直線與方程是平面解析幾何初步的第一章,用坐標(biāo)法研究平面上最簡單的圖形——直線.
本章首先在平面直角坐標(biāo)系中,介紹直線的傾斜角、斜率等概念;然后建立直線的方程:點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等;通過直線的方程,研究直線間的位置關(guān)系:平行和垂直,以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離公式等.
解析幾何研究問題的主要方法是坐標(biāo)法,它是解析幾何中最基本的研究方法.坐標(biāo)法的基本特點(diǎn)是,首先用代數(shù)語言(坐標(biāo)及其方程)描述幾何元素及其關(guān)系,將幾何問題代數(shù)化;解決代數(shù)問題,得到結(jié)果;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義,最終解決幾何問題.
本章自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想.在圖形的研究過程中,注意代數(shù)方法的使用;在代數(shù)方法的使用過程中,加強(qiáng)與圖形的聯(lián)系.
直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好知識上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎(chǔ).只有學(xué)好本章才能為第四章的圓與方程做好準(zhǔn)備和鋪墊.教學(xué)中一定要注重由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律，多采用變式教學(xué)，同時滲透常用的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、推廣、特殊化、化歸等）,體現(xiàn)由特殊到一般的研究方法，化難為易、化抽象為具體，深入淺出的引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽質(zhì)疑、積極思考、合作探究、激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，教師合理誘導(dǎo)并且及時鼓勵，使同學(xué)們能愉快的、輕松的學(xué)習(xí)，并且提高他們應(yīng)用所學(xué)知識解決問題（尤其是實際問題）的能力，真正體現(xiàn)出“在用中學(xué)，在學(xué)中用，為用而學(xué)，學(xué)而能用”，這一點(diǎn)也正符合新課標(biāo)的要求和精神.
本章教學(xué)時間約9課時，具體分配如下（僅供參考）：
§3.1 直線的傾斜角與斜率
§3.1.1 傾斜角與斜率
一、教材分析
直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好知識上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎(chǔ).事實上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這兩個基本概念，學(xué)生才能對直線及其位置進(jìn)行定量的研究.對直線的傾斜角和斜率，必須要求學(xué)生理解它們的準(zhǔn)確涵義和作用，掌握它們的導(dǎo)出，并在運(yùn)用上形成相應(yīng)的技能和熟練的技巧.
本小節(jié)從一個具體的一次函數(shù)與它的圖象入手，引入直線的傾斜角概念，注重了由淺及深的學(xué)習(xí)規(guī)律，并體現(xiàn)了由特殊到一般的研究方法.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到之所以引入直線在平面直角坐標(biāo)系中的傾斜角和斜率概念，是進(jìn)一步研究直線方程的需要.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
（1）正確理解直線的傾斜角和斜率的概念.
（2）理解直線傾斜角的唯一性.
（3）理解直線斜率的存在性.
（4）斜率公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
2．過程與方法
引導(dǎo)幫助學(xué)生將直線的位置問題（幾何問題）轉(zhuǎn)化為傾斜角問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為傾斜角的正切即斜率問題（代數(shù)問題）進(jìn)行解決，使學(xué)生不斷體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.
3．情感、態(tài)度與價值觀
（1）通過直線傾斜角的概念的引入學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力.
（2）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):直線的傾斜角和斜率概念以及過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
教學(xué)難點(diǎn):斜率公式的推導(dǎo).
四、課時安排
1課時
五、教學(xué)設(shè)計
（一）導(dǎo)入新課
思路1.如圖1所示，在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P的一條直線繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不管旋轉(zhuǎn)多少周，它對x軸的相對位置有幾種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率.
圖1
思路2.我們知道,經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有(確定)一條直線.那么,經(jīng)過一點(diǎn)P的直線l的位置能確定嗎?這些直線有什么聯(lián)系和區(qū)別呢?教師引入課題：傾斜角與斜率.
（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題
①怎樣描述直線的傾斜程度呢？
②圖2中標(biāo)出的直線的傾斜角α對不對？如果不對，違背了定義中的哪一條？
圖2
③直線的傾斜角能不能是0°？能不能是銳角？能不能是直角？能不能是鈍角？能不能是平角？能否大于平角？
④日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量？
⑤正切函數(shù)的定義域是什么？
⑥任何直線都有斜率么？
⑦我們知道兩點(diǎn)確定一條直線，那么已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何才能求出它的傾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，則直線AB的斜率是多少?
活動:①與交角有關(guān).當(dāng)直線l與x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.
可見：平面上的任一直線都有唯一的一個傾斜角，并且傾斜角定了，直線的方向也就定了.
②考慮正方向.
③動手在坐標(biāo)系中作多條直線，可知傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.在此范圍內(nèi)，坐標(biāo)平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個傾斜角都能確定一條直線的方向.傾斜角直觀地表示了直線對x軸正方向的傾斜程度.
規(guī)定：當(dāng)直線和x軸平行或重合時，直線傾斜角為0°，所以傾斜角的范圍是0°≤α＜180°.
④聯(lián)想小時候玩的滑梯，結(jié)合坡度比給出斜率定義，直線斜率的概念.
傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tanα.
⑤教師介紹正切函數(shù)的相關(guān)知識.
⑥說明：直線與斜率之間的對應(yīng)不是映射，因為垂直于x軸的直線沒有斜率.
（傾斜角是90°的直線沒有斜率）
⑦已知直線l上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直線l與x軸不垂直，如何求直線l的斜率？教學(xué)時可與教材上的方法一樣推出.
討論結(jié)果:①用傾斜角.
②都不對.與定義中的x軸正方向、直線向上方向相違背.
③直線的傾斜角能是0°，能是銳角，能是直角，能是鈍角，不能是平角，不能大于平角.
④有，常用的有坡度比.
⑤90°的正切值不存在.
⑥傾斜角是90°的直線沒有斜率.
⑦過兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線的斜率公式k=.
（三）應(yīng)用示例
思路1
例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.
活動:引導(dǎo)學(xué)生明確已知兩點(diǎn)坐標(biāo),由斜率公式代入即可求得k的值;
而當(dāng)k=tanα＜0時,傾斜角α是鈍角;
而當(dāng)k=tanα＞0時,傾斜角α是銳角;
而當(dāng)k=tanα=0時,傾斜角α是0°.
解:直線AB的斜率k1=＞0,所以它的傾斜角α是銳角;
直線BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的傾斜角α是鈍角;
直線CA的斜率k3=1＞0,所以它的傾斜角α是銳角.
變式訓(xùn)練
已知A(1,3),B(0,2),求直線AB的斜率及傾斜角.
解:kAB=,
∵直線傾斜角的取值范圍是0°—180°,
∴直線AB的傾斜角為60°.
例2 在平面直角坐標(biāo)系中,畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為1,-1,2及-3的直線a,b,c,l.
活動:要畫出經(jīng)過原點(diǎn)的直線a,只要再找出a上的另外一點(diǎn)M.而M的坐標(biāo)可以根據(jù)直線a的斜率確定.
解:設(shè)直線a上的另外一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)斜率公式有：1=,所以x=y.
可令x=1,則y=1,于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1).此時過原點(diǎn)和點(diǎn)M(1,1),可作直線a.
同理,可作直線b,c,l.
變式訓(xùn)練
1.已知直線的傾斜角，求直線的斜率：
(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.
活動:指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義直接求解.
解：(1)∵tan0°=0，
∴傾斜角為0°的直線斜率為0.
(2)∵tan60°=，∴傾斜角為60°的直線斜率為.
(3)∵tan90°不存在，∴傾斜角為90°的直線斜率不存在.
點(diǎn)評：通過此題訓(xùn)練，意在使學(xué)生熟悉特殊角的斜率.
2.關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的( )
A.任一條直線都有傾斜角，也都有斜率
B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大
C.平行于x軸的直線的傾斜角是0或π；兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等
D.直線斜率的范圍是(－∞，＋∞)
答案：D
思路2
例1 求經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(-5,3)的直線的斜率和傾斜角.
解：kAB==1，即tanα=-1，
又∵0°≤α＜180°，
∴α=135°.
∴該直線的斜率是-1，傾斜角是135°.
點(diǎn)評：此題要求學(xué)生會通過斜率公式求斜率，并根據(jù)斜率求直線的傾斜角.
變式訓(xùn)練
求過下列兩點(diǎn)的直線的斜率k及傾斜角α.
（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；
（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).
解：（1）∵P1P2與x軸垂直，∴直線斜率不存在，傾斜角α=90°.
（2）k=tanα==0，∴直線斜率為0，傾斜角α=0°.
例2 已知三點(diǎn)A、B、C，且直線AB、AC的斜率相同，求證:這三點(diǎn)在同一條直線上.
證明：由直線的斜率相同，可知直線AB的傾斜角與AC的傾斜角相等，而兩直線過公共點(diǎn)A，
所以直線AB與AC重合，因此A、B、C三點(diǎn)共線.
點(diǎn)評：此題反映了斜率公式的應(yīng)用，即若有共同點(diǎn)的兩直線斜率相同，則可以判斷三點(diǎn)共線.
變式訓(xùn)練
1.若三點(diǎn)A(2,3)，B(3,2)，C(,m)共線，求實數(shù)m的值.
解：kAB==-1，kAC=，
∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB=kAC.∴=-1.∴m=.
2.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共線，則+的值等于_____________.
答案：
例3 已知三角形的頂點(diǎn)A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中點(diǎn)為D，當(dāng)AD斜率為1時，求m的值及|AD|的長.
分析：應(yīng)用斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式.
解：D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,)，
∴kAD==1.∴m=7.∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).
∴|AD|=.
變式訓(xùn)練
過點(diǎn)P(－1，－1)的直線l與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若P恰為線段A的中心，求直線l的斜率和傾斜角.
答案：k=-1,傾斜角為.
（四）知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1、２、３、４.
（五）拓展提升
已知點(diǎn)A(-2,3)，B(3,2)，過點(diǎn)P(0,-2)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.
分析：利用數(shù)形結(jié)合同時注意直線斜率不存在的特殊情形.
答案：(-∞,)∪(-,+∞).
（六）課堂小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：
（1）掌握已知直線的傾斜角求斜率;
（2）直線傾斜角的概念及直線傾斜角的范圍；
（3）直線斜率的概念；
（4）已知直線的傾斜角（或斜率），求直線的斜率（或傾斜角）的方法.
（七）作業(yè)
習(xí)題3.1 A組3、4、5.
§3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定
一、教材分析
直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關(guān)系，它們的判定，又都是由相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系來確定的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學(xué)時采用對比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯(lián)系與區(qū)別.值得注意的是，當(dāng)兩條直線中有一條不存在斜率時，容易得到兩條直線垂直的充要條件，這也值得略加說明.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直.
2．過程與方法
通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用正確知識解決新問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合能力.
3．情感、態(tài)度與價值觀
通過對兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識，合作交流的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):掌握兩條直線平行、垂直的充要條件，并會判斷兩條直線是否平行、垂直.
教學(xué)難點(diǎn):是斜率不存在時兩直線垂直情況的討論（公式適用的前提條件）.
四、課時安排
1課時
五、教學(xué)設(shè)計
（一）導(dǎo)入新課
思路1.設(shè)問（1)平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種？(2)兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么條件？根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系,能否利用斜率來判定兩條直線平行呢?
思路2.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的是什么知識？想一想傾斜角具備什么條件時兩條直線會平行、垂直呢?你認(rèn)為能否用斜率來判斷.這節(jié)課我們就來專門來研究這個問題.
（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題
①平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有幾種？
②兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？
③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么條件？
④兩條直線的斜率相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？
⑤l1∥l2時，k1與k2滿足什么關(guān)系？
⑥l1⊥l2時，k1與k2滿足什么關(guān)系？
活動:①教師引導(dǎo)得出平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②數(shù)形結(jié)合容易得出結(jié)論.
③注意到傾斜角是90°的直線沒有斜率,即tan90°不存在.
④注意到傾斜角是90°的直線沒有斜率.
⑤必要性：如果l1∥l2，如圖1所示，它們的傾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.
圖1
充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,
∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.
⑥學(xué)生討論，采取類比方法得出兩條直線垂直的充要條件.
討論結(jié)果：①平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線平行，反過來成立.
③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要條件.
④兩條直線的斜率相等，這兩條直線平行，反過來成立.
⑤l1∥l2k1=k2.
⑥l1⊥l2k1k2=-1.
（三）應(yīng)用示例
例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判斷直線BA與PＱ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
解:直線BA的斜率kBA==0.5,
直線PQ的斜率kPQ==0.5,
因為kBA=kPQ.所以直線BA∥PQ.
變式訓(xùn)練
若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三點(diǎn)共線，則m的值為( )
A. B.- C.-2 D.2
分析：kAB=kBC,,m=.
答案：A
例2 已知四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.
解：AB邊所在直線的斜率kAB=-,
CD邊所在直線的斜率kCD=-,
BC邊所在直線的斜率kBC=,
DA邊所在直線的斜率kDA=.
因為kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA.
因此四邊形ABCD是平行四邊形.
變式訓(xùn)練
直線l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它們的傾斜角及斜率依次分別為α1，α2，k1，k2.
（1）a=_____________時，α1=150°；
（2）a=_____________時，l2⊥x軸；
（3）a=_____________時，l1∥l2；
（4）a=_____________時，l1、l2重合；
（5）a=_____________時，l1⊥l2.
答案：（1） （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5
（四）知能訓(xùn)練
習(xí)題3.1 A組6、7.
（五）拓展提升
問題：已知P（－3，2），Q（3，4）及直線ax+y+3=0.若此直線分別與PQ的延長線、QP的延長線相交，試分別求出a的取值范圍.（圖2）
圖2
解：直線l：ax+y+3=0是過定點(diǎn)A（0，-3）的直線系，斜率為參變數(shù)-a，易知PQ、AQ、AP、l的斜率分別為：kPQ=，kAQ=，kAP=，k1=-a.
若l與PQ延長線相交，由圖,可知kPQ＜k1＜kAQ，解得-＜a＜-；
若l與PQ相交，則k1＞kAQ或k1＜kAP，解得a＜-或a＞；
若l與QP的延長線相交，則kPQ＞k1＞kAP，解得-＜a＜.
（六）課堂小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：
1.掌握兩條直線平行的充要條件，并會判斷兩條直線是否平行.
2.掌握兩條直線垂直的充要條件，并會判斷兩條直線是否垂直.
3.注意解析幾何思想方法的滲透，同時注意思考要嚴(yán)密，表述要規(guī)范，培養(yǎng)學(xué)生探索、概括能力.
4.認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.
（七）作業(yè)
習(xí)題3.1 A組4、5.
3.1.1
傾斜角與斜率
約1課時
3.1.2
兩直線平行與垂直的判定
約1課時
3.2.1
直線的點(diǎn)斜式方程
約1課時
3.2.2
直線的兩點(diǎn)式方程
約1課時
3.2.3
直線的一般式方程
約1課時
3.3.1
兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
約1課時
3.3.2
兩點(diǎn)間的距離
約1課時
3.3.3及3.3.4
點(diǎn)到直線的距離及兩條平行線間的距離
約1課時
本章復(fù)習(xí)
約1課時

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人教版新課標(biāo)A必修23.2 直線的方程教學(xué)設(shè)計

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人教版新課標(biāo)A4.1 圓的方程教案及反思

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

3.1 直線的傾斜角與斜率

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級： 必修2

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