2023屆河南省新未來高三5月聯(lián)考數(shù)學（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得集合，解絕對值不等式得集合，然后根據(jù)交集定義計算．【詳解】∵，，∴．故選：C．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算和模長運算可得答案.【詳解】依題意，，∴．故選：A．3．已知向量，滿足，，，則（    ）A． B． C．12 D．24【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解．【詳解】由，所以．故選：C．4．一個球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個半徑為R的球體被平面所截獲得兩個球缺，其高之比為，則表面積（包括底面）之比（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑，從而求出表面積，可解此題.【詳解】∵，，∴，，∴．故選：B5．設(shè)F為拋物線的焦點，點P在拋物線上，點Q在準線l上，滿足軸．若，則（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意和拋物線的性質(zhì)可得到為等邊三角形，進而即可求得的值．【詳解】依題意有，則為等邊三角形，又軸，所以．故選：A．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出a的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的程序框圖，依次各次循環(huán)的值，確定退出循環(huán)時值表達式，再利用二倍角的正弦公式計算作答.【詳解】第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，，…，第6次循環(huán)：，，所以.故選：A7．已知，，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡得到，，，即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，可得，，，所以．故選：D．8．已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則（    ）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【分析】由遞推式得出，兩式相減根據(jù)，可得是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，進而利用通項公式求解即可.【詳解】由題意，，，兩式相減，得，．，．當時，，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．．故選：B9．已知函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有一條對稱軸，則的最小值為（    ）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】由，則，再根據(jù)題意得到，從而求得的范圍，進而得到的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】由，又，則，因為函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有一條對稱軸，所以，解得，則，所以，故則的最小值為．故選：B．10．隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和除以，余數(shù)分別為，，，，所對應(yīng)的概率分別為，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由古典概型概率公式求解即可.【詳解】由題設(shè)，兩枚骰子所得點數(shù)之和除以4的余數(shù)情況如下：余數(shù)123456123012323012303012301412301252301236301230從表中余數(shù)情況可知，共36個基本事件，其中余數(shù)為，，，，分別有個，個，個，個基本事件，∴，，，，∴．故選：B．11．已知斜率為的直線l經(jīng)過雙曲線的右焦點F，交雙曲線C的右支于A，B兩點，且，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線，得到兩根之和，兩根之積，由得到，結(jié)合兩根之和，兩根之積，列出方程，求出離心率.【詳解】設(shè)，，直線l的方程為，其中，聯(lián)立得．∴，，由，得，即，∴，即，∴，整理得，∴離心率．故選：C．12．若，恒成立，則a的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】原不等式等價于，當，可得，當時構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得，即可得在上恒成立，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，即可求解.【詳解】依題意，．因為，所以，若，顯然成立，此時滿足；若，令，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，而，∴．綜上，在上恒成立，∴．令，，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以，即．所以a的最小值為.故選：B．【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③分類討論參數(shù). 二、填空題13．二項式的展開式中含的系數(shù)為________．【答案】10【分析】先求二項式的展開式的通項公式，再令的次數(shù)為5即可求解.【詳解】展開式通項公式為，令，得，展開式中含的系數(shù)為．故答案為：10.14．定義在上的函數(shù)滿足，則______．【答案】1012【分析】先根據(jù)題意可得到，從而可得到函數(shù)的周期性，再通過賦值和得到和，進而即可求解．【詳解】由，則，所以，即，所以是以4為周期的周期函數(shù)．令，得，所以，令，則，所以，所以．故答案為：1012．15．已知P為正方體表面上的動點，若，，則當DP取最小值時，三棱錐的體積為______．【答案】/【分析】由已知得，得點P的軌跡是以為直徑的球面與正方體表面的交線，為兩段圓弧，根據(jù)圓的性質(zhì)，取AB中點O，連接DO，當DP取最小值時，P為線段DO與半圓弧的交點，由此計算三棱錐體積即得．【詳解】∵，∴,∴點P的軌跡點P的軌跡是以為直徑的球面與正方體表面的交線，是以AB為直徑的兩段半圓弧．取AB中點O，連接DO，當DP取最小值時，P為線段DO與半圓弧的交點．，，，．故答案為：．16．如圖，在等腰中，，，點D在所在的平面內(nèi)，且．當取得最小值時，______．【答案】【分析】設(shè)，當點D在內(nèi)時，取得最小值，由余弦定理可得，再由利用兩角差的正弦展開式化簡得，設(shè)，，則轉(zhuǎn)化為方程一定有解可得答案．【詳解】設(shè)，顯然，當點D在內(nèi)時，取得最小值，此時，設(shè)，，則方程一定有解，則，即，∴，當取最小值時，．故答案為：． 三、解答題17．已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用遞推式得出是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出，進而求解即可.（2）利用錯位相減法求解數(shù)列前項和即可.【詳解】（1）由，得，又，是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，，，即數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，，則，①得，②①－②得，故．18．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面ABC，且為等邊三角形，，，D為PA的中點．(1)求證：；(2)求直線BD與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取AC中點E，連接DE，BE，得，由面面垂直性質(zhì)得線面垂直，從而得線線垂直，再由平行線性質(zhì)得，從而得證線面垂直后證得題設(shè)結(jié)論線線垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法求線面角．【詳解】（1）證明：如圖，取AC中點E，連接DE，BE，∵為等邊三角形，∴，又側(cè)面底面ABC，底面ABC，側(cè)面底面，∴平面PAC．∵平面PAC，∴，又D，E分別為PA，AC中點，∴，又，∴，∵，DE，平面BDE，∴平面BDE，又平面BDE，∴；（2）以E為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)等邊的邊長為4，∴，，，，，∴，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，則可取，∴，∴直線BD與平面PBC所成角的正弦值為．19．清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等，是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng)．某社區(qū)進行流動人口統(tǒng)計，得知近5年回老家2次及以上的人數(shù)占比約為90%，現(xiàn)在隨機抽取了100人，了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列聯(lián)表： 回老家不回老家總計50周歲及以下 55 50周歲以上15 40總計  100(1)根據(jù)統(tǒng)計完成以上列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，是否有把握認為回老家祭祖與年齡有關(guān)？(2)從社區(qū)流動人口中隨機抽取3人，設(shè)其中近5年回老家2次及以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)列聯(lián)表見解析；有把握認為是否回老家祭祖與年齡有關(guān)(2)分布列見解析； 【分析】（1）由題意補全列聯(lián)表，計算與臨界值比較即可得解；（2）由題意可得，根據(jù)二項分布得出概率分布列，求期望.【詳解】（1）補全表格如下： 回老家不回老家總計50周歲及以下5556050周歲以上152540總計2080100，∴有把握認為是否回老家祭祖與年齡有關(guān)；（2）由題意，一個居民近5年回老家2次及以上的概率為，由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，且，則，，，．∴X的分布列為：X0123P0.0010.0270.2430.729數(shù)學期望．20．已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點A，B，試問：的內(nèi)心是否在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)的內(nèi)心在定直線上 【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于，的方程組，再求解即可得到橢圓C的標準方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓C的標準方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)韋達定理證明，進而即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標準方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，消整理得，則，，所以，所以，所以，又，所以恒成立，則的平分線總垂直于x軸，所以的內(nèi)心在定直線上．【點睛】關(guān)鍵點點睛：在解答小問（2）時，關(guān)鍵在于利用韋達定理得到，進而得到的內(nèi)心在定直線上．21．已知函數(shù)，，．(1)若，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)與的圖象有且只有一條公共切線，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)區(qū)間和最值，使恒成立求解即可；（2）分別設(shè)與的圖象的切線，使兩條切線斜率和截距相等，并只有一組解即可.【詳解】（1）若，則，設(shè)，，則，令，解得，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴當，取得極大值，∴當時，，即，∴若在上恒成立，則.∴實數(shù)的取值范圍是.（2）∵，，，∴，，設(shè)與上各有一點，，∴在點處的切線方程為，即，在點處的切線方程為，即，若函數(shù)與的圖象有且只有一條公共切線，則方程組有唯一解，消去，整理得，（）令，，（），則有唯一零點，∴，（），令，解得，∴當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當時，取極小值，∵有唯一零點，∴，令，（），則，∴當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴當時，取極大值，且是的唯一零點，即有唯一實數(shù)根，∴當時，函數(shù)與的圖象有且只有一條公共切線．【點睛】方法點睛：兩個函數(shù)圖象的公切線問題，一般先設(shè)切點分別求出兩條切線，再使兩條切線的斜率和截距相等得到方程組，轉(zhuǎn)化為方程組有解問題，再通過消元、構(gòu)造函數(shù)的方法解決.22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；(2)設(shè)直線與曲線，分別交于A，B兩點（異于極點），求線段AB的長度．【答案】(1)曲線；曲線(2) 【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，進而化為極坐標方程即可；（2）直線過原點，所以化為極坐標方程后與曲線，的極坐標方程聯(lián)立，利用的幾何意義求解即可.【詳解】（1）曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)得，將代入，得曲線的極坐標方程為，由得，∴，∴曲線的直角坐標方程為；（2）易知直線l的極坐標方程為，代入曲線，的極坐標方程得，，∴．23．已知，函數(shù)的最小值為2，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)絕對值的三角不等式，得到的最小值為，進而化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）得到，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）證明：由于，則，當且僅當取等號，故的最小值為，所以，當且僅當，時取等號.（2）解：由（1）知，所以，所以，當且僅當，即時取等號． 

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