知識(shí)與技能
1．了解三元一次方程組的概念．
2．會(huì)用“代入”、“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進(jìn)而化為“一元”方程來(lái)解決．
3．能根據(jù)三元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥ǎ?br>過(guò)程與方法
讓學(xué)生認(rèn)識(shí)三元一次方程組的求解關(guān)鍵在于“消元”，進(jìn)一步熟練掌握“代入”、“加減”消元的方法．
情感態(tài)度價(jià)值觀
讓學(xué)生感受把新知轉(zhuǎn)化為已知，把不會(huì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的問(wèn)題，把難度大的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為難度較小的問(wèn)題這一化歸思想，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法．
【教學(xué)重難點(diǎn)】
重點(diǎn)：三元一次方程組的解法及“消元”思想．
難點(diǎn)：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選擇消哪個(gè)元，選擇用什么方法消元．
【教學(xué)過(guò)程】
【情景導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)】
前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組及其解法——消元法．有些有兩個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題，可以列出二元一次方程組來(lái)解決，實(shí)際上，有不少問(wèn)題含有更多未知數(shù)，我們來(lái)看下面的問(wèn)題：
在足球比賽中，勝一場(chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，負(fù)一場(chǎng)積0分，勇士隊(duì)參加了10場(chǎng)比賽，共得18分．已知勇士隊(duì)在比賽中勝的場(chǎng)數(shù)正好等于平與負(fù)的場(chǎng)數(shù)之和，那么勇士隊(duì)在比賽中勝、平、負(fù)的場(chǎng)次各是多少？
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以用二元一次方程組來(lái)解決．這個(gè)問(wèn)題中有三個(gè)未知數(shù)，如果我們?cè)O(shè)三個(gè)未知數(shù)，你能列出幾個(gè)方程？它們組成一個(gè)方程組，你能解出來(lái)嗎？
教學(xué)說(shuō)明
通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課，使學(xué)生了解三元一次方程組的概念及本節(jié)課要解決的問(wèn)題．
【思考探究，獲取新知】
對(duì)于上面的問(wèn)題，設(shè)勝、負(fù)、平的場(chǎng)次分別為x、y、z，分別將已知條件直接“翻譯”出來(lái)，列出方程，并將它們寫成方程組的形式，得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝10 ①,3x＋y＝18 ②,x＝y(tǒng)＋z ③))
像這樣的方程組稱為三元一次方程組．
怎樣解三元一次方程組呢？
回憶我們?cè)诮舛淮畏匠探M時(shí)，其基本思想是什么？你會(huì)用幾種方法解二元一次方程組？
對(duì)于三元一次方程組，我們能不能先消掉一個(gè)或兩個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程求解．
將③代入①和②中得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y＋2z＝10 ④,4y＋3z＝18 ⑤))解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3,z＝2.))
將eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3,z＝2))代入方程③中，可得：x＝5.
所以這個(gè)三元一次方程組的解是：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5,y＝3,z＝2)).
思考：上面的三元一次方程組能否用加減消元法求解？或者能否利用方程③，直接代入方程①中的y＋z？比較一下，哪種方法更簡(jiǎn)便？由此你能總結(jié)出解三元一次方程組的步驟嗎？
歸納結(jié)論
解三元一次方程組的步驟：
1．利用代入法或加減法先消掉一個(gè)未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組．
2．解二元一次方程組．
3．將二元一次方程組的解代入其中一個(gè)方程，求出第三個(gè)未知數(shù)．
教學(xué)說(shuō)明
結(jié)合情境問(wèn)題中列出的方程組，類比前面所學(xué)二元一次方程組的解法，得到解三元一次方程組的整體思路．
【運(yùn)用新知，深化理解】
1．解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＋2z＝3,2x＋y－4z＝11,7x＋y－5z＝1))，若要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，消元的方法應(yīng)選取( B )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上說(shuō)法都不對(duì)
2．若方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝1,2kx＋（k－1）y＝3))的解x和y的值互為相反數(shù)，則k的值等于( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知x，y，z滿足方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋z＝0,7x＋4y－5z＝0))，則x∶y∶z＝( C )
A．1∶1∶1 B．1∶1∶2
C．1∶2∶3 D．1∶3∶2
4．解下列方程組．
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋4y－5z＝5,x－2y＋4z＝－2,2x＋2y－3z＝3))；(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＝2y,7x＝2z,2x－8y＋3z＝1))
(1)解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2),y＝\f(1,4),z＝－\f(1,2))).(2)解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3,z＝7)).
5．已知關(guān)于x，y，z的方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＋z＝6,6x＋y－2z＝－2,6x＋2y＋5z＝3))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＋2cz＝2,2ax－3by＋4cz＝－1,3ax－3by＋5cz＝1))的解相同，求a的值．
解：解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＋z＝6,6x＋y－2z＝－2,6x＋2y＋5z＝3))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3),y＝－2,z＝1))，
把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3),y＝－2,z＝1))代入eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＋2cz＝2,2ax－3by＋4cz＝－1,3ax－3by＋5cz＝1))中得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－2b＋2c＝2,\f(2,3)a＋6b＋4c＝－1,a＋6b＋5c＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝9,b＝－\f(1,2).,c＝－1))
6．有一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的3倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大5，若將此數(shù)的個(gè)位數(shù)與百位數(shù)互相對(duì)調(diào)，所得新數(shù)比原數(shù)的2倍多35，求原數(shù)．
解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，百位數(shù)字為z，
根據(jù)題意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3z,y－z＝5,（100x＋10y＋z）－2（100z＋10y＋z）＝35))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝6.,z＝1)).所以原數(shù)為163.
7．某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植植物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的設(shè)備資金如下表：
已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在設(shè)備投入67萬(wàn)元，應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？
解：設(shè)種植水稻、棉花和蔬菜的面積分別為x公頃，y公頃，z公頃，
根據(jù)題意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝51,4x＋8y＋5z＝300，,x＋y＋2z＝67))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝15,y＝20.,z＝16))
答：種植水稻、棉花和蔬菜的面積分別為15公頃，20公頃，16公頃．
教學(xué)說(shuō)明
檢查學(xué)生是否掌握三元一次方程組的求解．
【師生互動(dòng)，課堂小結(jié)】
1．三元一次方程組的概念．
2．三元一次方程組的解法．注意選好要消的“元”，選好要消的“法”．
3．談?wù)勄蠼舛嘣淮畏匠探M的思路．
【課后作業(yè)】
1．布置作業(yè)：教材第41頁(yè)“習(xí)題7.3”中第1、2題．
2．完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)．農(nóng)作物品種
每公頃需
勞動(dòng)力
每公頃需
投入資金
水稻
4人
1萬(wàn)元
棉花
8人
1萬(wàn)元
蔬菜
5人
2萬(wàn)元

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7.3 三元一次方程組及其解法

版本： 華東師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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