人教版新課標(biāo)A4.1 圓的方程教案及反思

這是一份人教版新課標(biāo)A4.1 圓的方程教案及反思，共15頁。教案主要包含了教材分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點與難點，課時安排，教學(xué)設(shè)計等內(nèi)容，歡迎下載使用。
上一章,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與方程,知道在直角坐標(biāo)系中,直線可以用方程表示,通過方程,可以研究直線間的位置關(guān)系、直線與直線的交點坐標(biāo)、點到直線的距離等問題,對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了初步體驗.本章將在上章學(xué)習(xí)了直線與方程的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程,運用代數(shù)方法研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,了解空間直角坐標(biāo)系,以便為今后的坐標(biāo)法研究空間的幾何對象奠定基礎(chǔ),這些知識是進一步學(xué)習(xí)圓錐曲線方程、導(dǎo)數(shù)和微積分的基礎(chǔ),在這個過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.
通過方程,研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的重點內(nèi)容之一,坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法,而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法,通過坐標(biāo)系把點和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來,實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一,因此在教學(xué)過程中,要始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想,不怕反復(fù).用坐標(biāo)法解決幾何問題時,先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點、直線、圓;然后對坐標(biāo)和方程進行代數(shù)運算;最后把運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是坐標(biāo)法解決幾何問題的三步曲.坐標(biāo)法還可以與平面幾何中的綜合方法、向量方法建立聯(lián)系,同時可以推廣到空間,解決立體幾何問題.
本章教學(xué)時間約需9課時,具體分配如下(僅供參考):
§4.1 圓的方程
§4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
一、教材分析
在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識,本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,進一步運用解析法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用.同時,由于圓也是特殊的圓錐曲線,因此,學(xué)習(xí)了圓的方程,就為后面學(xué)習(xí)其他圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說,本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用,具有重要的地位,在許多實際問題中也有著廣泛的應(yīng)用.由于“圓的方程”一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性,對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學(xué)生的主體意識,教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造,同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”型教學(xué)模式進行教學(xué)設(shè)計,所謂“引導(dǎo)探究”是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為若干問題,從而引導(dǎo)學(xué)生進行探究的課堂教學(xué)模式,教師在教學(xué)過程中,主要著眼于“引”,啟發(fā)學(xué)生“探”,把“引”和“探”有機的結(jié)合起來.教師的每項教學(xué)措施,都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境,一種動腦、動手、動口并主動參與的學(xué)習(xí)機會,激發(fā)學(xué)生的求知欲,促使學(xué)生解決問題.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
（1）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2．過程與方法
進一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問題的學(xué)習(xí)，注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
3．情感態(tài)度與價值觀
通過運用圓的知識解決實際問題的學(xué)習(xí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣.
三、教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點的明確.
教學(xué)難點:會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
四、課時安排
1課時
五、教學(xué)設(shè)計
（一）導(dǎo)入新課
思路1.課前準(zhǔn)備：(用淀粉在一張白紙上畫上海和山)
說明:在白紙上要表演的是一個小魔術(shù),名稱是《日出》,所以還缺少一個太陽,請學(xué)生幫助在白紙上畫出太陽.要求其他學(xué)生在自己的腦海里也構(gòu)畫出自己的太陽.
課堂估計：一種是非尺規(guī)作圖(指出數(shù)學(xué)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性)；一種作出后有同學(xué)覺得不夠美(點評:其實每個人心中都有一個自己的太陽,每個人都有自己的審美觀點).
然后上升到數(shù)學(xué)層次：
不同的圓心和半徑對應(yīng)著不同的圓,進而對應(yīng)著不同的圓的方程.
從用圓規(guī)作圖復(fù)習(xí)初中所學(xué)圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡.
那么在給定圓心和半徑的基礎(chǔ)上,結(jié)合我們前面所學(xué)的直線方程的求解,應(yīng)該如何建立圓的方程？教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
思路2.同學(xué)們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（二）推進新課、新知探究、提出問題
①已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離?
②具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？
③圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？
圖1
④我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么?
⑤如果已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程?
⑥圓的方程形式有什么特點？當(dāng)圓心在原點時,圓的方程是什么？
討論結(jié)果：①根據(jù)兩點之間的距離公式,得
|AB|=,
|CD|=.
②平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓,定點是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓).
③圓心C是定點,圓周上的點M是動點,它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小.
④確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了.
⑤確定圓的基本條件是圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r＞0).設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點,那么點M滿足的條件是(引導(dǎo)學(xué)生自己列出)P={M||MA|=r},由兩點間的距離公式讓學(xué)生寫出點M適合的條件=r.①
將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.
化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②
若點M(x,y)在圓上,由上述討論可知,點M的坐標(biāo)滿足方程②,反之若點M的坐標(biāo)滿足方程②,這就說明點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程②就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
⑥這是二元二次方程,展開后沒有xy項,括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑.當(dāng)圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2.
提出問題
①根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說明確定圓的方程的條件是什么?
②確定圓的方程的方法和步驟是什么?
③坐標(biāo)平面內(nèi)的點與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷?
討論結(jié)果：①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需三個獨立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件.
②確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為：
1°根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；
2°根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組；
3°解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程.
③點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系的判斷方法：
當(dāng)點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標(biāo)滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
當(dāng)點M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標(biāo)不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為:
1°點到圓心的距離大于半徑,點在圓外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,點在圓外;
2°點到圓心的距離等于半徑,點在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上;
3°點到圓心的距離小于半徑,點在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,點在圓內(nèi).
（三）應(yīng)用示例
思路1
例1 寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)圓心在原點,半徑是3；
⑵圓心在點C(3,4),半徑是;
(3)經(jīng)過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)；
(4)圓心在點C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切.
解:(1)由于圓心在原點,半徑是3,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.
(2)由于圓心在點C(3,4),半徑是5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.
(3)方法一:圓的半徑r=|CP|==5,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.
方法二:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因為圓經(jīng)過點P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.
這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定.
(4)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=.
點評：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上.
解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(x-2)2+(y+3)2=25,
把點M1(5,-7),M2(-,,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
則M1的坐標(biāo)滿足方程,M1在圓上.M2的坐標(biāo)不滿足方程,M2不在圓上.
點評:本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后給一個點,判斷該點與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想,根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看在不在圓上——從代數(shù)到幾何.
例3 △ABC的三個頂點的坐標(biāo)是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法.
解法一:設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上,
它們的坐標(biāo)都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是
解此方程組得所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.
解法二:線段AB的中點坐標(biāo)為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6).
同理線段AC的中點坐標(biāo)為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5).
解由①②組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r==5,所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.
點評:△ABC外接圓的圓心是△ABC的外心,它是△ABC三邊的垂直平分線的交點,它到三頂點的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路.
思路2
例1 圖2是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長度(精確到0.01 m).
圖2
解:建立坐標(biāo)系如圖,圓心在y軸上,由題意得P(0,4),B(10,0).
設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=r2,因為點P(0,4)和B(10,0)在圓上,
所以解得
所以這個圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.
設(shè)點P2(-2,y0),由題意y0＞0,代入圓方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52,
解得y0=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
答：支柱A2P2的長度約為3.86 m.
例2 求與圓x2+y2-2x=0外切,且與直線x+y=0相切于點(3,-)的圓的方程.
活動:學(xué)生審題,注意題目的特點,教師引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)知識和初中學(xué)過的幾何知識解題.首先利用配方法,把已知圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組,求出參數(shù),得到所求的圓的方程.
解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1.因為兩圓外切,所以圓心距等于兩圓半徑之和,即=r+1, ①
由圓與直線x+y=0相切于點(3,-),得
解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.
故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
點評:一般情況下,如果已知圓心(或易于求出)或圓心到某一直線的距離(或易于求出),可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解,用待定系數(shù)法,求出圓心坐標(biāo)和半徑.
變式訓(xùn)練
一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程.
解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+2).
則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2.
因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上,
所以解得
所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.
解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點坐標(biāo)為(,),
所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0.
因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上,
所以由解得,即圓心坐標(biāo)為C(-,).
又因為圓的半徑r=|OC|=,
所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.
點評:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有a、b、r三個量,要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法.
(2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用.
例3 求下列圓的方程:
(1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1).
(2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22.
解:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑r==.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r＞0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d==.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4.
點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān),故都利用了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解,此外平面幾何的性質(zhì)的應(yīng)用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決.
（四）知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習(xí)1、2.
（一）拓展提升
1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程.
活動:學(xué)生思考交流,教師提示引導(dǎo),求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法.
解:首先兩平行線的距離d==2,所以半徑為r==1.
方法一：設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.
方法二：解方程組因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.
點評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系,把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理.
（六）課堂小結(jié)
①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
②點與圓的位置關(guān)系的判斷方法.
③根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.
④利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程.
⑤直徑端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
（七）作業(yè)
1.復(fù)習(xí)初中有關(guān)點與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容.
2.預(yù)習(xí)有關(guān)圓的切線方程的求法.
3.課本習(xí)題4.1 A組第2、3題.
§4.1.2 圓的一般方程
一、教材分析
教材通過將二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化為(x+)2+(y+)2=后只需討論D2+E2-4F＞0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F＜0.與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較可知D2+E2-4F＞0時,表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程只有實數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);當(dāng)D2+E2-4F＜0時,方程沒有實數(shù)解,因而它不表示任何圖形.
從而得出圓的一般方程的特點：(1)x2和y2的系數(shù)相同,不等于0；(2)沒有x·y這樣的二次項；(3)D2+E2-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時滿足才是充要條件.
同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2含有三個待定系數(shù)a、b、r一樣,圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三個待定系數(shù)D、E、F,因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓.同樣可以用待定系數(shù)法求得圓的一般方程.在實際問題中,究竟使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是使用圓的一般方程更好呢？應(yīng)根據(jù)具體問題確定.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點是明確指出了圓心的坐標(biāo)和圓的半徑,因此,對于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果已知條件和圓心坐標(biāo)、圓的半徑都無直接關(guān)系,通常采用圓的一般方程；有時兩種方程形式都可用時也常采用圓的一般方程的形式,這是因為它可避免解三元二次方程組.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于明確直觀地指出圓心坐標(biāo)和半徑的長.我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關(guān)性質(zhì)和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優(yōu)點,在教學(xué)過程中,應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟練地掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而求出圓心坐標(biāo)和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學(xué)生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.
二、教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
（1）在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件.
（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程.
（3）培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.
2．過程與方法
通過對方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.
3．情感態(tài)度與價值觀
滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索.
三、教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.
教學(xué)難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用.
四、課時安排
1課時
五、教學(xué)設(shè)計
（一）導(dǎo)入新課
思路1.①說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
②學(xué)生練習(xí):將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式.
④能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內(nèi)容,教師板書課題:圓的一般方程.
思路2.問題：求過三點A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識解決又有其簡單的局限性,那么這個問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.
（二）推進新課、新知探究、提出問題
①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法?
②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢?
③給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.
④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.
⑤對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點?
討論結(jié)果：①以前學(xué)習(xí)過直線,我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式,最后學(xué)習(xí)一般式.大家知道,我們認識一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、…)展開整理而得到的.
②我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把標(biāo)準(zhǔn)形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.
③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.
④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0時表示圓,r=0時表示點(a,b),r＜0時不表示任何圖形.
因此式子(x+)2+(y+)2=.
(ⅰ)當(dāng)D2+E2-4F＞0時,表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；
(ⅱ)當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程只有實數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);
(ⅲ)當(dāng)D2+E2-4F＜0時,方程沒有實數(shù)解,因而它不表示任何圖形.
綜上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當(dāng)D2+E2-4F＞0時,它表示的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F＞0.
我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.
⑤圓的一般方程形式上的特點:
x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項.
圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了.
與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.
（三）應(yīng)用示例
思路1
例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請求出圓的圓心及半徑.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,
而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0,
所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標(biāo)為(,-),半徑為；
(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得
D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0,
所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程.
點評:對于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用條件D2+E2-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.
變式訓(xùn)練
求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：
(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.
解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5；
(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圓心坐標(biāo)為(0,-b),半徑為|b|.
例2 求過三點O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標(biāo).
解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有
解得D=-8,E=6,F=0,
故所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.
方法二：先求出OM1的中點E(,),M1M2的中點F(,),
再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-), ①
AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-), ②
聯(lián)立①②得得則點P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.
方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|,
即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5為半徑.
方法四：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2=r2,因為O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b、r的方程組,即
解此方程組得所以所求圓的方程為(x－4)2＋(y+3)2=52,圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.
點評：請同學(xué)們比較,關(guān)于何時設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時設(shè)圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程.
例3 已知點P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動點.當(dāng)Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程.
活動:學(xué)生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識,見中點作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來求.
圖1
解法一:如圖1,作MN∥OQ交x軸于N,
則N為OP的中點,即N(5,0).
因為|MN|=|OQ|=2(定長).
所以所求點M的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.
點評:用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點應(yīng)滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復(fù)雜,將它翻譯成代數(shù)語言時也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時,首先分析軌跡上的動點M的運動情況,探求它是由什么樣的點控制的.
解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x0,y0).
因為M是PQ的中點,所以 (*)
又因為Q(x0,y0)在圓x2+y2=16上,所以x02+y02=16.將(*)代入得
(2x-10)2+(2y)2=16.
故所求的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.
點評:相關(guān)點法步驟:①設(shè)被動點M(x,y),主動點Q(x0,y0).
②求出點M與點Q坐標(biāo)間的關(guān)系 (Ⅰ)
③從(Ⅰ)中解出 (Ⅱ)
④將(Ⅱ)代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程.
這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點法,以后要注意運用.
變式訓(xùn)練
已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.
解:設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y),
點A的坐標(biāo)是(x0,y0).
由于點B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點,所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.
因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.
所以點M的軌跡是以(,)為圓心,半徑長為1的圓.
思路2
例1 求圓心在直線l：x+y=0上,且過兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.
活動:學(xué)生審題,教師引導(dǎo),強調(diào)應(yīng)注意的問題,根據(jù)題目特點分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點可求,圓心在一直線上,所以應(yīng)先求交點再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解:解兩圓方程組成的方程組得兩圓交點為(0,2),(-4,0).
設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為兩點在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組
解得a=-3,b=3,r=.故所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.
點評：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
例2 已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.
解法一:利用圓的一般方程.
設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經(jīng)過點(1,0),(3,0)和(0,-1),則有,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x2+y2-4x+4y+3=0.
解法二:利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
由題意該圓經(jīng)過P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),
設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.
因為|PC|=|RC|,所以.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).
而r=|PC|=,故所求圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=5.
例3 試求圓C:x2+y2-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+1=0對稱的曲線C′的方程.
活動：學(xué)生先思考,然后解答,教師引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)的東西,即圓的圓心坐標(biāo)變化、半徑不變,另外可利用相關(guān)點法來求.
解法一:設(shè)P′(x,y)為所求曲線C′上任意一點,P′關(guān)于l的對稱點為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.
由題意可得解得 (*)
因為P(x0,y0)在圓C上,所以x02+y02-x0+2y0=0.將(*)代入
得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,
化簡得x2+y2+4x-3y+5=0,即為C′的方程.
解法二:(特殊對稱)圓C關(guān)于直線l的對稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C′,即求(,-1)關(guān)于直線l:x-y+1=0的對稱點C′(-2,),因此所求圓C′的方程為(x+2)2+(y-)2=.
點評：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質(zhì)解題往往較簡單.
（四）知能訓(xùn)練
課本練習(xí)1、2、3.
（五）拓展提升
問題：已知圓x2+y2-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點,定點R(1,1),若PR⊥QR,求實數(shù)m的值.
解:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),
由消去y得5x2+4m-60=0. ①
由題意,方程①有兩個不等的實數(shù)根,所以60-4m＞0,m＜15.
由韋達定理
因為PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,
即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0. ②
因為y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,
y1+y2=6,代入②得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.
所以m=10,適合m＜15.所以實數(shù)m的值為10.
（六）課堂小結(jié)
1.任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D2+E2-4F＞0時,方程表示圓心為(-,-),半徑為r=的圓.
2.求圓的方程,應(yīng)根據(jù)條件特點選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關(guān),則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件主要是圓所經(jīng)過的點的坐標(biāo),則宜用一般方程.
3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標(biāo)和半徑,因此應(yīng)掌握利用配方法將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.
（七）作業(yè)
習(xí)題4.1 A組1、6,B組1、2、3.
4.1.1
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1課時
4.1.2
圓的一般方程
1課時
4.2.1
直線與圓的位置關(guān)系
2課時
4.2.2
圓與圓的位置關(guān)系
2課時
4.3.1
空間直角坐標(biāo)系
1課時
4.3.2
空間兩點間的距離公式
1課時
本章復(fù)習(xí)
1課時