
前面,我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)及其圖象和性質(zhì),你能寫出兩個(gè)具體的一次函數(shù)解析式嗎?如何畫出它們的圖象?
思考: 反過來,已知一個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個(gè)具體的點(diǎn),你能求出它的解析式嗎?
兩點(diǎn)法——兩點(diǎn)確定一條直線
如圖,已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過P(0,-1),Q(1,1)兩點(diǎn). 怎樣確定這個(gè)一次函數(shù)的解析式呢?
因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的一般形式是y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0),要求出一次函數(shù)的解析式,關(guān)鍵是要確定k和b的值(即待定系數(shù)).
∵P(0,-1) 和Q(1,1)都在該函數(shù)圖象上, ∴它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足y=kx+b , 將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入該式中,得到一個(gè)關(guān)于k,b的二元一次方程組:
∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y = 2x- 1.
像這樣,通過先設(shè)定函數(shù)解析式(確定函數(shù)模型),再根據(jù)條件確定解析式中的未知系數(shù),從而求出函數(shù)解析式的方法稱為待定系數(shù)法.
已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(3,5)與(-4,-9),求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.
解:設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b.
3k+b=5, -4k+b=-9,
∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為
解方程組得 b=-1.
把點(diǎn)(3,5)與(-4,-9)分別代入,得:
(1)設(shè):設(shè)一次函數(shù)的一般形式 ;
(2)列:把圖象上的點(diǎn) , 代入一次函數(shù)的解析式,組成_________方程組;
(3)解:解二元一次方程組得k,b;
(4)還原:把k,b的值代入一次函數(shù)的解析式.
求一次函數(shù)解析式的步驟:
y=kx+b(k≠0)
例1. 若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(2,0)且與直線y=-x+3平行,求其解析式.
例2 已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,2),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2,求此一次函數(shù)的解析式.
分析:一次函數(shù)y=kx+b與y軸的交點(diǎn)是(0,b),與x軸的交點(diǎn)是( ,0).由題意可列出關(guān)于k,b的方程.
注意:此題有兩種情況.
解:設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k≠0) ∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)(0,2), ∴b=2 ∵一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是( ,0),則 解得k=1或-1. 故此一次函數(shù)的解析式為y=x+2或y=-x+2.
正比例函數(shù)y=k1x與一次函數(shù)y=k2x+b的圖象如圖所示,它們的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),并且OB=5.(1)你能求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式嗎?
(2)△AOB的面積是多少呢?
分析:由OB=5可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-5).y=k1x的圖象過點(diǎn)A(3,4),y=k2x+b的圖象過點(diǎn)A(3,4),B(0,-5),代入解方程(組)即可.
已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的自變量的取值范圍是- 3≤x≤ 6,相應(yīng)函數(shù)值的范圍是- 5≤y≤ - 2 ,求這個(gè)函數(shù)的解析式.
分析:(1)當(dāng)- 3≤x≤ 6時(shí),- 5≤y≤ - 2,實(shí)質(zhì)是給出了兩組自變量及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值;(2)由于不知道函數(shù)的增減性,此題需分兩種情況討論.
1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象如圖,則下列結(jié)論正確的是 ( ) A.k=2 B.k=3 C.b=2 D.b=3
2. 如圖,直線l是一次函數(shù)y=kx+b的圖象,填空: (1)b=______,k=______; (2)當(dāng)x=30時(shí),y=______; (3)當(dāng)y=30時(shí),x=______.
解:設(shè)直線l為y=kx+b, ∵l與直線y=-2x平行,∴k= -2. 又∵直線過點(diǎn)(0,2), ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直線l的解析式為y=-2x+2.
3. 已知直線l與直線y=-2x平行,且與y軸交于點(diǎn)(0,2),求直線l的解析式.
4.若一直線與另一直線y=-3x+2交于y軸同一點(diǎn),且過(2,-6),你能求出這條直線的解析式嗎?
分析:直線y=-3x+2與y軸的交點(diǎn)為(0,2),于是得知該直線過點(diǎn)(0,2),(2,-6),在用待定系數(shù)法求解即可.
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