一、教材分析
直線方程的點(diǎn)斜式給出了根據(jù)已知一個(gè)點(diǎn)和斜率求直線方程的方法和途徑.在求直線的方程中，直線方程的點(diǎn)斜式是基本的，直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式都是由點(diǎn)斜式推出的.從一次函數(shù)y=kx＋b(k≠0)引入，自然地過渡到本節(jié)課想要解決的問題——求直線的方程問題.在引入過程中，要讓學(xué)生弄清直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手.
在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）理解直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍；
（2）能正確利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式公式求直線方程；
（3）體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系.
2．過程與方法
在已知直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素——直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角的基礎(chǔ)上，通過師生探討，得出直線的點(diǎn)斜式方程，學(xué)生通過對比理解“截距”與“距離”的區(qū)別.
3．情態(tài)與價(jià)值觀
通過讓學(xué)生體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會(huì)利用探討出的條件求出直線的方程.
教學(xué)難點(diǎn):在理解的基礎(chǔ)上掌握直線方程的點(diǎn)斜式的特征及適用范圍.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教學(xué)設(shè)計(jì)
（一）導(dǎo)入新課
思路1.方程y=kx＋b與直線l之間存在著什么樣的關(guān)系？
讓學(xué)生邊回答，教師邊適當(dāng)板書.它們之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系,即
（1）直線l上任意一點(diǎn)P(x1,y1)的坐標(biāo)是方程y=kx＋b的解.
（2）(x1,y1)是方程y=kx+b的解點(diǎn)P(x1,y1)在直線l上.
這樣好像直線能用方程表示,這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)、研究這個(gè)問題——直線的方程(宣布課題).
思路2.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，并接觸過一次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在，請同學(xué)們作一下回顧：
一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它是以滿足y=kx+b的每一對x、y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.由于函數(shù)式y(tǒng)=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我們可以說，這個(gè)方程的解和直線上的點(diǎn)也存在這樣的對應(yīng)關(guān)系.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)直線的方程(宣布課題).
（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題
①如果把直線當(dāng)做結(jié)論，那么確定一條直線需要幾個(gè)條件？如何根據(jù)所給條件求出直線的方程？
②已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點(diǎn)P1(x1,y1)，如何求直線l的方程?
③方程導(dǎo)出的條件是什么？
④若直線的斜率k不存在，則直線方程怎樣表示？
⑤k=與y-y1=k(x-x1)表示同一直線嗎？
⑥已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點(diǎn)（０，ｂ），如何求直線l的方程？
討論結(jié)果:①確定一條直線需要兩個(gè)條件:
a.確定一條直線只需知道k、b即可；
b.確定一條直線只需知道直線l上兩個(gè)不同的已知點(diǎn).
②設(shè)P(x，y)為l上任意一點(diǎn)，由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,得k=,化簡,得y－y1=k(x－x1).
③方程導(dǎo)出的條件是直線l的斜率k存在.
④a.x=0；b.x=x1.
⑤啟發(fā)學(xué)生回答:方程k=表示的直線l缺少一個(gè)點(diǎn)P1(x1,y1),而方程y－y1=k(x－x1)表示的直線l才是整條直線.
⑥y=kx+b.
（三）應(yīng)用示例
思路1
例1 一條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(-2,3),傾斜角α=45°,求這條直線方程,并畫出圖形.
圖1
解:這條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入點(diǎn)斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,
這就是所求的直線方程,圖形如圖1所示.
點(diǎn)評(píng):此例是點(diǎn)斜式方程的直接運(yùn)用,要求學(xué)生熟練掌握,并具備一定的作圖能力.
變式訓(xùn)練
求直線y=-(x-2)繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°所得的直線方程.
解：設(shè)直線y=-(x-2)的傾斜角為α，則tanα=-，
又∵α∈［0°,180°)，
∴α=120°.
∴所求的直線的傾斜角為120°-30°=90°.∴直線方程為x=2.
例2 如果設(shè)兩條直線l1和l2的方程分別是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，試討論:
（1）當(dāng)l1∥l2時(shí)，兩條直線在y軸上的截距明顯不同，但哪些量是相等的？為什么？
（2）l1⊥l2的條件是什么？
活動(dòng):學(xué)生思考：如果α1=α2，則tanα1=tanα2一定成立嗎？何時(shí)不成立？由此可知：如果l1∥l2，當(dāng)其中一條直線的斜率不存在時(shí)，則另一條直線的斜率必定不存在.反之，問：如果b1≠b2且k1=k2，則l1與l2的位置關(guān)系是怎樣的？由學(xué)生回答，重點(diǎn)說明α1=α2得出tanα1=tanα2的依據(jù).
解:（1）當(dāng)直線l1與l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2時(shí)，直線l1∥l2k1=k2且b1≠b2.
(2)l1⊥l2k1k2=-1.
變式訓(xùn)練
判斷下列直線的位置關(guān)系:
(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;
(2)l1:y=x,l2:y=-x.
答案：(1)平行；(2)垂直.
思路2
例1 已知直線l1：y=4x和點(diǎn)P(6，4)，過點(diǎn)P引一直線l與l1交于點(diǎn)Q，與x軸正半軸交于點(diǎn)R，當(dāng)△OQR的面積最小時(shí)，求直線l的方程.
活動(dòng):因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)P(6，4)，所以只要求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，就能由直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線l的方程.
解：因?yàn)檫^點(diǎn)P(6，4)的直線方程為x=6和y－4=k(x－6),
當(dāng)l的方程為x=6時(shí)，△OQR的面積為S=72；
當(dāng)l的方程為y－4=k(x－6)時(shí)，有R(,0)，Q（,)，
此時(shí)△OQR的面積為S=××=.
變形為(S－72)k2＋(96－4S)k－32=0(S≠72).
因?yàn)樯鲜龇匠谈呐袆e式Δ≥0，所以得S≥40.
當(dāng)且僅當(dāng)k=－1時(shí)，S有最小值40.
因此，直線l的方程為y－4=－(x－6)，即x＋y－10=0.
點(diǎn)評(píng)：本例是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.怎樣求這個(gè)面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo).
變式訓(xùn)練
如圖2，要在土地ABCDE上劃出一塊長方形地面（不改變方向），問如何設(shè)計(jì)才能使占地面積最大？并求出最大面積（精確到1 m2）（單位：m）.
圖2
解：建立如圖直角坐標(biāo)系，在線段AB上任取一點(diǎn)P分別向CD、DE作垂線，劃得一矩形土地.
∵AB方程為=1,則設(shè)P(x,20-)(0≤x≤30),
則S矩形=(100-x)［80-(20-)］
=-(x-5)2+6 000+(0≤x≤30),
當(dāng)x=5時(shí)，y=，即P（5，）時(shí)，(S矩形)max=6 017(m2).
例2 設(shè)△ABC的頂點(diǎn)A(1，3)，邊AB、AC上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1=0，y=1，求△ABC中AB、AC各邊所在直線的方程.
活動(dòng):為了搞清△ABC中各有關(guān)元素的位置狀況，我們首先根據(jù)已知條件，畫出簡圖3,幫助思考問題.
解:如圖3,設(shè)AC的中點(diǎn)為F，AC邊上的中線BF：y=1.
圖3
AB邊的中點(diǎn)為E，AB邊上中線
CE：x－2y＋1=0.
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n),則F().
又F在AC中線上,則=1,
∴n=-1.
又C點(diǎn)在中線CE上，應(yīng)當(dāng)滿足CE的方程，則m－2n＋1=0.
∴m=－3.∴C點(diǎn)為(－3，－1).
設(shè)B點(diǎn)為(a,1),則AB中點(diǎn)E(),即E(,2).
又E在AB中線上,則-4+1=0.∴a=5.
∴B點(diǎn)為(5，1).
由兩點(diǎn)式,得到AB，AC所在直線的方程AC：x－y＋2=0,AB：x＋2y－7=0.
點(diǎn)評(píng)：此題思路較為復(fù)雜，應(yīng)使同學(xué)們做完后從中領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：
(1)中點(diǎn)分式要靈活應(yīng)用；
(2)如果一個(gè)點(diǎn)在直線上，則這點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這條直線的方程，這一觀念必須牢牢地樹立起來.
變式訓(xùn)練
已知點(diǎn)M（1，0），N（－1，0）,點(diǎn)P為直線2x-y-1=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|2+|PN|2的最小值為何？
解：∵P點(diǎn)在直線2x-y-1=0上,∴設(shè)P（x0,2x0-1）.
∴|PM|2+|PN|2=10(x0-)2+≥.
∴最小值為.
（四）知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1、２、３、４.
（五）拓展提升
已知直線y=kx＋k＋2與以A(0，－3)、B(3，0)為端點(diǎn)的線段相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
圖4
活動(dòng):此題要首先畫出圖形4，幫助我們找尋思路，仔細(xì)研究直線y=kx＋k＋2，我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥－2=k(x＋1)，這就可以看出，這是過(－1，2)點(diǎn)的一組直線.設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為P(－1，2).
解：我們設(shè)PA的傾斜角為α1，PC的傾斜角為α，PB的傾斜角為α2，且α1＜α＜α2.
則k1=tanα1＜k＜k2=tanα2.
又k1==-5，k2==-，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-5＜k＜-.
（六）課堂小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：
1.掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點(diǎn)斜式方程，了解直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特例.
2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會(huì)利用探討出的條件求出直線的方程.
（七）作業(yè)
習(xí)題3.2 A組2、3、5.
§3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程
一、教材分析
本節(jié)課的關(guān)鍵是關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時(shí)對兩點(diǎn)式的討論及變形.直線方程的兩點(diǎn)式可由點(diǎn)斜式導(dǎo)出.若已知兩點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上(非原點(diǎn))，則可用兩點(diǎn)式的特例截距式寫出直線的方程.由于由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便.在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長等問題時(shí)，經(jīng)常使用截距式.但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零.在這兩種情況下都不能用截距式.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）掌握直線方程的兩點(diǎn)式的形式特點(diǎn)及適用范圍；
（2）了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍。
2．過程與方法
讓學(xué)生在應(yīng)用舊知識(shí)的探究過程中獲得新的結(jié)論，并通過新舊知識(shí)的比較、分析、應(yīng)用獲得新知識(shí)的特點(diǎn).
3．情態(tài)與價(jià)值觀
（1）認(rèn)識(shí)事物之間的普通聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化；
（2）培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):直線方程兩點(diǎn)式和截距式.
教學(xué)難點(diǎn):關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時(shí)對兩點(diǎn)式方程的討論及變形.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教學(xué)設(shè)計(jì)
（一）導(dǎo)入新課
思路1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式，請問點(diǎn)斜式方程是什么？點(diǎn)斜式方程是怎樣推導(dǎo)的？利用點(diǎn)斜式解答如下問題：
（1）已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(1,2),P2(3,5),求直線l的方程.
（2）已知兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通過這兩點(diǎn)的直線方程.
思路2.要學(xué)生求直線的方程，題目如下：
①A(8，-1)，B(-2，4)；
②A(6，-4)，B(-1，2)；
③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).
(分別找3個(gè)同學(xué)說上述題的求解過程和答案，并著重要求說求k及求解過程)
這個(gè)答案對我們有何啟示？求解過程可不可以簡化？我們可不可以把這種直線方程取一個(gè)什么名字呢?
（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題
①已知兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通過這兩點(diǎn)的直線方程.
②若點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此時(shí)這兩點(diǎn)的直線方程是什么？
③兩點(diǎn)式公式運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意什么？
④已知直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a,0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直線l的方程.
⑤a、b表示截距是不是直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？
⑥截距式不能表示平面坐標(biāo)系下哪些直線？
活動(dòng):①教師引導(dǎo)學(xué)生：根據(jù)已有的知識(shí)，要求直線方程，應(yīng)知道什么條件？能不能把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題呢？在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程.師生共同歸納：
已知直線上兩個(gè)不同點(diǎn)，求直線的方程步驟：
a.利用直線的斜率公式求出斜率k;
b.利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程.
∵x1≠x2,k=,
∴直線的方程為y-y1=(x-x1).
∴l(xiāng)的方程為y-y1=(x-x1).①
當(dāng)y1≠y2時(shí),方程①可以寫成.②
由于②這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，因此叫做直線方程的兩點(diǎn)式.
注意：②式是由①式導(dǎo)出的，它們表示的直線范圍不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示傾斜角為90°的直線的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示傾斜角為0°或90°的直線的方程，但②式相對于①式更對稱、形式更美觀、更整齊，便于記憶.如果把兩點(diǎn)式變成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它來求過平面上任意兩已知點(diǎn)的直線方程.
②使學(xué)生懂得兩點(diǎn)式的適用范圍和當(dāng)已知的兩點(diǎn)不滿足兩點(diǎn)式的條件時(shí)它的方程形式.教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察和分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1=x2時(shí)，直線與x軸垂直，所以直線方程為x=x1；當(dāng)y1=y2時(shí)，直線與y軸垂直，直線方程為y=y1.
③引導(dǎo)學(xué)生注意分式的分母需滿足的條件.
④使學(xué)生學(xué)會(huì)用兩點(diǎn)式求直線方程；理解截距式源于兩點(diǎn)式，是兩點(diǎn)式的特殊情形.教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中所給的條件有什么特點(diǎn)？可以用多少方法來求直線l的方程？哪種方法更為簡捷？然后求出直線方程.
因?yàn)橹本€l經(jīng)過(a，0)和(0，b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得.①
就是=1.②
注意：②這個(gè)方程形式對稱、美觀,其中a是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱a為直線在x軸上的截距，簡稱橫截距；b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱b為直線在y軸上的截距，簡稱縱截距.
因?yàn)榉匠挞谑怯芍本€在x軸和y軸上的截距確定的，所以方程②式叫做直線方程的截距式.
⑤注意到截距的定義，易知a、b表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是距離.
⑥考慮到分母的原因，截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方程，即過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用截距式.
討論結(jié)果：①若x1≠x2且y1≠y2,則直線l方程為.
②當(dāng)x1=x2時(shí)，直線與x軸垂直，直線方程為x=x1；當(dāng)y1=y2時(shí)，直線與y軸垂直，直線方程為y=y1.
③傾斜角是0°或90°的直線不能用兩點(diǎn)式公式表示(因?yàn)閤1≠x2,y1≠y2).
④=1.
⑤a、b表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是距離.
⑥截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方程，即過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用截距式.
（三）應(yīng)用示例
思路1
例1 求出下列直線的截距式方程：
（1)橫截距是3，縱截距是5；
（2)橫截距是10，縱截距是-7；
（3)橫截距是-4，縱截距是-8.
答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.
變式訓(xùn)練
已知Rt△ABC的兩直角邊AC=3，BC=4，直角頂點(diǎn)C在原點(diǎn)，直角邊AC在x軸負(fù)方向上，BC在y軸正方向上，求斜邊AB所在的直線方程.
答案：4x-3y+12=0.
例2 如圖1,已知三角形的頂點(diǎn)是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程.
圖1
活動(dòng):根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)的特征，求AB所在的直線的方程應(yīng)選用兩點(diǎn)式；求BC所在的直線的方程應(yīng)選用斜截式；求AC所在的直線的方程應(yīng)選用截距式.
解：AB所在直線的方程，由兩點(diǎn)式,得
,即3x+8y+15=0.
BC所在直線的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0.
AC所在直線的方程，由截距式,得=1,即2x-5y+10=0.
變式訓(xùn)練
如圖2,已知正方形的邊長是4，它的中心在原點(diǎn)，對角線在坐標(biāo)軸上，求正方形各邊及對稱軸所在直線的方程.
圖2
活動(dòng):由于正方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所以可用截距式求正方形各邊所在直線的方程.而正方形的對稱軸PQ，MN，x軸，y軸則不能用截距式，其中PQ，MN應(yīng)選用斜截式；x軸，y軸的方程可以直接寫出.
解:因?yàn)閨AB|=4，所以|OA|=|OB|=.
因此A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,2)、(-2,0)、(0,-2).
所以AB所在直線的方程是=1,即x+y-2=0.
BC所在直線的方程是=1,即x-y+2=0.
CD所在直線的方程是=1,即x+y+2=0.
DA所在直線的方程是=1,即x-y-2=0.
對稱軸方程分別為x±y=0,x=0,y=0.
思路2
例1 已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長;（3）求AB邊的高所在直線方程.
解：（1）由兩點(diǎn)式寫方程,得，即6x-y+11=0.
（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x0,y0），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得x0==1,y0==1,
故M（1，1）,AM==2.
(3)因?yàn)橹本€AB的斜率為kAB==-6，設(shè)AB邊上的高所在直線的斜率為k,
則有k×kAB=k×(-6)=-1,∴k=.
所以AB邊高所在直線方程為y-3=(x-4),即x-6y+14=0.
變式訓(xùn)練
求與兩坐標(biāo)軸正向圍成面積為2平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程.
解：設(shè)直線方程為=1,則由題意知,有ab=3,∴ab=4.
解得a=4,b=1或a=1,b=4.
則直線方程是=1或=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.
例2 經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求出這些直線的方程.
解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)y=kx，又過點(diǎn)A(1,2)，則得k=2，即y=2x.
當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)=1或=1,過點(diǎn)A(1,2)，
則得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.
這樣的直線有3條：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.
變式訓(xùn)練
過點(diǎn)A(-5,-4)作一直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5.
答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.
（四）知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1、2、3.
（五）拓展提升
問題：把函數(shù)y=f(x)在x=a及x=b之間的一段圖象近似地看作直線，設(shè)a≤c≤b，證明f(c)的近似值是f(a)+［f(b)-f(a)］.
證明：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAC=kAB,
即.
∴f(c)-f(a)= ［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+［f(b)-f(a)］.
∴f(c)的近似值是f(a)+［f(b)-f(a)］.
（六）課堂小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：掌握直線方程兩點(diǎn)式和截距式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用這兩種形式求出直線的方程.理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍，樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.
（七）作業(yè)
課本習(xí)題3.2 A組9、10.
§3.2.3 直線的一般式方程
一、教材分析
直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它是研究各種運(yùn)動(dòng)方向和位置關(guān)系的基本工具，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好知識(shí)上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).直線方程是這一章的重點(diǎn)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)了直線方程的幾種特殊形式的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出直線方程的一般形式.掌握直線方程的一般形式為用代數(shù)方法研究兩條直線的位置關(guān)系和學(xué)習(xí)圓錐曲線方程打下基礎(chǔ).根據(jù)教材分析直線方程的一般式是本節(jié)課的重點(diǎn)，但由于學(xué)生剛接觸直線和直線方程的概念，教學(xué)中要求不能太高，因此對直角坐標(biāo)系中直線與關(guān)于x和y的一次方程的對應(yīng)關(guān)系確定為“了解”層次.兩點(diǎn)可以確定一條直線，給出一點(diǎn)和直線的方向也可以確定一條直線，由兩個(gè)獨(dú)立條件選用恰當(dāng)形式求出直線方程后，均應(yīng)統(tǒng)一到一般式.直線的一般式方程中系數(shù)A、B、C的幾何意義不很鮮明，常常要化為斜截式和截距式，所以各種形式應(yīng)會(huì)互化.引導(dǎo)學(xué)生觀察直線方程的特殊形式，歸納出它們的方程的類型都是二元一次方程，推導(dǎo)直線方程的一般式時(shí)滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，通過直線方程各種形式的互化,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步研究一般式系數(shù)A、B、C的幾何意義時(shí),滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）明確直線方程一般式的形式特征；
（2）會(huì)把直線方程的一般式化為斜截式，進(jìn)而求斜率和截距；
（3）會(huì)把直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式化為一般式.
2．過程與方法
學(xué)會(huì)用分類討論的思想方法解決問題.
3．情態(tài)與價(jià)值觀
（1）認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化；
（2）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):直線方程的一般式及各種形式的互化.
教學(xué)難點(diǎn):在直角坐標(biāo)系中直線方程與關(guān)于x和y的一次方程的對應(yīng)關(guān)系，關(guān)鍵是直線方程各種形式的互化.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教學(xué)設(shè)計(jì)
（一）導(dǎo)入新課
思路1.前面所學(xué)的直線方程的幾種形式，有必要尋求一種更好的形式，那么怎樣的形式才能表示一切直線方程呢?這節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題.
思路2.由下列各條件，寫出直線的方程，并畫出圖形.
(1)斜率是1，經(jīng)過點(diǎn)A（1，8）；(2)在x軸和y軸上的截距分別是-7，7；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y軸上的截距是7，傾斜角是45°.
由兩個(gè)獨(dú)立條件請學(xué)生寫出直線方程的特殊形式分別為y-8=x-1、=1、、y=x+7，教師利用計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)顯示，發(fā)現(xiàn)上述4條直線在同一坐標(biāo)系中重合.原來它們的方程化簡后均可統(tǒng)一寫成：x-y+7=0.這樣前幾種直線方程有了統(tǒng)一的形式，這就是我們今天要講的新課——直線方程的一般式.
（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題
①坐標(biāo)平面內(nèi)所有的直線方程是否均可以寫成關(guān)于x,y的二元一次方程?
②關(guān)于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同時(shí)為零）是否都表示一條直線?
③我們學(xué)習(xí)了直線方程的一般式，它與另四種形式關(guān)系怎樣，是否可互相轉(zhuǎn)化?
④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之間如何互化?
⑤我們學(xué)習(xí)了直線方程的一般式Ax+By+C=0，系數(shù)A、B、C有什么幾何意義?什么場合下需要化成其他形式?各種形式有何局限性?
討論結(jié)果:①分析：在直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角α.
1°當(dāng)α≠90°時(shí)，它們都有斜率，且均與y軸相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.
2°當(dāng)α=90°時(shí)，它的方程可以寫成x=x1的形式，由于在坐標(biāo)平面上討論問題，所以這個(gè)方程應(yīng)認(rèn)為是關(guān)于x、y的二元一次方程，其中y的系數(shù)是零.
結(jié)論1°：直線的方程都可以寫成關(guān)于x、y的一次方程.
②分析：a當(dāng)B≠0時(shí)，方程可化為y=-x-，這就是直線的斜截式方程，它表示斜率為-，在y軸上的截距為-的直線.b當(dāng)B=0時(shí)，由于A、B不同時(shí)為零必有A≠0，方程化為x=-，表示一條與y軸平行或重合的直線.
結(jié)論2°：關(guān)于x,y的一次方程都表示一條直線.
綜上得：這樣我們就建立了直線與關(guān)于x,y的二元一次方程之間的對應(yīng)關(guān)系.我們把Ax+By+C=0（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線方程的一般式.
注意：一般地，需將所求的直線方程化為一般式.
在這里采用學(xué)生最熟悉的直線方程的斜截式（初中時(shí)學(xué)過的一次函數(shù)）把新舊知識(shí)聯(lián)系起來.
③引導(dǎo)學(xué)生自己找到答案，最后得出能進(jìn)行互化.
④待學(xué)生通過練習(xí)后師生小結(jié)：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化為其他形式（如特殊位置的直線），由于取點(diǎn)的任意性，一般式化成點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式的形式各異，故一般式化斜截式和截距式較常見；特殊形式的互化常以一般式為橋梁，但點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、截距式均能直接化成一般式.各種形式互化的實(shí)質(zhì)是方程的同解變形（如圖1）.
圖1
⑤列表說明如下：
（三）應(yīng)用示例
例1 已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6,-4)，斜率為-，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.
解：經(jīng)過點(diǎn)A(6,-4)且斜率為-的直線方程的點(diǎn)斜式方程為y+4=-(x-6).
化成一般式，得4x+3y-12=0.
變式訓(xùn)練
1.已知直線Ax+By+C=0，
（1）系數(shù)為什么值時(shí)，方程表示通過原點(diǎn)的直線?
（2）系數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí),與坐標(biāo)軸都相交?
（3）系數(shù)滿足什么條件時(shí),只與x軸相交?
（4）系數(shù)滿足什么條件時(shí),是x軸?
（5）設(shè)P(x0,y0)為直線Ax+By+C=0上一點(diǎn),
證明這條直線的方程可以寫成A(x-x0)+B(y-y0)=0.
答案：（1）C=0；
（2）A≠0且B≠0；
（3）B=0且C≠0；
（4）A=C=0且B≠0;
（5）證明：∵P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上,
∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0.
∴A(x-x0)+B(y-y0)=0.
2.(2007上海高考,理2)若直線l1:2x+my+1=0與l2:y=3x-1平行,則m=____________.
答案：-
例2 把直線l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直線l的斜率和它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形.
解：由方程一般式x－2y＋6=0， ①
移項(xiàng)，去系數(shù)得斜截式y(tǒng)=＋3. ②
由②知l在y軸上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.
即直線在x軸上的截距是－6.
因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以通常只要作出直線與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(即在x軸，y軸上的截距點(diǎn))，過這兩點(diǎn)作出直線l（圖2）.
圖2
點(diǎn)評(píng)：要根據(jù)題目條件，掌握直線方程間的“互化”.
變式訓(xùn)練
直線l過點(diǎn)P(-6,3)，且它在x軸上的截距是它在y軸上的截距的3倍，求直線l的方程.
答案：x+3y-3=0或x+2y=0.
（四）知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1、２、３.
（五）拓展提升
求證：不論m取何實(shí)數(shù)，直線(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
解：將方程化為(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，
它表示過兩直線x+3y-11=0與2x-y-1=0的交點(diǎn)的直線系.
解方程組,得.
∴直線恒過(2,3)點(diǎn).
（六）課堂小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：
（1）掌握直線方程的一般式，了解直角坐標(biāo)系中直線與關(guān)于x和y的一次方程的對應(yīng)關(guān)系；
（2）會(huì)將直線方程的特殊形式化成一般式，會(huì)將一般式化成斜截式和截距式；
（3）通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)相互合作意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，注意語言表述能力的訓(xùn)練.
（七）作業(yè)
習(xí)題3.2 A組11.
形 式
方程
局限
各常數(shù)的幾何意義
點(diǎn)斜式
y-y1=k(x-x1)
除x=x0外
(x1,y1)是直線上一個(gè)定點(diǎn),k是斜率
斜截式
y=kx+b
除x=x0外
k是斜率,b是y軸上的截距
兩點(diǎn)式
除x=x0和y=y0外
(x1,y1)、(x2,y2)是直線上兩個(gè)定點(diǎn)
截距式
=1
除x=x0、y=y0及y=kx外
a是x軸上的非零截距,b是y軸上的非零截距
一般式
Ax+By+C=0
無
當(dāng)B≠0時(shí),-是斜率,-是y軸上的截距

相關(guān)教案

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修33.3.1幾何概型教案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修33.3.1幾何概型教案，共3頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)法與教學(xué)用具，教學(xué)設(shè)想等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修33.2.1古典概型教案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修33.2.1古典概型教案，共3頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)法與教學(xué)用具，教學(xué)設(shè)想等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2020-2021學(xué)年第二章 數(shù)列綜合與測試教學(xué)設(shè)計(jì)：

這是一份2020-2021學(xué)年第二章 數(shù)列綜合與測試教學(xué)設(shè)計(jì)，共3頁。教案主要包含了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)B選修1-22.1.1合情推理教案

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)B選修1-22.1.1合情推理教案
高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修22.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修22.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)
高中數(shù)學(xué)4.2 直線、圓的位置關(guān)系教案及反思

高中數(shù)學(xué)4.2 直線、圓的位置關(guān)系教案及反思
人教版新課標(biāo)A4.1 圓的方程教案及反思

人教版新課標(biāo)A4.1 圓的方程教案及反思
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

3.2 直線的方程

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 必修2

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部