1．已知，△ABC是等邊三角形，過點(diǎn)C作CD∥AB，且CD＝AB，連接BD交AC于點(diǎn)O．


（1）如圖1，求證：AC垂直平分BD；


（2）如圖2，點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段CO上，且ND＝NM，連接BN．求證：NB＝NM．





（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，


∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，


∵CD∥AB，且CD＝AB，


∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，


∴BO＝DO，CO⊥BD，


∴AC垂直平分BD；


（2）由（1）知AC垂直平分BD，


∴NB＝ND，


∵ND＝NM，


∴NB＝NM．























2．等腰Rt△ABC，點(diǎn)D為斜邊AB上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BD上，連結(jié)CD，CE，作AH⊥CE，垂足為H，交CD于點(diǎn)G，AH的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F．


（1）求證：△ADG≌△CDE．


（2）若點(diǎn)H恰好為CE的中點(diǎn)，求證：∠CGF＝∠CFG．





證明：（1）在等腰Rt△ABC中，


∵點(diǎn)D為斜邊AB上的中點(diǎn)，


∴CD＝AB，CD⊥AB，


∵AD＝AB，


∴AD＝CD，


∵CD⊥AB，


∴∠ADG＝∠CDE＝90°，


∵AH⊥CE，


∴∠CGH+∠GCH＝90°，


∵∠AGD+∠GAD＝90°，


又∵∠AGD＝∠CGH，


∴∠GAD＝∠GCH，


在△△ADG和△CDE中


∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH


∴△ADG≌△CDE（ASA），


（2）∵AH⊥CE，點(diǎn)H為CE的中點(diǎn)，


∴AC＝AE，


∴∠CAH＝∠EAH，


∵∠CAH+∠AFC＝90°，


∠EAH+∠AGD＝90°，


∴∠AFC＝∠AGD，


∵∠AGD＝∠CGH，


∴∠AFC＝∠CGH，


即∠CGF＝∠CFG．








3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．


（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度數(shù)；


（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周長(zhǎng)．





解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC


∴AB＝AE＝EC


∴∠C＝∠CAE，


∵∠BAE＝32°


∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；


∴∠C＝∠AED＝37°；





（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，


∵BD＝DE，


∴AB+BD＝EC+DE＝DC，


∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC，


＝AB+BD+DC+AC，


＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．


4．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D．


（1）求證：∠AOB＝90°+∠C；


（2）求證：AE+BF＝EF；


（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示△CEF的面積，S△CEF＝ ab （直接寫出結(jié)果）．





證明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，


∴，，


∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝


（2）∵EF∥AB，


∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF


又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，


∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，


∴AE＝OE，BF＝OF，


∴EF＝OE+OF＝AE+BF；


（3）∵點(diǎn)O在∠ACB的平分線上，


∴點(diǎn)O到AC的距離等于OD，


∴S△CEF＝（CE+CF）?OD＝?2b?a＝ab，


故答案為：ab．


5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E．


（1）求證：BD?AD＝DE?AC．


（2）若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長(zhǎng)．


（3）在（2）的條件下，求cs∠BDE的值．





證明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，


∴AD⊥BC，∠B＝∠C，


∵DE⊥AB，


∴∠DEB＝∠ADC，


∴△BDE∽△CAD．


∴，


∴BA?AD＝DE?CA；


（2）∵AB＝AC，BD＝CD，


∴AD⊥BC，


在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，


∵?AD?BD＝?AB?DE，


∴DE＝．


（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，


∴∠BDE＝∠BAD，


∴cs∠BDE＝cs∠BAD＝．


6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．


（1）求證：BD＝CD．


（2）若弧DE＝50°，求∠C的度數(shù)．


（3）過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的長(zhǎng)．





（1）證明：如圖，連接AD．


∵AB是圓O的直徑，


∴AD⊥BD．


又∵AB＝AC，


∴BD＝CD．





（2）解：∵弧DE＝50°，


∴∠EOD＝50°．


∴∠DAE＝∠DOE＝25°．


∵由（1）知，AD⊥BD，則∠ADB＝90°，


∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．


∵AB＝AC，


∴∠C＝∠ABD＝65°．





（3）∵BC＝8，BD＝CD，


∴BD＝4．


設(shè)半徑OD＝x．則AB＝2x．


由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，


∵AD⊥BD，DF⊥AB，


∴BD2＝BF?AB，即42＝x?2x．


解得x＝4．


∴OB＝OD＝BD＝4，


∴△OBD是等邊三角形，


∴∠BOD＝60°．


∴弧BD的長(zhǎng)是：＝．





7．閱讀下面材料：


數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：


如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．





經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：





完成下面問題：


（1）①思路一的輔助線的作法是： 延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG ；


②思路二的輔助線的作法是： 作BG＝BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G ．


（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程）．


解：（1）①延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG，如圖①，理由如下：


∵AD為△ABC中線，


∴BD＝CD，


在△ADC和△GDB中，，


∴△ADC≌△GDB（SAS），


∴AC＝BG，


∵AE＝EF，


∴∠CAD＝∠EFA，


∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，


∴∠G＝∠BFG，


∴BG＝BF，


∴AC＝BF．


故答案為：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；


②作BG＝BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖②．理由如下：


∵BG＝BF，


∴∠G＝∠BFG，


∵AE＝EF，


∴∠EAF＝∠EFA，


∵∠EFA＝∠BFG，


∴∠G＝∠EAF，


在△ADC和△GDB中，，


∴△ADC≌△GDB（AAS），


∴AC＝BG，


∴AC＝BF；


故答案為：作BG＝BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；


（2）作BG∥AC交AD的延長(zhǎng)線于G，如圖③所示：


則∠G＝∠CAD，


∵AD為△ABC中線，


∴BD＝CD，


在△ADC和△GDB中，，


∴△ADC≌△GDB（AAS），


∴AC＝BG，


∵AE＝EF，


∴∠CAD＝∠EFA，


∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，


∴∠G＝∠BFG，


∴BG＝BF，


∴AC＝BF．











8．如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，OC平分∠AOB交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥OC交y軸于點(diǎn)E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n滿足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．


（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；


（2）若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，求OE的長(zhǎng)；


（3）如圖2，若點(diǎn)P（x，﹣2x+4）為直線AB在x軸下方的一點(diǎn)，點(diǎn)E是y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以E為直角頂點(diǎn)作等腰直角△PEF，使點(diǎn)F在第一象限，且F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．





解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，


∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，


∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，


∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，


∴m＝2，n＝4，


∴點(diǎn)A為（2，0），點(diǎn)B為（0，4）；


（2）延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使得DG＝DF，連接BG，


設(shè)OE＝x，


∵OC平分∠AOB，


∴∠BOC＝∠AOC＝45°，


∵DE∥OC，


∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，


∴OE＝OF＝x，


在△ADF和△BDG中，


，


∴△ADF≌△BDG（SAS），


∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，


∴∠G＝∠BEG＝45°，


∴BG＝BE＝4﹣x，


∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，


∴OE＝1；


（3）如圖2，分別過點(diǎn)F、P作FM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)E為（0，m），


∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+4），


∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，


∵∠PEF＝90°，


∴∠PEN+∠FEM＝90°，


∵FM⊥y軸，


∴∠MFE+∠FEM＝90°，


∴∠PEN＝∠MFE，


在△EFM和△PEN中，


，


∴△EFM≌△PEN（AAS），


∴ME＝NP＝x，F(xiàn)M＝EN＝m+2x﹣4，


∴點(diǎn)F為（m+2x﹣4，m+x），


∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，


∴m+2x﹣4＝m+x，


解得：x＝4，


∴點(diǎn)P為（4，﹣4）．








9．在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．


（1）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)（如圖1），則AD ＝ BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 30 度；


（2）設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O．


①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），試判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；


②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，試判斷∠AOB是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出∠AOB的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．





解：（1））∵△ABC與△DEC都是等邊三角形


∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°


∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE


∴∠ACD＝∠BCE．


在△ADC和△BEC中


，


∴△ACD≌△BCE（SAS），


∴AD＝BE；


∵△ABC是等邊三角形，


∴∠BAC＝60°．


∵線段AM為BC邊上的中線


∴∠CAM＝∠BAC，


∴∠CAM＝30°．


故答案為：＝，30；


（2）①AD＝BE，


理由如下：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形


∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，


∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，


∴∠ACD＝∠BCE，


∴△ACD≌△BCE（SAS）


∴AD＝BE．


②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，


理由如下：


當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，如圖1，由①知△ACD≌△BCE，則∠CBE＝∠CAD＝30°，





又∠ABC＝60°，


∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，


∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線


∴AM平分∠BAC，即，


∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．


當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，





∵△ABC與△DEC都是等邊三角形


∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°


∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE


∴∠ACD＝∠BCE


在△ACD和△BCE中


，


∴△ACD≌△BCE（SAS）


∴∠CBE＝∠CAD＝30°，


同理可得：∠BAM＝30°，


∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．


10．?dāng)?shù)學(xué)課上，王老師出示了如下框中的題目．小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：


（1）特殊情況?探索結(jié)論：在等邊三角形ABC中，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D在CB點(diǎn)延長(zhǎng)線上，且ED＝EC；如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出結(jié)論 AE＝DB ；


（2）特例啟發(fā)，解答題目


王老師給出的題目中，AE與DB的大小關(guān)系是： AE＝DB ．理由如下：


如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，（請(qǐng)你完成以下解答過程）


（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題


在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，AE＝2；點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，ED＝EC，如圖3，請(qǐng)直接寫CD的長(zhǎng) 1或3 ．








解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，





∵△ABC為等邊三角形，


∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF為等邊三角形，


∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，


∵ED＝EC，


∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，


∴∠EDB＝∠FEC，


在△BDE和△FEC中，


，


∴△BDE≌△FEC（AAS），


∴BD＝EF，


∴AE＝BD，


故答案為：＝；


（2）解答過程如下：如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，





∵△ABC為等邊三角形，


∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF為等邊三角形，


∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，


∵ED＝EC，


∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，


∴∠EDB＝∠FEC，


在△BDE和△FEC中


，


∴△BDE≌△FEC（AAS），


∴BD＝EF，


∴AE＝BD．


故答案為：AE＝DB．


（3）解：分為四種情況：


如圖3，





∵AB＝AC＝1，AE＝2，


∴B是AE的中點(diǎn)，


∵△ABC是等邊三角形，


∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），


∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，


∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，


∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，


即△DEB是直角三角形．


∴BD＝2BE＝2（30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），


即CD＝1+2＝3．


如圖4，





過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M，


∵等邊三角形ABC，EC＝ED，


∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，


∴△BAN∽△BEM，


∴，


∵△ABC邊長(zhǎng)是1，AE＝2，


∴，


∴MN＝1，


∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，


∴CD＝2CM＝1；


如圖5，





∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理，


∴此時(shí)不存在EC＝ED；


如圖6，





∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，


又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，


∴∠ECD＞∠EDC，


即此時(shí)ED≠EC，


∴此時(shí)情況不存在，


答：CD的長(zhǎng)是3或1．


故答案為：1或3．


11．定義：如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱這樣的三角形為“倍角三角形”．


（1）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求證：△ABC是倍角三角形；


（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面積；


（3）如圖2，△ABC的外角平分線AD與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，請(qǐng)你找出圖中的倍角三角形，并進(jìn)行證明．





（1）證明：∵AB＝AC，


∴∠B＝∠C，


∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，


∴∠B＝∠C＝72°，


∴∠A＝2∠C，


即△ABC是倍角三角形，


（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，


①當(dāng)∠B＝2∠C，得∠C＝15°，


過C作CH⊥直線AB，垂足為H，





可得∠CAH＝45°，


∴AH＝CH＝AC＝4．


∴BH＝，


∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，


∴S＝．


②當(dāng)∠A＝2∠B或∠A＝2∠C時(shí)，與∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．


綜上所述，△ABC面積為．


（3）∵AD平分∠BAE，


∴∠BAD＝∠EAD，


∵AB＝AE，AD＝AD，


∴△ABD≌△AED（SAS），


∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．


又∵AB+AC＝BD，


∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．


∴CE＝DE．


∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．


∴△ADC是倍角三角形．


12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA＝OB，AC＝CD，已知兩點(diǎn)A（4，0），C（0，7），點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，∠DCA＝90°，點(diǎn)B在線段OC上，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，AC與BD交于點(diǎn)N．


（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為： （0，4） ；


（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；


（3）求證：CM＝CN．





解：（1）∵A（4，0），


∴OA＝OB＝4，


∴B（0，4），


故答案為：（0，4）．


（2）∵C（0，7），


∴OC＝7，


過點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，





∴∠DEC＝∠AOC＝90°，


∵∠DCA＝90°，


∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°


∴∠BCA＝∠EDC，


∴△DEC≌△COA（AAS），


∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，


∴OE＝OC+EC＝11，


∴D（7，11）；


（3）證明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7


∴BE＝DE，


∴△DBE是等腰直角三角形，


∴∠DBE＝45°，


∵OA＝OB，


∴∠OBA＝45°，


∴∠DBA＝90°，


∴∠BAN+∠ANB＝90°，


∵∠DCA＝90°，


∴∠CDN+∠DNC＝90°，


∵∠DNC＝∠ANB，


∴∠CDN＝∠BAN，


∵∠DCA＝90°，


∴∠ACM＝∠DCN＝90°，


∴△DCN≌△ACM（ASA），


∴CM＝CN．


13．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為C，且∠A＜∠C，點(diǎn)E是一動(dòng)點(diǎn)，其在BC上移動(dòng)，連接DE，并過點(diǎn)E作EF⊥DE，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，連接DF交BC于點(diǎn)G．


（1）請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以上提示，在上圖基礎(chǔ)上補(bǔ)全示意圖．


（2）當(dāng)△ABD與△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度數(shù)．





解：（1）補(bǔ)全示意圖如圖所示，








（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，


∴∠DEF＝∠ADB＝90°．


∵△ABD與△DEF全等，


∴AB＝DF，


又∵AD＝FE，


∴∠ABD＝∠FDE，


∴BD＝DE．


在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．


∴∠FDE＝60°．


∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，


∵∠AFD＝40°，


∴∠BDF＝20°．


∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．


∵BD＝DE，


∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．


在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．


14．如圖．CP是等邊△ABC的外角∠ACE的平分線，點(diǎn)D在邊BC上，以D為頂點(diǎn)，DA為一條邊作∠ADF＝60°，另一邊交射線CP于F．





（1）求證．AD＝FD；


（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；


（3）聯(lián)結(jié)AF，當(dāng)△ADF的面積為時(shí)，求BD的長(zhǎng)．


證明：（1）如圖1，連接AF，





∵∠ACB＝60°，


∴∠ACE＝120°，


∵CP平分∠ACE，


∴∠ACP＝∠PCE＝60°，


∴∠ADF＝∠ACP＝60°，


∴A、D、C、F四點(diǎn)共圓，


∴∠AFD＝∠ACB＝60°，


∴∠ADF＝∠AFD＝60°，


∴∠DAF＝60°，


∴△ADF是等邊三角形，


∴AD＝FD；


（2）如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BC，





∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，AB＝2，


∴BH＝1，AH＝BH＝，


∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，


∵DF＝＝，


∴y＝


（3）∵△ADF是等邊三角形，且△ADF的面積為，


∴DF2＝，


∴DF2＝＝x2﹣2x+4


∴x＝


∴BD＝或


15．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)120°的角，角的兩邊分別交直線AB、直線AC于M、N兩點(diǎn)．以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)∠MDN（∠MDN的度數(shù)不變），當(dāng)DM與AB垂直時(shí)（如圖①所示），易證BM+CN＝BD．


（1）如圖②，當(dāng)DM與AB不垂直，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC上時(shí)，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；


（2）如圖③，當(dāng)DM與AB不垂直，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)寫出BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．





解：（1）結(jié)論BM+CN＝BD成立，理由如下：


如圖②，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E，





∵△ABC是等邊三角形，


∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，


∵DE∥AC，


∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，


∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，


∴△BDE是等邊三角形，∠EDC＝120°，


∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，


∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，


∴∠CDN＝∠EDM，


∵D是BC邊的中點(diǎn)，


∴DE＝BD＝CD，


在△CDN和△EDM中，


，


∴△CDN≌△EDM（ASA），


∴CN＝EM，


∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；


（2）上述結(jié)論不成立，BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系為：BM﹣CN＝BD；理由如下：


如圖③，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于E，





∵△ABC是等邊三角形，


∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，


∴∠NCD＝120°，


∵DE∥AC，


∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，


∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，


∴△BDE是等邊三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，


∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，


∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，


∴∠CDN＝∠EDM，


∵D是BC邊的中點(diǎn)，


∴DE＝BD＝CD，


在△CDN和△EDM中，


，


∴△CDN≌△EDM（ASA），


∴CN＝EM，


∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，


∴BM﹣CN＝BD．





思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．



思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．



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