2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知均為的子集，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題意利用集合的包含關(guān)系或者畫出Venn圖，結(jié)合Venn圖即可確定集合的運(yùn)算結(jié)果.【詳解】解法一：,，據(jù)此可得.故選：B.解法二：如圖所示，設(shè)矩形ABCD表示全集R，矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合，矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿足，結(jié)合圖形可得：.故選：B.2. 在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意列出所有可能的結(jié)果，然后利用古典概型計(jì)算公式即可求得滿足題意的概率值.【詳解】設(shè)三位同學(xué)分別為，他們的學(xué)號(hào)分別為，用有序?qū)崝?shù)列表示三人拿到的卡片種類，如表示同學(xué)拿到號(hào)，同學(xué)拿到號(hào)，同學(xué)拿到號(hào).三人可能拿到的卡片結(jié)果為：，共6種，其中滿足題意的結(jié)果有，共3種，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為：.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.3. 關(guān)于的方程，有下列四個(gè)命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為；?。涸摲匠虄筛愄?hào)．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（    ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】【分析】對(duì)甲、乙、丙、丁分別是假命題進(jìn)行分類討論，分析各種情況下方程的兩根，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關(guān)于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號(hào)，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根也為，兩根同號(hào)，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根同號(hào)，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵就是對(duì)甲、乙、丙、丁分別是假命題進(jìn)行分類討論，結(jié)合已知條件求出方程的兩根，再結(jié)合各命題的真假進(jìn)行判斷.4. 橢圓的焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】橢圓中，，，，如下圖所示：因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，焦點(diǎn)為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.5. 已知單位向量滿足，若向量，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】本題借助將代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?/span>是單位向量，所以.因?yàn)?/span>，所以.所以所以.故選：B.6. 的展開式中的系數(shù)是（    ）A. 60 B. 80 C. 84 D. 120【答案】D【解析】【分析】的展開式中的系數(shù)是，借助組合公式：，逐一計(jì)算即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是因?yàn)?/span>且，所以，所以，以此類推，.故選：D【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于使用組合公式：，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.7. 已知拋物線上三點(diǎn)，直線是圓的兩條切線，則直線的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先利用點(diǎn)求拋物線方程，利用相切關(guān)系求切線AB，AC，再分別聯(lián)立直線和拋物線求出點(diǎn)，即求出直線方程.【詳解】在拋物線上，故，即，拋物線方程為，設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線的方程為：，即，則圓心到切線的距離，解得，如圖，直線，直線. 聯(lián)立 ，得，故，由得，故，聯(lián)立 ，得，故，由得，故，故，又由在拋物線上可知，直線的斜率為 ，故直線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的切線的方程的求法：（1）幾何法：設(shè)直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建關(guān)系求出參數(shù)，即得方程；（2）代數(shù)法：設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，使判別式等于零解出參數(shù)，即可得方程.8. 已知且且且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得的大小.【詳解】因?yàn)?/span>，故，同理，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，故，即，而，故，同理，，，因?yàn)?/span>，故，所以.故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問題，應(yīng)根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，此類問題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知函數(shù)，則（    ）A. 在單調(diào)遞增B. 有兩個(gè)零點(diǎn)C. 曲線在點(diǎn)處切線的斜率為D. 是偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷D，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C，根據(jù)函數(shù)值的情況及零點(diǎn)定義可判斷B.【詳解】由知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞增，A正確；由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，所以只有0一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；令，，故曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，C正確；由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知，不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題時(shí)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，屬于中檔題.10. 設(shè)為復(fù)數(shù)，．下列命題中正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】BC【解析】【分析】取特殊值法可判斷AD錯(cuò)誤，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可判斷BC.【詳解】由復(fù)數(shù)模的概念可知，不能得到，例如，A錯(cuò)誤；由可得，因?yàn)?/span>，所以，即，B正確；因?yàn)?/span>，，而，所以，所以，C正確；取，顯然滿足，但，D錯(cuò)誤.故選：BC11. 下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】由平面展開圖還原為正方體，根據(jù)正方體性質(zhì)即可求解.【詳解】由正方體的平面展開圖還原正方體如圖， 由圖形可知，，故A錯(cuò)誤；由，四邊形為平行四邊形，所以，故B正確；因?yàn)?/span>,,所以平面,所以，故C正確；因?yàn)?/span>，而,所以，故D正確.故選：BCD12. 設(shè)函數(shù)，則（    ）A.  B. 的最大值為C. 在單調(diào)遞增 D. 在單調(diào)遞減【答案】AD【解析】【分析】先證明為周期函數(shù)，周期為，從而A正確，再利用輔助角公式可判斷B的正誤，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷C D的正誤．【詳解】的定義域?yàn)?/span>，且，，故A正確．又，令，則，其中，故即，故，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)即，故，故B錯(cuò)誤．，當(dāng)時(shí)，，故在減函數(shù)，故D正確．當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)?/span>為增函數(shù)且，而在為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故在有唯一解，故當(dāng)時(shí)，即，故在為減函數(shù)，故C不正確．故選：AD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而單調(diào)性的研究需看函數(shù)解析式的形式，比如正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)可利用整體法來研究，而分式形式則可利用導(dǎo)數(shù)來研究，注意輔助角公式在求最值中的應(yīng)用．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為______．【答案】【解析】【分析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，求得圓臺(tái)的高，然后利用圓臺(tái)的體積公式即可求得其體積.【詳解】圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺(tái)上底面的圓心為，則圓臺(tái)的高，據(jù)此可得圓臺(tái)的體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓臺(tái)與球的切接問題，解題的關(guān)鍵在于確定下底面與球的關(guān)系，然后利用幾何關(guān)系確定圓臺(tái)的高度即可求得其體積.14. 若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______，_____．【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】先設(shè)對(duì)角線的傾斜角，利用斜率定義列關(guān)系，結(jié)合正方形性質(zhì)求得直線與直線的傾斜角，計(jì)算正切值求斜率即可.【詳解】正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標(biāo)系， 設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為，則，由正方形性質(zhì)可知，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，故，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線斜率的方法：（1）定義式：傾斜角為，對(duì)應(yīng)斜率為；（2）兩點(diǎn)式：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，則過兩點(diǎn)的直線的斜率.15. 寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可考慮正弦型函數(shù)，，再利用周期計(jì)算，選擇一個(gè)作答即可.【詳解】由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個(gè)，可取.故答案為：.16. 對(duì)一個(gè)物理量做次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測(cè)量_____次（若，則）．【答案】32【解析】【分析】因?yàn)?/span>，得到，，要使誤差在的概率不小于0.9545，則，得到不等式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知：要使誤差在的概率不小于0.9545，則且，，所以.故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)正態(tài)分布的考查，關(guān)鍵點(diǎn)在于能從讀出所需信息.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）（）【解析】【分析】（1）兩邊同時(shí)加上即可得到數(shù)列為等比數(shù)列；（2）利用待定系數(shù)法構(gòu)造，通過整理解出，進(jìn)而得到，所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即可得到答案.【詳解】（1）由可得：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)，所以，所以是公比為3的等比數(shù)列.（2）構(gòu)造，整理得：所以，即所以，所以是以為首項(xiàng)，3為公比等比數(shù)列.所以（）【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于第（2）問中的待定構(gòu)造，能夠根據(jù)特征，構(gòu)造出是關(guān)鍵.18. 在四邊形中，，．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算得出，進(jìn)而可得出，然后在中，利用余弦定理可計(jì)算出；（2）設(shè)，利用余弦定理結(jié)合可得出關(guān)于的方程，進(jìn)而可解得的值，即可求得.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，，，在中，由余弦定理可得，；（2）設(shè)，則，在中，，在中，，由（1）可知，，所以，，即，整理可得，因?yàn)?/span>，解得，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.19. 一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2，3需要調(diào)整的概率分別為0.1，0.2，0.3，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立．（1）求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；（2）記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)0.28；(2)分布列見解析，.【解析】【分析】(1)由題意利用對(duì)立事件概率公式即可求得滿足題意的概率值；(2)首先確定X可能的取值，然后分別求解其概率值，最后確定其分布列并求解數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】(1)設(shè)部件1需要調(diào)整為事件A，部件2需要調(diào)整為事件B，部件3需要調(diào)整為事件C，由題意可知：.部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為：.(2)由題意可知X的取值為0，1,2,3.且：，，.，故X的分布列為：0123其數(shù)學(xué)期望：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)晴：求離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：（1）先分析X的可取值，根據(jù)可取值求解出對(duì)應(yīng)的概率；（2）根據(jù)（1）中概率值，得到X的分布列；（3）結(jié)合（2）中分布列，根據(jù)期望的計(jì)算公式求解出X的數(shù)學(xué)期望.20. 北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，寫出多邊形表面的所有內(nèi)角即可.（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以，按照公式計(jì)算總曲率即可.【詳解】（1）由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和.可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知：四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形.所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，則其總曲率為：.（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，所以有設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以所以總曲率為：所以這類多面體的總曲率是常數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的新定義問題，能夠正確讀懂“曲率”的概率是解決問題的關(guān)鍵．21. 雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上．當(dāng)時(shí)，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，據(jù)此可求離心率.（2）設(shè)，則，，再計(jì)算，利用點(diǎn)在雙曲線上化簡(jiǎn)后可得，從而可得結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，，因?yàn)?/span>，故，故，即，故.（2）設(shè)，其中.因?yàn)?/span>，故，，故漸近線方程為：，所以，，又，，所以，因?yàn)楣?/span>，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是找到一組等量關(guān)系（齊次式）.（2）圓錐曲線中與有角有關(guān)的計(jì)算，注意通過動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫角的大小，還要注意結(jié)合點(diǎn)在曲線上滿足的方程化簡(jiǎn)目標(biāo)代數(shù)式.22. 已知函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由題意分類討論當(dāng)，，，幾種情況即可證得題中的結(jié)論.(2)觀察(1)中的結(jié)論，首先討論時(shí)的取值，然后驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)分類討論：①.當(dāng)，；②.當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在上單調(diào)增，則，則函數(shù)在上單調(diào)減，則；③.當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的解析式可知，當(dāng)時(shí)，令，則，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而：，即，從而函數(shù)，令，則：，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，從而：.從而函數(shù)；綜上可得，題中的結(jié)論成立.(2) 當(dāng)時(shí)，令﹐則， ，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意;當(dāng)時(shí)，，而，故使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意;故不符合題意，當(dāng)a=2時(shí)，，由于單調(diào)遞增，，故：時(shí)，單調(diào)遞減;時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)﹔當(dāng)時(shí)，，綜上可得，a=2.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；3、根據(jù)恒成求解參數(shù)取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求岀最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.
 

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