2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練（2）數學科試題注意事項：1. 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2. 回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后, 再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3. 考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數在復平面內對應的點位于（     ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，集合，則（     ）A． B． C． D．3．已知角為第二象限角，，則（     ）A． B． C． D．4．函數的零點個數為（     ）A．0 B．1 C．2 D．35．“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在研究球的體積過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（     ）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為F，以F為圓心，p為半徑的圓F與拋物線C交于點M，N，與x軸的正半軸交于點Q，若，則p=（     ）A． B． C． D．7．若函數是定義在R上的增函數，則實數m的取值范圍是（     ）A． B．C． D．8．在直角梯形ABCD中，，，且，.若線段CD上存在唯一的點E滿足，則線段CD的長的取值范圍是（     ）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知向量，，則（       ）A． B．C． D．與的夾角為10．下列雙曲線的漸近線方程為的是（       ）A． B． C． D．11．環(huán)境監(jiān)測部門統(tǒng)計了甲、乙兩個城市去年每天的（空氣質量指數），數據按照，，進行分組得到下面的頻率分布直方圖，已知時空氣質量等級為優(yōu)，則（       ）A．甲、乙兩城市的中位數的估計值相等 B．甲、乙兩城市的平均數的估計值相等C．甲城市的方差比乙城市的方差小 D．甲城市空氣質量為優(yōu)的天數比乙城市空氣質量為優(yōu)的天數多12．“外觀數列”是一類有趣的數列，該數列由正整數構成，后一項是前一項的“外觀描述”．例如：取第一項為，將其外觀描述為“個”，則第二項為；將描述為“個”，則第三項為；將描述為“個，個”，則第四項為；將1描述為“個，個，個”，則第五項為，，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數字合并起來描述，給定首項即可依次推出數列后面的項．則對于外觀數列，下列說法正確的是（       ）A．若，則從開始出現數字B．若，則的最后一個數字均為C．不可能為等差數列或等比數列D．若，則均不包含數字三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數列滿足，則________.14．函數的零點個數為________.15．已知拋物線的焦點為，點，在上，滿足，且，點是拋物線的準線上任意一點，則的面積為________.16．如圖，位于山西省朔州市應縣佛宮寺內的釋迦塔，俗稱應縣木塔，是我國現存最高最古老的木結構塔式建筑，木塔頂部可以近似地看成一個正八棱錐，其側面和底面的夾角大小為，則該正八棱錐的高和底面邊長之比為________.(參考數據：)   四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．在①；②；③面積，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并回答問題．問題：在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A為銳角，a＝6，，且        ，求△ABC的周長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．19．2021年，我國新型冠狀病毒肺炎疫情已經得到初步控制，抗疫工作取得階段性勝利．某市號召市民接種疫苗，提出全民“應種盡種”的口號，疫苗成了重要的防疫物資．某疫苗生產廠不斷加大投入，高速生產，現對其某月內連續(xù)9天的日生產量（單位：十萬支，i＝1，2，…，9）數據作了初步統(tǒng)計，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的數值：2.7219139.091095 注：圖中日期代碼1~9分別對應這連續(xù)9天的時間：表中，．（1）從這9天中隨機選取3天，求這3天中恰有2天的日生產量不高于三十萬支的概率；（2）由散點圖分析，樣本點都集中在曲線的附近，求y關于t的方程，并估計該廠從什么時候開始日生產量超過四十萬支．參考公式：回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計公式為： ，．參考數據：．20．如圖，長方體被經過的動平面所截，分別與棱，交于點，，得到截面，已知，.（1）求證：；（2）若直線與截面所成角的正弦值為，求的長.21．已知雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為60°，且點P（2，3）為E上一點．（1）求E的標準方程；（2）設M為E在第一象限的任一點，過M的直線與E恰有一個公共點，且分別與E的兩條漸近線交于點A，B，設O為坐標原點，證明：△AOB面積為定值．22．（1）已知函數，討論的單調性；（2）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，證明：當時，．
2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練（2）數學科試題答案及評分標準1．C【解析】【分析】先對已知式子化簡求出復數，從而可得答案【詳解】，所以z對應的點位于第三象限.故選：C2．B【解析】【分析】先求出集合，再根據集合中和，即可求出結果.【詳解】因為集合，所以，在集合中，由，得，即，又，所以，，，即.故選：B.3．A【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函數的平方關系、商數關系求即可.【詳解】因為是第二象限角，所以，，由，，可得：.故選：A.4．C【解析】【分析】將問題轉化為函數與的圖象交點的個數，進而作圖判斷即可.【詳解】解:函數的零點個數即函數與的圖象交點的個數，作圖如圖所示，由圖可知，兩圖象有兩個交點，故原函數有2個零點故選：C5．C【解析】【分析】由題意可求出正方體的體積和其內切球的體積，從而可求出牟合方蓋的體積，然后用正方體的體積減去牟合方蓋的體積即可【詳解】正方體的體積為，其內切球的體積為，由條件可知牟合方蓋的體積為，故正方體除去牟合方蓋后剩余的部分體積為.故選：C6．A【解析】【分析】過點M作拋物線準線的垂線，垂足為，設拋物線準線與x軸的交點為，證明出四邊形是正方形，得到，且即可求解.【詳解】如圖示：過點M作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線定義，.設拋物線準線與x軸的交點為，則，所以四邊形是正方形，則，且又，所以.故選：A7．D【解析】【分析】作出函數和的大致圖象，如圖，聯立直線和拋物線方程求出點A、B的橫坐標，對m取、、、情況分類討論，利用數形結合的數學思想即可得出結果.【詳解】如圖，作出函數和的大致圖象.，得，解得，，注意到點A是二次函數圖象的最低點，所以若，則當時，單調遞減，不符合題意；當時符合題意；當時，則，在時函數圖象“向下跳躍”，不符合題意；當時，符合題意.所以m的取值范圍為：或.故選：D8．B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，根據數量積的坐標運算，即可求得答案.【詳解】解析   如圖所示，以A為坐標原點，和分別為x軸和y軸正方向建立直角坐標系.則 , 設DE的長為x，則 ，則，，所以，解得或，由題意知： ，且點E存在于CD上且唯一，知CD的長的取值范圍是，故選：B.9．BC【解析】【分析】利用平面向量的坐標運算可判斷A；利用平面向量的模長公式可判斷B；利用平面向量垂直的坐標表示可判斷C；利用平面向量夾角余弦的坐標表示可判斷D.【詳解】對于A，，A錯；對于B，，，則，B對；對于C，，故，所以，，C對；對于D，，，故，D錯.故選：BC.10．AD【解析】【分析】的漸近線方程為：，的漸近線方程為：.【詳解】A選項，的漸近線方程為，A正確；B選項，的漸近線方程為：，B錯誤；C選項，的漸近線方程為：，C錯誤；D選項，的漸近線方程為：，D正確.故選：AD11．ABD【解析】【分析】根據給出的頻率分布直方圖，對個選項進行分析，判斷作出正誤，得出答案 .【詳解】選項A .   根據兩個頻率分布直方圖，甲、乙兩個城市去年每天的的中位數均為125，故選項A正確.選項B.設甲、乙兩頻率分布直方圖中小矩形的高度數值如圖所示，則，即同理甲城市的的平均數為：乙城市的的平均數為：所以甲、乙兩城市的平均數的估計值相等，故選項B正確 .選項C. 由圖可知，乙城市的數據更集中，即方差更小，所以選項C錯誤.選項D. 由圖可知甲城市在的頻率大于0.2，乙城市在的頻率小于0.2所以甲城市在的頻率大于乙城市在的頻率，甲城市空氣質量為優(yōu)的天數比乙城市空氣質量為優(yōu)的天數多。故D正確.故選：ABD 12．BD【解析】【分析】求出，可判斷A選項；分、兩種情況討論，逐項遞推可判斷B選項；取可判斷C選項；利用假設法可判斷D選項.【詳解】對于A，，即“個”，，即“個，個”，，即“個，個”，故，A錯；對于B，若，即“個”，，即“個，個”，，即“個，個”，，，以此類推可知，的最后一個數字均為，若，則，，，，以此類推可知，的最后一個數字均為.綜上所述，若，則的最后一個數字均為，B對；對于C，取，則，此時數列既是等差數列，又是等比數列，C錯；對于D，，則，，，，若數列中，中為第一次出現數字，則中必出現了個連續(xù)的相同數字，如，則在的描述中必包含“個，個”，即，顯然的描述是不合乎要求的，若或，同理可知均不合乎題意，故不包含數字，D對.故選：BD.13．4【解析】直接利用等比數列的性質求解.【詳解】因為，所以，解得.所以.故答案為：414．1【解析】根據函數零點的定義，結合導數進行判斷即可,.【詳解】因為，所以單調遞增，又因為，所以有且僅有1個零點.故答案為：115．16【解析】設拋物線（），因為，所以是線段的中點，易得與軸垂直，繼而可得，求出p的值，再由，點到的距離為計算的面積即可.【詳解】不妨設拋物線（），因為，所以，所以是線段的中點，則與軸垂直，所以，所以，，點到的距離為，所以.故答案為：16.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是由得出，進而得出是線段的中點且與軸垂直，進而求得p的值然后進行相關計算.16．【解析】設底面邊長為a，根據正八棱錐底邊所對的圓心角為，求得圓心到底邊的距離，再由側面與底面成求解.【詳解】如圖所示:點是正八棱錐的頂點，點是底面的中心，是底面的一條邊，是的中點,根據題意知，因為，設，則，又因為二面角的大小為，即，所以，即正八棱錐的高和底面邊長之比為.故答案為：17．答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】若選①，由，得，再利用余弦定理得解若選②，由正弦定理化簡得，得到△為等邊三角形得解．若選③，利用面積公式．再利用再利用余弦定理得解【詳解】解：，代入，得，又為銳角，故．若選①，，由，得．又，即，，得．∴△周長為．若選②，，即．化簡得，即，解得．故，此時△為等邊三角形，周長為．若選③，，得．又，即，，得．∴△周長為．【點睛】熟練掌握正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是解題關鍵.18．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據已知等式寫出對應的等式，然后兩式作差可得到的結果，最后驗證時的情況并確定出的通項公式；（2）先計算出的結果，然后采用裂項相消法進行求和.【詳解】解：（1）由題意：，①當時，，②①－②得，即，當時，滿足上式，所以．（2）因為，所以，所以．【點睛】結論點睛：常見的數列中可進行裂項相消的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.19．（1）；（2）；第14天．【解析】【分析】（1）記所求事件為A，9天中日產量不高于三十萬支的有5天．再利用古典概型的概率公式求解；（2）由題得，求利用最小二乘法求出得到，解不等式即得解.【詳解】（1）記所求事件為A，9天中日產量不高于三十萬支的有5天．．（2），，，．．，．令，解得．∴，即該廠從統(tǒng)計當天開始的第14天日生產量超過四十萬支．【點睛】方法點睛：建立非線性回歸模型的基本步驟：①確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；②畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性關系）；③由經驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈非線性關系，一般選用反比例函數、指數函數、對數函數模型等）；④通過換元，將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型；⑤按照公式計算線性回歸方程中的參數（如最小二乘法），得到線性回歸方程；⑥消去新元，得到非線性回歸方程；⑦得出結果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由于，，兩兩垂直，所以以為原點，分別以，，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，由題可知，若設出點，則可表示出點的坐標，從而可得到向量坐標，得，所以；（2）設，先求出平面的法向量，然后利用空間向量結合向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）以為原點，分別以，，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.則，，，，.依題意易得，設，則，所以，而，所以，所以.（2）因為，，，設平面的法向量為，則，令，則，設直線與截面所成角為，所以，解得，所以.【點睛】此題考查了空間圖形證明線線垂直，求線面角等，利用了空間向量證明線線垂直和求線面角，考查運算能力，屬于中檔題.21．（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由題得．再分類討論即得E的標準方程；（2）設直線方程為，聯立雙曲線方程得到，設，求出，化簡△AOB面積即得解.【詳解】解：（1）由題意，雙曲線在一三象限的漸近線的傾斜角為或，即．當時，E的標準方程為，代入，無解．當時，E的標準方程為，代入，解得．故E的標準方程為．（2）直線斜率顯然存在，設直線方程為，與聯立得：．由題意，且，化簡得．設，將與聯立，解得；與聯立，解得．．由，∴，故面積為定值．【點睛】方法點睛：定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結果是一個常數. 要根據已知條件靈活選擇方法求解.22．（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）求出的導數，當時，易得單調性；當時，需討論，和時的導數正負情況，求得單調性；（2）根據對稱得出，構造函數，利用導數可得在單調遞增，即可證明.【詳解】解：（1）解：．設，則當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．設，由得或．①若，則，所以在單調遞增．②若，則，故當時，；當時，，所以在，單調遞增，在單調遞減．③若，則，故當時，；當時，，所以在，單調遞增，在單調遞減．（2）證明：由題意可知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則，于是得，令，即，于是．當時，，從而，有，，從而函數在單調遞增，又，所以時，，即．【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是正確分段討論參數的范圍判斷導數正負；考查利用不等式的證明，解題的關鍵是構造函數利用導數判斷單調性，求出最值.   

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