?2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練《圓的綜合》
1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，，AC為直徑，DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝8，CE＝3，求CD的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC為直徑，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴，即，
∴．
2．如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BD＝2，sinD＝時，求AE的長．

（1）證明：連接OC，如圖，
∵點C為弧BF的中點，
∴弧BC＝弧CF．
∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵sinD＝＝，
∴設(shè)OC＝3x，OD＝5x，
則5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴OC＝3，OD＝5，
∴AD＝8，
∵sinD＝＝＝，
∴AE＝．


3．如圖，已知直線l切⊙O于點A，B為⊙O上一點，過點B作BC⊥l，垂足為點C，連接AB、OB．
（1）求證：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半徑．

（1）證明：連接OA，

∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC切⊙O于A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；

（2）解：過O作OD⊥BC于D，

∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴OD＝AC＝1，
在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OD⊥BC，OD過O，
∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝＝，
即⊙O的半徑是．

4．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，經(jīng)過點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC交EC的延長線于點D，連接AC．
（1）求證：AC平分∠DAE；
（2）若cos∠DAE＝，BE＝2，求⊙O的半徑．

（1）證明：連接OC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵OC∥AD，
∴∠DAE＝∠COE，
∴cos∠DAE＝cos∠COE＝，BE＝2，
∴＝，
解得：r＝4，
即⊙O的半徑為4．
5．如圖a，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的為弦，PA為⊙O的切線，∠APC＝2∠1．
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）當(dāng)∠1＝30°，AB＝4時，其他條件不變，求圖b中陰影部分的面積．

（1）證明：連結(jié)OC，
在圓O中，OA＝OC，
∴∠BOC＝2∠1＝∠APC，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠APC+∠AOC＝180°，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠OAP＝90°
又四邊形內(nèi)角和為360°，
∴∠OCP＝90°，OC為⊙O的半徑，
∴PC為⊙O的切線；

（2）解：PA為⊙O的切線，PC為⊙O的切線．
∴PA＝PC，
∵∠1＝30°，∠APC＝2∠1，
∴∠APC＝60°，
∴△APC為等邊三角形，
連結(jié)OP，OC，
∵S四邊形AOCP＝2××2×2＝4，S扇形AOC＝×π×4＝π，
∴S陰影部分的面積＝4﹣π．


6．如圖，線段AB經(jīng)過⊙O的圓心，交⊙O于A，C兩點，BC＝1，AD為⊙O的弦，連接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，連接DO并延長交⊙O于點E，連接BE交⊙O于點M．
（1）求證：直線BD是⊙O的切線；
（2）求切線BD的長；
（3）求線段BM的長．

（1）證明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OD⊥BD，
∵OD過O，
∴直線BD是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)OD＝OC＝r，
在Rt△BDO中，sin30°＝＝，
解得：r＝1，
即OD＝1，OB＝1+1＝2，
由勾股定理得：BD＝＝；

（3）解：連接DM，
∵DE是⊙O的直徑，
∴∠DME＝90°，
即∠DMB＝∠BDE＝90°，
∵∠DBM＝∠DBE，
∴△BMD∽△BDE，
∴，
∴，
解得：BM＝．
7．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，且AC為⊙O的直徑，＝，延長BC到E，使得BE＝AB，連接DE．
（1）求證：AD＝DE；
（2）若DE為⊙O的切線，且DE＝2，求的長度．

（1）證明：連接BD，
∵＝，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵AB＝BE，BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝DE；

（2）解：連接OD，
∵＝，
∴AD＝CD，
∵AD＝DE，
∴CD＝DE，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠B＝∠ADC＝90°，
∵AD＝CD，O為AC的中點，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°，
∵DE為⊙O的切線，
∴∠ODE＝90，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ADE＝90°+45°＝135°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，
∴∠BAD＝67.5°，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∴AC＝4，
∴OC＝2，
∴的長度是＝．
8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥AC，垂足為D點，直線OD與⊙O相交于E，F(xiàn)兩點，P是⊙O外一點，P在直線OD上，連接PA，PB，PC，且滿足∠PCA＝∠ABC
（1）求證：PA＝PC；
（2）求證：PA是⊙O的切線；
（3）若BC＝8，，求DE的長．

（1）證明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分線，
∴PA＝PC，

（2）證明：由（1）知：PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切線；

（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，
∵＝，
設(shè)AB＝3a，DF＝2a，
∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．
9．如圖，C是上的一定點，D是弦AB上的一定點，P是弦CB上的一動點，連接DP，將線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD′，射線PD′與交于點Q．已知BC＝6cm，設(shè)P，C兩點間的距離為xcm，P，D兩點間的距離為y1cm，P，Q兩點間的距離為y2cm．

小石根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究，下面是小石的探究過程，請補充完整：
（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應(yīng)值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
4.29
3.33

1.65
1.22
1.50
2.24
y2/cm
0.88
2.84
3.57
4.04
4.17
3.20
0.98
（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點（x，y1），（x，y2），并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：連接DQ，當(dāng)△DPQ為等腰三角形時，PC的長度約為　1.3或5.7　cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
解：（1）觀察圖象發(fā)現(xiàn)規(guī)律可知：
表格數(shù)據(jù)為：2.44；
（2）如圖所示：
即為兩個函數(shù)y1，y2的圖象；

（3）觀察圖象可知：
兩個圖象的交點的橫坐標(biāo)即為△DPQ為等腰三角形時，PC的長度，
兩個交點的橫坐標(biāo)為1.3和5.7．
故答案為：1.3或5.7．
10．如圖（1），某數(shù)學(xué)活動小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，此時PA?PB＝PC?PD
（1）如圖（2），若AB與CD相交于圓外一點P，上面的結(jié)論是否成立？請說明理由．
（2）如圖（3），將PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)至與⊙O相切于點C，直接寫出PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖（3），直接利用（2）的結(jié)論，求當(dāng)PC＝，PA＝1時，陰影部分的面積．
解：（1）成立．理由如下：

如圖（2），連接AD、BC，
則∠B＝∠D
∵∠P＝∠P
∴△PAD∽△PCB
∴＝
∴PA?PB＝PC?PD；
（2）PC2＝PA?PB
理由如下：

如圖（3），連接BC，OC，
∵PC與⊙O相切于點C，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠OCB＝∠OBC
∴∠PCA＝∠OBC
∵∠P＝∠P
∴△PCA∽△PBC
∴PC：PB＝PA：PC
∴PC2＝PA?PB．
（3）如圖（3），連接OC，
∵PC2＝PA?PB，PC＝，PA＝1
∴PB＝3，AO＝CO＝1
∴PO＝2
∵PC與⊙O相切于點C，
∴△PCO是直角三角形
∴sin∠CPO＝＝
∴∠CPO＝30°，∠COP＝60°
∴△AOC為等邊三角形
∴S△AOC＝＝
S扇形AOC＝＝
∴S陰影＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣．
11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，2），點B在x軸上，以AB為直徑作⊙C，點P在y軸上，且在點A上方，過點P作⊙C的切線PQ，Q為切點，如果點Q在第一象限，則稱Q為點P的離點．例如，圖1中的Q為點P的一個離點．

（1）已知點P（0，3），Q為P的離點．
①如圖2，若B（0，0），則圓心C的坐標(biāo)為?。?，1）　，線段PQ的長為　　；
②若B（2，0），求線段PQ的長；
（2）已知1≤PA≤2，直線l： y＝kx+k+3（k≠0）．
①當(dāng)k＝1時，若直線l上存在P的離點Q，則點Q縱坐標(biāo)t的最大值為　6　；
②記直線l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分為圖形G，如果圖形G上存在P的離點，直接寫出k的取值范圍．
解：（1）①如圖可知：C（0，1），
在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，
∴PQ＝，
故答案為（0，1）；；
②如圖，過C作CM⊥y軸于點M，連接CP，CQ．
∵A（0，2），B（2，0），
∴C（1，1）．
∴M（0，1）．
在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．
∴CQ＝．
∵P（0，3），M（0，1），
∴PM＝2．
在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．
在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．
（2）①如圖1：當(dāng)k＝1時，y＝x+4，
∴Q（t﹣2，t），
∴CQ＝，
當(dāng)t＝2時，CQ最大，
在Rt△CDQ中，CD＝，CQ最大則DQ最大，
∴Q（2，6），
故答案為6；
②∵﹣1≤x≤1，
Q點的在端點（﹣1，3）和（1，2k+4）之間運動，
當(dāng)Q在（1，2k+4），P（0，4）時，
直線PQ的解析式y(tǒng)＝（2k﹣1）x+4，
點C（1，1）到直線PQ的距離為時，可得k＝0或k＝4，
∴0＜k＜4．


12．已知AB為⊙O的直徑．
（1）如圖a，點D為的中點，當(dāng)弦BD＝AC時，求∠A．
（2）如圖b，點D為的中點，當(dāng)AB＝6，點E為BD的中點時，求OE的長．
（3）如圖c，點D為上任意一點（不與A、C重合），若點C為的中點，探求BD、AD、CD之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你探求的結(jié)論，不要求證明．

解：（1）如圖1，連結(jié)OC，

點D為的中點，
∴＝═，
∵弦BD＝AC，
∴＝，
∴═＝，即點C為的中點．
∴＝═
∠A＝∠COB＝××180°＝30°．
（2）如圖2，連結(jié)OD，BC，OD交AC于點F，

AB為⊙O的直徑，
∴∠C＝90o
點D為的中點，半徑OD所在的直線為⊙O的對稱軸，
則點A的對應(yīng)點為C，
∴OD⊥AC，OD平分AC，即：AF＝CF，
在△DEF和△BEC中，
，
∴△DEF≌△BEC （AAS），
∴CE＝EF，BC＝DF，
∵AO＝BO，AF＝CF，
∴OF＝BC＝DF，又AB＝6，
∴OD＝3
∴OF＝1，BC＝DF＝2．
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵點F為AC的中點，點E為FC的中點
∴EF＝，
在Rt△OFE中，EF＝，OF＝1，
∴OE＝＝＝．
（3）BD、AD、CD之間的關(guān)系為：BD﹣AD＝CD，
如圖3，連接BC，OC，

∵AB為⊙O的直徑，點C為的中點，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
過點C作CF⊥CD交BD 于點F，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，
又∵AC＝BC，CD＝CF
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，
∵BD＝BF+DF，
∴BD＝AD+CD，
即BD﹣AD＝CD．
13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連接CP、OP．
（1）求證：點D為BC的中點；
（2）求AP的長度；
（3）求證：CP是⊙O的切線．

解：（1）BD＝DC．理由如下：
如圖1，連接AD，

∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．

（2）如圖1，連接AP．
∵AD是等腰△ABC底邊上的中線，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝45°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∵AO＝AB＝5．
∴AP＝AO＝5；

（3）解法一：設(shè)OP交AC于點G，如圖1，則∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切線；
解法二：如圖2，作CM⊥AB于M，
∵∠BOP＝90°，
∴CM∥OP，
∵OP＝AB，
在Rt△AME中，
∵∠BAC＝30°，可
∴CM＝AC，
∴CM＝AB，
∴CM＝OP，
∴四邊形OPCM是矩形，
∴∠CPO＝90°，
∴CP是圓O的切線．


14．如圖，⊙O的半徑為，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)是⊙O上一點，連接FO、FB．C為劣弧的中點，過點C作CD⊥AB，垂足為D，CD交FB于點E，CG∥FB，交AB的延長線于點G．

（1）求證：CG是⊙O的切線；
（2）連接BC，若BC∥OF，如圖2．
①求CE的長；
②圖中陰影部分的面積等于　2π?。?br /> （1）證明：如圖1，連接CO．
∵C是的中點，
∴∠BOC＝∠FOC．
又∵OF＝OB，
∴OC⊥BF．
∵CG∥FB，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切線．

（2）①∵OF∥CB，
∴∠AOF＝∠OBC，∠COF＝∠OCB．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°．
∴△OBC是等邊三角形．
∵CD⊥OB，OC⊥BF，
∴點E是△OBC的重心．
∴CE＝2ED＝CD．
又∵⊙O的半徑為，
∴可求得：CD＝OC?sin60°＝2×＝3，DE＝1，
∴CE＝2；

②．
故答案是：2π．



相關(guān)試卷

2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（浙江專用）壓軸題04 圓的綜合壓軸題（含解析）：

這是一份2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（浙江專用）壓軸題04 圓的綜合壓軸題（含解析），共45頁。試卷主要包含了，連接OF等內(nèi)容，歡迎下載使用。

壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練（全國通用）：

這是一份壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練（全國通用），文件包含壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練全國通用解析版docx、壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練全國通用原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共87頁， 歡迎下載使用。

2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練 壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題（試題+答案）：

這是一份2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練 壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題（試題+答案），文件包含2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題答案docx、2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練壓軸題11二次函數(shù)與圓綜合問題試題docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共70頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練03圓含解析

中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練03圓含解析
中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練07綜合探究類含解析

中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練07綜合探究類含解析
中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練12二次函數(shù)的綜合含解析

中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練12二次函數(shù)的綜合含解析
中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練13函數(shù)綜合含解析

中考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練13函數(shù)綜合含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部