．
即
整理得，解得．
所以橢圓C上存在點E使得四邊形ADBE為菱形．
此時點E到y(tǒng)軸的距離為．
【解析】本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，訓練了設(shè)而不求的解題方法，此法的依據(jù)是二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，訓練了學生的計算能力，屬有一定難度題目．
Ⅰ題目給出了橢圓的右焦點坐標，則知道了c的值，再由，列式求出的值，結(jié)合隱含條件求出的值，則橢圓方程可求；
Ⅱ由點斜式寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B中點的坐標，然后寫出MD所在的直線方程，求出D點的坐標，根據(jù)四邊形ADBE是菱形，列式求出E點的坐標，把E點的坐標代入橢圓方程求出的值，則E點到y(tǒng)軸的距離可求．
20.【答案】解：由已知頻數(shù)表得：，
，
由，則，
而，所以，
則，
；
顯然，
所以有Y的取值為15，30，45，60，
，
，
，
，
所以Y的分布列為：
所以，
需要的總金額為．
【解析】根據(jù)頻率分布表計算出平均數(shù)，進而計算方差，從而，根據(jù)原則，計算即可；
列出Y所有可能的取值，分布求出每個取值對應的概率，列出分布列，計算期望，進而可得需要的總金額．
本題考查了利用頻率分布表計算平均數(shù)，方差，考查了正態(tài)分布，考查了離散型隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望，主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計算能力，屬于中檔題．
21.【答案】解：Ⅰ證明：當時，，則，
令，則，
令，得，故在時取得最小值，
0'/>，在上為增函數(shù)，
；
Ⅱ，
由，得對一切恒成立，
當時，可得，所以若存在，則正整數(shù)a的值只能取1，2．
下面證明當時，不等式恒成立，
設(shè)，則，
由Ⅰ，，
當時，；當時， 0'/>，
即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
，
當時，不等式恒成立，
所以a的最大值是2．
【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．
Ⅰ求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷最值；
Ⅱ求出函數(shù)的導數(shù)，得到，問題轉(zhuǎn)化為證明當時，不等式恒成立，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
22.【答案】解：由得，
將，代入上式中，
得曲線C的普通方程為：；
將l的參數(shù)方程為參數(shù)代入C的方程中，
整理得，
因為直線l與曲線C有兩個不同的交點，
所以，化簡得．
又，所以，且，．
設(shè)方程的兩根為，，則，，
所以，，
所以．
由，得，
所以，從而，
即的取值范圍是．
【解析】本題考查直線和圓的極坐標方程、參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，是中檔題．
由得由此能求出曲線C的普通方程
將l的參數(shù)方程為參數(shù)代入C的方程，得由直線l與曲線C有兩個不同的交點，得設(shè)方程的兩根為，，則，，從而，，由此能求出的取值范圍．
23.【答案】解：，
若，則，得，即時恒成立，
若，則，得，即，
若，則，得，即不等式無解，
綜上所述，a的取值范圍是．
由題意知，要使得不等式恒成立，只需，
當時，，
因為，所以當時，，
即，解得，結(jié)合，所以a的取值范圍是．
【解析】利用，通過，，，分別求解即可．
要使得不等式恒成立，只需，通過二次函數(shù)的最值，絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考查函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)以及絕對值不等式的幾何意義，考查分類討論思想的應用．
組別
頻數(shù)
5
30
40
50
45
20
10
Y
15
30
45
60
P




相關(guān)試卷

2023屆河南省鄭州市高三三模數(shù)學（理）試題含解析：

這是一份2023屆河南省鄭州市高三三模數(shù)學（理）試題含解析，共23頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023屆河南省新未來高三5月聯(lián)考數(shù)學（理）試題含解析：

這是一份2023屆河南省新未來高三5月聯(lián)考數(shù)學（理）試題含解析，共18頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量預測數(shù)學（理）試題含解析：

這是一份2023屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量預測數(shù)學（理）試題含解析，共18頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預測數(shù)學（理）試題含解析

2023屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預測數(shù)學（理）試題含解析
2023屆河南省高三3月聯(lián)考數(shù)學（理）試題含解析

2023屆河南省高三3月聯(lián)考數(shù)學（理）試題含解析
河南省鄭州市第一中學2020屆高三上學期期中考試數(shù)學（理）試題 Word版含解析

河南省鄭州市第一中學2020屆高三上學期期中考試數(shù)學（理）試題 Word版含解析
河南省鄭州市2020屆高三上學期第一次質(zhì)量預測數(shù)學（理）試題 Word版含答案

河南省鄭州市2020屆高三上學期第一次質(zhì)量預測數(shù)學（理）試題 Word版含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部