?2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練《二次函數(shù)》
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，b的值；
（2）若點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，將該拋物線(xiàn)向左（或向右）平移，得到一條新拋物線(xiàn)，并且新拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），
∴，解得；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，C（3，0），
∵點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，
∴點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x＝1上，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+3，
令x＝1，則y＝﹣1+3＝2，
∴P（1，2），
設(shè)平移后的新拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣（x﹣h）2+4，
∵新拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，
∴2＝﹣（1﹣h）2+4，
解得h1＝1+，h2＝1﹣，
∴新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，4）或（1﹣，4）．

2．如圖a，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、C（0，2），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）如圖b，將△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到△BAC′，試判斷四邊形BC′AC的形狀．并證明你的結(jié)論．
（3）如圖a，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式并解得：
b＝1，c＝2，
故：拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）四邊形BC′AC為矩形．
拋物線(xiàn)y＝﹣x2+x+2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為：（﹣1，0）
由勾股定理求得：BC＝，AC＝2，又AB＝5，
由勾股定理的逆定理可得：△ABC直角三角形，
故∠BCA＝90°；
已知，△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180o得到△BAC′，則A、B互為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BC＝AC'，AC＝BC'
所以，四邊形BC′AC為平行四邊形，已證∠BCA＝90°，
∴四邊形BC′AC為矩形；

（3）存在點(diǎn)D，
使得以A、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，
則點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
故：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）．

3．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)AC交二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）若二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)Q，使得tan∠ABQ＝3，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）對(duì)于（2）中的Q點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x＝1，點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A（﹣1，0），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式并解得：m＝﹣3，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）tan∠ABQ＝3，點(diǎn)B（3，0），
則AQ所在的直線(xiàn)為：y＝±3x（x﹣3）…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，
故點(diǎn)Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；

（3）不存在，理由：
△QBP∽△COA，則∠QBP＝90°
①當(dāng)點(diǎn)Q（2，﹣3）時(shí)，
則BQ的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣3）…③，
聯(lián)立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故點(diǎn)P（﹣，），
此時(shí)BP：PQ≠OA：OB，故點(diǎn)P不存在；
②當(dāng)點(diǎn)Q（﹣4，21）時(shí)，
同理可得：點(diǎn)P（﹣，），
此時(shí)BP：PQ≠OA：OB，故點(diǎn)P不存在；
綜上，點(diǎn)P不存在．

4．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D（0，﹣3），與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且AD：DE＝3：2．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，求MD+MA的最小值．

解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，
∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，則A（﹣6，0），
作EF⊥x軸于F，如圖，
∵OD∥EF，
∴＝＝，
∴OF＝OA＝4，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x﹣3＝﹣5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣5），
把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，
∴拋物線(xiàn)解析式為y＝﹣x2﹣x+；
（2）作MH⊥AD于H，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，如圖，則D′（0，3），
在Rt△OAD中，AD＝＝3，
∵∠MAH＝∠DAO，
∴Rt△AMH∽R(shí)t△ADO，
∴＝，即＝，
∴MH＝AM，
∵M(jìn)D＝MD′，
∴MD+MA＝MD′+MH，
當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線(xiàn)時(shí)，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此時(shí)MD+MA的值最小，
∵∠D′DH＝∠ADO，
∴Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA，
∴＝，即＝，解得D′H＝，
∴MD+MA的最小值為．

5．如圖1，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖2，直線(xiàn)AD：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)D，P點(diǎn)是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG∥y軸，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)G，與直線(xiàn)AD交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)C、D、H、G四個(gè)點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）如圖3，連接AC和BC，Q點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，當(dāng)∠QAC＝∠BCO時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①；

（2）直線(xiàn)AD：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D（0，1），則CD＝2；
設(shè)點(diǎn)P（x，0），則點(diǎn)H（x， x+1）、點(diǎn)G（x，﹣x2﹣2x+3），
則GH＝CD＝2，即|x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，
解得：x＝﹣或，
故點(diǎn)P（﹣，0）或（，0）或（，0）；

（3）設(shè)直線(xiàn)AQ′交y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AC交于點(diǎn)M，交AQ于點(diǎn)H′，

設(shè)：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，則tan∠CAH＝，則AM＝3x，
故AC＝AM+CM＝4x＝3，解得：x＝，則CH＝x＝，
OH＝OC﹣CH＝，
故點(diǎn)H（0，），同理點(diǎn)H′（﹣，3），
由點(diǎn)AH坐標(biāo)得，直線(xiàn)AH的表達(dá)式為：y＝（x+3）…②，
同理直線(xiàn)AH′的表達(dá)式為：y＝2（x+3）…③，
聯(lián)立①②并解得：x＝﹣3（舍去）或；
聯(lián)立①③并解得：x＝﹣3（舍去）或﹣1；
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，）或（﹣1，4）．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A．
（1）直接寫(xiě)出：b的值為　﹣??；c的值為　﹣2　；點(diǎn)A的坐標(biāo)為　（﹣1，0）　；
（2）點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC下方的二次函數(shù)圖象上．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
①如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，求線(xiàn)段DM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求線(xiàn)段DM的最大值；
②若△CDM為等腰直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)　1?。?br />
解：（1）直線(xiàn)y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，
則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為：（4，0）、（0，﹣2），
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式并解得：b＝﹣，c＝﹣2，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣2…①，點(diǎn)A（﹣1，0）；
故答案為：﹣，﹣2，（﹣1，0）；

（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)D（m， m2﹣m﹣2），點(diǎn)H（m， m﹣2），
則∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC＝＝tanα，則cos；
MD＝DHcos∠MDH＝（m﹣2﹣m2+m+2）＝（﹣m2+4m），
∵＜0，故DM有最大值；
設(shè)點(diǎn)M、D的坐標(biāo)分別為：（s， s﹣2），（m，n），n＝m2﹣m﹣2；
②（Ⅰ）當(dāng)∠CDM＝90°時(shí)，如圖2左圖，
過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線(xiàn)交過(guò)點(diǎn)D于x軸的垂線(xiàn)于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)E，

則△MEC≌△DFM（AAS），
∴ME＝FD，MF＝CE，
即s﹣2＝2＝m﹣s，s＝s﹣2﹣n，
解得：s＝，
故點(diǎn)M（，﹣）；
（Ⅱ）當(dāng)∠MDC＝90°時(shí)，如圖2右圖，
同理可得：s＝，
故點(diǎn)M（，﹣）；
（Ⅲ）當(dāng)∠MCD＝90°時(shí)，
則直線(xiàn)CD的表達(dá)式為：y＝﹣2x﹣2…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝0或﹣1，
故點(diǎn)D（﹣1，0），不在線(xiàn)段BC的下方，舍去；
綜上，點(diǎn)M坐標(biāo)為：（，﹣）或（，﹣）．
7．如圖，拋物線(xiàn)y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求線(xiàn)段OC的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)直線(xiàn)BC與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)BD和拋物線(xiàn)的解析式，
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PF∥AB交BD于點(diǎn)F，是否存在一點(diǎn)P，使得PE+PF最大，若存在，請(qǐng)求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）a（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x1＝1，x2＝3，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵△OCA∽△OBC，
∴＝，即＝，
解得，OC＝；
（2）在Rt△BOD中，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，
∴BD＝2OC＝2，
由勾股定理得，OD＝＝＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣）
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為：y＝kx+b，
則，
解得，，
則直線(xiàn)BD的解析式為：y＝x﹣，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣），點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣），
∴﹣＝a（﹣1）（﹣3），
解得，a＝，
∴拋物線(xiàn)的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣x+2；
（3）作PG⊥OB交BD于G，
tan∠OBD＝＝，
∴∠OBD＝30°，
∵PF∥AB，
∴∠PFG＝∠OBD＝30°，
∴PF＝PG，
∵PE⊥BC，PF⊥PG，
∴∠EPG＝∠PFG＝30°，
∴PE＝PG，
∴PE+PF＝PG+PG＝PG，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， m2﹣m+2），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m， m﹣），
∴PG＝m﹣﹣（m2﹣m+2）
＝﹣m2+3m﹣3
∴PE+PF＝PG
＝﹣3m2+m﹣
＝﹣3（m﹣）2+，
則PE+PF的最大值為．

8．已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC＝OB．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在y軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)D，使∠CBD＝∠ADC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D′，將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c向下平移h個(gè)單位，與線(xiàn)段DD′只有一個(gè)交點(diǎn)，直接寫(xiě)出h的取值范圍．

解：（1）OC＝OB，則點(diǎn)C（0，﹣3），
拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），
﹣6a＝﹣3，解得：a＝，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）設(shè)：CD＝m，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，

則CH＝HD＝m，
tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝＝，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），
故點(diǎn)D（0，﹣6）；

（3）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)交DH的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D′，則D′（﹣3，﹣3）；
平移后拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣3﹣h，
當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段DD′有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，h＝3；
當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D′時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段DD′有一個(gè)公共點(diǎn)，
即﹣3＝9﹣h，解得：h＝15，
故3≤h≤15．
9．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x2的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l，將直線(xiàn)l繞著點(diǎn)P（0，2）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α的度數(shù)后與該拋物線(xiàn)交于AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)Q是該拋物線(xiàn)上一點(diǎn)
（1）若∠α＝45°，求直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)p將線(xiàn)段分成2：3的兩部分，求點(diǎn)A的坐標(biāo)
（3）如圖②，在（1）的條件下，若點(diǎn)Q在y軸左側(cè)，過(guò)點(diǎn)p作直線(xiàn)l∥x軸，點(diǎn)M是直線(xiàn)l上一點(diǎn)，且位于y軸左側(cè)，當(dāng)以P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△PAM相似時(shí)，求M的坐標(biāo)．
解：（1）∵∠α＝45°，則直線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x+b，
將（0，2）代入上式并解得：b＝2，
故直線(xiàn)AB的表達(dá)式為：y＝x+2；

（2）①AP：PB＝2：3，
設(shè)A（﹣2a，4a2）B（3a，9a2），
，
解得：，（舍去），
∴；
②AP：PB＝3：2，
設(shè)A（﹣3a，9a2），B（2a，4a2），
，
解得：，（舍去），
∴，
綜上或；

（3）∠MPA＝45°，∠QPB≠45°A（﹣1，1），B（2，4），
①∠QBP＝45°時(shí)，

此時(shí)B，Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
△PBQ為等腰直角三角形，
∴M1（﹣1，2）M2（﹣2，2），
②∠BQP＝45°時(shí)，
此時(shí)Q（﹣2，4）滿(mǎn)足，左側(cè)還有Q'也滿(mǎn)足，
∵BQP＝∠BQ'P，
∴Q'，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則圓心為BQ中點(diǎn)D（0，4）；
設(shè)Q'（x，x2），（x＜0），
Q'D＝BD，
∴（x﹣0）2+（x2﹣4）2＝22（x2﹣4）（x2﹣3）＝0，
∵x＜0且不與Q重合，
∴，
∴，Q'P＝2，
∵Q'P＝DQ'＝DP＝2，
∴△DPQ'為正三角形，
則，
過(guò)P作PE⊥BQ'，
則，，
∴，

當(dāng)△Q'BP～△PMA時(shí)，
，，
則，
故點(diǎn)；
當(dāng)△Q'PB～△PMA時(shí)，
，，
則，
故點(diǎn)；
綜上點(diǎn)M的坐標(biāo)：（﹣1，2），（﹣2，2），，．
10．如圖，Rt△FHG中，∠H＝90°，F(xiàn)H∥x軸，＝0.6，則稱(chēng)Rt△FHG為準(zhǔn)黃金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，﹣3），頂點(diǎn)為C（1，﹣4），點(diǎn)D為二次函數(shù)y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）圖象的頂點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)y1的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若準(zhǔn)黃金直角三角形的頂點(diǎn)F與點(diǎn)A重合、G落在二次函數(shù)y1的圖象上，求點(diǎn)G的坐標(biāo)及△FHG的面積；
（3）設(shè)一次函數(shù)y＝mx+m與函數(shù)y1、y2的圖象對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)曲線(xiàn)分別交于點(diǎn)P、Q．且P、Q兩點(diǎn)分別與準(zhǔn)黃金直角三角形的頂點(diǎn)F、G重合，求m的值，并判斷以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）設(shè)二次函數(shù)y1的函數(shù)關(guān)系式為y1＝a（x﹣1）2﹣4，
將E（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)G[a，0.6（a+1）]，代入函數(shù)關(guān)系式，得，（a﹣1）2﹣4＝0.6（a+1），
解得a1＝3.6，a2＝﹣1（舍去），
所以點(diǎn)G坐標(biāo)為（3.6，2.76）．
由x2﹣2x﹣3＝0知x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0）、B（3，0），
則AH＝4.6，GH＝2.76，
∴S△FHG＝×4.6×2.76＝6.348；

（3）∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，
∴直線(xiàn)y＝mx+m過(guò)點(diǎn)A，
延長(zhǎng)QH，交x軸于點(diǎn)R，
由平行線(xiàn)的性質(zhì)得，QR⊥x軸．
∵FH∥x軸，
∴∠QPH＝∠QAR，
∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°，
∴△AQR∽△PHQ，
∴＝＝0.6，
設(shè)Q[n，0.6（n+1）]，
代入y＝mx+m中，得mn+m＝0.6（n+1），
整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1），
∵n+1≠0，
∴m＝0.6．
四邊形CDPQ為平行四邊形，
理由如下：
連接CD，并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，延長(zhǎng)KD，過(guò)點(diǎn)C作CT垂直KD延長(zhǎng)線(xiàn)，垂足為T(mén)，

∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4，
∴點(diǎn)D由點(diǎn)C向右平移m個(gè)單位，再向上平移0.6m個(gè)單位所得，
∴＝＝0.6，
∴tan∠KSD＝tan∠QAR，
∴∠KSD＝∠QAR，
∴AQ∥CS，即CD∥PQ．
∵AQ∥CS，
由拋物線(xiàn)平移的性質(zhì)可得，CT＝PH，DT＝QH，
∴PQ＝CD，
∴四邊形CDPQ為平行四邊形．
11．如圖，點(diǎn)P是二次函數(shù)y＝﹣+1圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0）在x軸上．
（1）以點(diǎn)P為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作⊙P．
①直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2）且與x軸平行，判斷⊙P與直線(xiàn)l的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②若⊙P與y軸相切，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）P1、P2、P3是這條拋物線(xiàn)上的三點(diǎn)，若線(xiàn)段BP1、BP2、BP3的長(zhǎng)滿(mǎn)足，則稱(chēng)P2是P1、P3的和諧點(diǎn)，記做T（P1，P3）．已知P1、P3的橫坐標(biāo)分別是2，6，直接寫(xiě)出T（P1，P3）的坐標(biāo)?。?，﹣）?。?br />
解：（1）①⊙P與直線(xiàn)相切．
過(guò)P作PQ⊥直線(xiàn)，垂足為Q，設(shè)P（m，n）．
則PB2＝（m﹣1）2+n2，PQ2＝（2﹣n）2
∵，即：（m﹣1）2＝4﹣4n，
∴PB2＝（m﹣1）2+n2＝4﹣4n+n2＝（2﹣n）2＝PQ2
∴PB＝PQ，
∴⊙P與直線(xiàn)相切；

②當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)PD＝PB＝PQ
∴|m|＝2﹣n，即：n＝2±m(xù)
代入（m﹣1）2＝4﹣4n
得：m2﹣6m+5＝0或m2+2m+5＝0．
解得：m1＝1，m2＝5．
∴P（1，1）或P（5，﹣3）；

（2）∵，則BP2＝（BP1+BP2），
P1、P3的橫坐標(biāo)分別是2，6，則點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為：（2，）、（6，﹣），
BP2＝（BP1+BP2）＝（+）＝，
設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為：（m，n），n＝﹣（m﹣1）2+1，
則（m﹣1）2+（n）2＝（）2，
解得：m＝1±，
故點(diǎn)P2的坐標(biāo)，即T（P1，P3）的坐標(biāo)為：或．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)N為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，若∠PCB＝∠BCO，求出P點(diǎn)的到y(tǒng)軸的距離．

（1）解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
可得，，
∴；
（2）存在點(diǎn)M使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
由題得，B（3，0），C（0，2），設(shè)N（1，n），M（x，y），
①四邊形CMNB是平行四邊形時(shí)，，∴x＝﹣2，
∴；
②四邊形CNBM時(shí)平行四邊形時(shí)，，∴x＝2，
∴M（2，2）；
③四邊形CNNB時(shí)平行四邊形時(shí)，，∴x＝4，
∴；
綜上所述：M（2，2）或或；
（3）解法一：過(guò)點(diǎn)B作BH平行于y軸交PC的延長(zhǎng)線(xiàn)與H點(diǎn)．

∵BH∥OC
∴∠OCB＝∠HBC
又∠OCB＝∠BCP
∴∠PCB＝∠HBC
∴HC＝HB
又OC⊥OB
∴HB⊥OB
故可設(shè)H（3，m），即HB＝HC＝m
過(guò)點(diǎn)H作HN垂直y軸于N
在Rt△HCN中，則m2＝32+（m﹣2）2
解得
∴
由點(diǎn)C、P的坐標(biāo)可得，設(shè)直線(xiàn)CP的解析式為；
故
解得x1＝0（舍去），
即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是

解法二、過(guò)點(diǎn)B作CP的垂線(xiàn)，垂足為M，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N，再過(guò)點(diǎn)B作DN的垂線(xiàn)，垂足為D，（以下簡(jiǎn)寫(xiě)）
可得△BOC≌△BMC
得BM＝BC＝3，OC＝CM＝2
設(shè)點(diǎn)M（m，n）
得BD＝n，CN＝n﹣2，MN＝m，MD＝3﹣m
可證△BDM∽△MNC
所以
得
解得，
則
同解法一直線(xiàn)CP的解析式
故
解得x1＝0（舍去），
即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是
13．如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)O，P為直線(xiàn)OA上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)OA及拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為D，并與直線(xiàn)OA交于點(diǎn)C，當(dāng)△PCO為等腰三角形時(shí)，求D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的點(diǎn)為Q，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，探索是否存在一點(diǎn)P，使得△PQM的面積為，如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）設(shè)直線(xiàn)OA的解析式為y1＝kx，
把點(diǎn)A坐標(biāo)（3，3）代入得：k＝1，
直線(xiàn)OA的解析式為y＝x；
再設(shè)y2＝ax（x﹣4），
把點(diǎn)A坐標(biāo)（3，3）代入得：a＝﹣1，
函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x，
∴直線(xiàn)OA的解析式為y＝x，二次函數(shù)的解析式是y＝﹣x2+4x．

（2）設(shè)D的橫坐標(biāo)為m，則P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+4m），
∵P為直線(xiàn)OA上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴0＜m＜3．
此時(shí)僅有OC＝PC，，
∴，解得，
∴；

（3）函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，頂點(diǎn)M（2，4），
設(shè)P（n，﹣n2+4n），
則Q（4﹣n，﹣n2+4n），M到直線(xiàn)PQ的距離為4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，
要使△PQM的面積為，
則，即，
解得：或，
∴或．
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)）．
（1）如圖1，若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣3，AB＝4．
①點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　﹣5　，　0　），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　﹣1　，　0　）；
②求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，將（1）中的拋物線(xiàn)向右平移若干個(gè)單位，再向下平移若干個(gè)單位，使平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與x正半軸交于點(diǎn)C，記平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）①∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣3，AB＝4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），
故答案為：﹣5；0﹣1；0；
②∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)（﹣5，0），（﹣1，0），
∴，
解得，，
則拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）如圖2，作PD⊥OC于D，
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴PD＝OC＝OD，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣（x﹣a）2+a，
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴﹣（0﹣a）2+a＝0，
解得，a1＝0（不合題意），a2＝1，
∴△OCP是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．

15．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，△APC的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
∵二次函數(shù)過(guò)C點(diǎn)（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+3）（0﹣1），
解得，a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3
即二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）設(shè)直線(xiàn)AC解析式為：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝﹣x﹣3，
過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），
則G（x，﹣x﹣3），
∵點(diǎn)P在第三象限，
∴PG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴＝＝＝，
∴當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P（﹣，﹣）．，
即S的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，﹣）．



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