（1）找出圖中的一對相似三角形并證明；
（2）求AC長．
【解析】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：
AB＝2，BC＝4，BD＝1，
，
，
又∠B=∠B，
△BAD∽△BCA；
（2）由（1）得：，即，
AD+AC=8，
，解得：，
．
2．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，，是上一動點(diǎn)，連接，作，射線交線段于.
（1）求證：；
（2）當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求線段的長；
【解析】（1）證明：∵，
∴；
∵，，
∴.
∴.
（2）∵（已證）.
∴；
∵為的中點(diǎn)，，
∴.
設(shè)，則；又，
∴，解得或3.
故長為2或3.
3．如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖．
（1）如果像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？
（2）如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m，像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？
【解析】解：根據(jù)物體成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．
（1）∵像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，
∴，解得：LD=7．
∴拍攝點(diǎn)距離景物7 m．
（2）拍攝高度AB是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物L(fēng)C=4m，像高M(jìn)N不變，是35mm，
∴，解得：LC=70．
∴相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm．
4．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求證：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請直接寫出EF長．
【解析】（1）①證明：∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，
∴∠FAC＝∠MCF，
∵∠FMC＝∠CMA，
∴△MFC∽△MCA．
②解：∵四邊形AEFG，四邊形ABCD都是矩形，
∴FG∥AE，CD∥AB，
∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，
∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FAE＝∠CAB，
∵∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∵∠FAE＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠EAB，
∴△FAC∽△EAB，
∴＝＝．
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，
∵DM＝MC＝2，AD＝3，
∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，
∵△MFC∽△MCA，
∴＝，
∴FM＝＝，
∴AF＝AM﹣FM＝，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
5．已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點(diǎn)E．
（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；
（2）如圖2，若∠ABC=120°，cs∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．
【解析】解：（1）證明：∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴∠ABE＝∠CDE.
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∴．
（2）過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
∵CD＝5，cs∠ADC＝，
∴DG＝3，CG＝4.
∵S△CED＝6，
∴ED＝3，
∴EG＝6.
∵AB＝12，∠ABC＝120°，則∠BAH＝30°，
∴BH＝6，AH＝，
由（1）得△ECG∽△EAH，
∴，
∴EH＝，
∴S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．
6．如圖，在中，，是高，平分，分別與，相交于點(diǎn)，．
（1）求證：．
（2）求證：．
（3）若，，，求的長．
【解析】證明：（1）
為邊上的高，
，
是的平分線，
；
（2），，
，
；
（3）如圖，作于
，
，
由，
，
，，
由
．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線BC和直線OB交于點(diǎn)B，直線AC與直線BC交x軸于點(diǎn)C，OA=4， 軸，垂足為點(diǎn)A，AC與OB交于點(diǎn)M．
(1)求直線BC的解析式；
(2)求陰影部分的面積．
【解析】解：（1），
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），
又軸，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，4），
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入表達(dá)式，
得，解得：k=4，b=﹣4，
所以直線的表達(dá)式為．
(2) 軸，∴AB∥x軸，
，
∴，
∵，
∴，
∴S陰影．
8．在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．
（1）如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)AB=5，且AFFD=10時(shí)，求BC的長；
（3）如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AD時(shí)，求的值．
【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=∠FBC=15°；
（2）∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF?DF=AB?DE，
∵AF?DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=，
∴AF=，
∴BC=AD=AF+DF=．
（3）過點(diǎn)N作NG⊥BF于點(diǎn)G，
∵NF=AD
∴NF=BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
設(shè)AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
設(shè)FG=y，則AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=x，
∴BF=BG+GF=．
∴．
9．如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣n）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的面積為5．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，過P作PN⊥x軸交BC于M，交拋物線于N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)MN最大時(shí)，求運(yùn)動的時(shí)間；
（3）經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)N到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等？
【解析】（1）∵拋物線y＝與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C
∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0
∴AB＝n+1，OC＝n
由S△ABC＝×AB×OC＝5
∴
∴
∴取正根n＝4
∴y＝＝x2+x+2；
（2）由（1），B（4，0），C（0，2）
∴直線BC為
設(shè)M（m,m+2），N（m,m2+m+2）
∴MN＝＝＝
∴當(dāng)m＝2時(shí)，MN最大
∴OP＝2
∴AP＝3，即經(jīng)過3s，MN最大；
（3）如下圖所示，作BC的中垂線，與BC交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)N，
∴△CDE～△COB
∴
由（2），得BC＝2，D（2，1）
∴DE＝2CD＝2
∴CE＝5
∴OE＝3
∴E（0，-3）
∴直線DE為y＝2x-3
由x2+x+2＝2x-3
移項(xiàng)整理得：x2+x-5＝0
∴x2+x-10＝0
取正根x＝
∴OP＝
∴AP＝
即經(jīng)過秒，點(diǎn)N到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等．
10．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M．
（1）求證：△MFC∽△MCA；
（2）求證△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．
【解析】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）四邊形是正方形，
，，
，
同理可得，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，即，
，
，
，
即正方形的邊長為．
11．如圖，函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n）兩點(diǎn)，m，n分別是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）設(shè)拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接AB，BC，BD，CD．求證：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）對于（Ⅰ）中所求的函數(shù)y＝﹣x2+bx+c，
（1）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求函數(shù)y的最大值和最小值；
（2）設(shè)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的最大值為p，最小值為q，若p﹣q＝3，求t的值．
【解析】（I）∵m，n分別是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，
解得，
∴函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（ II）證明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴對稱軸為，頂點(diǎn)D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴，，，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，
∴，
∴△BCD∽△OBA；
（ III）拋物線y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)為D（1，4），
（1）在0≤x≤3范圍內(nèi)，
當(dāng)x＝1時(shí)，y最大值＝4；當(dāng)x＝3時(shí)，y最小值＝0；
（2）①當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對稱軸的左側(cè)，當(dāng)x＝t時(shí)取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②當(dāng)t+1＝1時(shí)，此時(shí)p＝4，q＝3，不合題意，舍去；
③當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線分別在對稱軸的兩側(cè)，
此時(shí)p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合題意，舍去）；
④當(dāng)t＝1時(shí)，此時(shí)p＝4，q＝3，不合題意，舍去；
⑤當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對稱軸的右側(cè)，當(dāng)x＝t時(shí)取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
綜上，t＝﹣1或t＝2．
12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C為頂點(diǎn)作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，連接BN，射線NM交BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，若點(diǎn)A，M，N在一條直線上，
①求證：BN+CM＝AM；
②若AM＝4，BN＝，求BD的長；
（2）如圖2，若AB＝4，CN＝2，將△CMN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中射線NM交AB于點(diǎn)H，當(dāng)三角形DBH是直角三角形時(shí)，請你直接寫出CD的長．
【解析】證明：（1）①如圖，過點(diǎn)C作CF⊥CN，交AN于點(diǎn)F，
∵△CMN是等腰直角三角形，
∴∠CNM＝45°，CM＝MN，
∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，
∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，
∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，
∴△ACF≌△BCN（SAS），
∴AF＝BN，
∵CF＝CN，CM⊥MN，
∴MF＝MN＝CM，
∴AM＝AF+FM＝BN+CM
②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，
∴CM＝MN＝，
∵△ACF≌△BCN，
∴∠CAF＝∠CBN，
∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°
∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，
∴∠MCD＝∠CBN
∴CM∥BN
∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°
∴＝
∴MD＝ND
∵M(jìn)D+ND＝MN＝
∴ND＝
在Rt△DNB中，BD＝＝
（2）若∠BDH＝90°，如圖，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，
∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2
∴CM＝MN＝
∴CD＝，
若∠BHD＝90°，如圖，
∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，
∴∠BDH＝45°
∴∠CDN＝45°＝∠N
∴CD＝CN＝2．

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