中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題
1. 下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，…則第⑥個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（   ） A、55  B、42      C、41  D、292．如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交與點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn﹣1Dn﹣2的中點(diǎn)為Dn﹣1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn﹣1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長為（　　）　  A．   B． C．       D．  3．下面兩個多位數(shù)1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位．對第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字……，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的．當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是(    )A．495    B．497    C．501    D．503  二、填空題4. 如圖所示，一個4×2的矩形可以用3種不同的方式分割成2或5或8個小正方形，那么一個5×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的個數(shù)可以是____         ____． 5. 一園林設(shè)計(jì)師要使用長度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個形狀、大小完全一樣的扇環(huán)面組成，每個扇環(huán)面如圖2所示，它是以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過O點(diǎn)的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環(huán)面積最大．    (1)使圖①花圃面積為最大時R－r的值為         ，以及此時花圃面積為         ，其中R、r分別為大圓和小圓的半徑；    (2)若L＝160 m，r＝10 m，使圖面積為最大時的θ值為         ． 6．如圖所示，已知△ABC的面積，在圖(a)中，若，則；在圖(b)中，若，則；在圖(c)，若，則．…按此規(guī)律，若，則________． 三、解答題7．如圖所示，∠ABM為直角，C為線段BA的中點(diǎn)，D是射線BM上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交BD于F．(1)求證：BF＝FD；(2)∠A在什么范圍內(nèi)變化時，四邊形ACFE是梯形?并說明理由；(3)∠A在什么范圍內(nèi)變化時，線段DE上存在點(diǎn)G，滿足條件？并說明理由． 8.如圖(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O．(1)①如圖(a)，求證：△ADC≌△ABE；  ②探究：圖(a)中，∠BOC＝________；圖(b)中，∠BOC＝________；圖(c)中，∠BOC＝________；(2)如圖(d)，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊．BE，CD的延長相交于點(diǎn)O．①猜想：圖(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根據(jù)圖(d)證明你的猜想． 9. 如圖(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點(diǎn)P(P不與B，C重合)，連接DP，作射線．PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．    (1)試確定CP＝3時，點(diǎn)E的位置；    (2)若設(shè)CP＝x(x＞0)，BE＝y(tǒng)(y＞0)，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P1，P2，使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時a的取值范圍．  10. 點(diǎn)A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點(diǎn)，在直線n上找一點(diǎn)C，使BC＝k·AB．連接AC，在直線AC上任取一點(diǎn)E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直線m于點(diǎn)F．(1)如圖(a)，當(dāng)k＝1時，探究線段EF與EB的關(guān)系，并加以說明；說明：①如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，請寫出探索過程(要求至少寫三步)；    ②在完成①之后，可以自己添加條件(添加的條件限定為∠ABC為特殊角)，在圖(b)中補(bǔ)全圖形，完成證明．(2)如圖(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究線段EF與EB的關(guān)系，并說明理由．   【答案與解析】一、選擇題
1.【答案】C；【解析】找出規(guī)律：∵圖②平行四邊形有5個=1+2+2，圖③平行四邊形有11個=1+2+3+2+3，圖④平行四邊形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴圖⑥的平行四邊形的個數(shù)為1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41.故選C.2.【答案】A；【解析】由題意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，ADn=，故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，故可得AP6=.故選A. 3.【答案】A；【解析】根據(jù)題意，當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時，按操作要求得到的數(shù)字是3624862486248…，從第2位數(shù)字起每隔四位數(shù)重復(fù)一次6248，因?yàn)?100-1)被4整除得24余3，所以這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之間和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案選A．二、填空題4.【答案】4或7或9或12或15；【解析】 一個5×3的矩形可以有下面幾種分割方式，如圖所示．   5.【答案】（1）R－r的值為，以及此時花圃面積為；  （2）θ值為．【解析】要使花圃面積最大，則必定要求扇環(huán)面積最大．設(shè)扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，根據(jù)題意得：，∴∴．∵，∴S在時取最大值為．∴花圃面積最大時R－r的值為，最大面積為．(2)∵當(dāng)時，S取大值，∴(m)，(m)，∴． 6.【答案】．【解析】
…
  三、解答題7．【答案與解析】   解：(1)Rt△AEB中，∵AC＝BC，∴CE＝AB．   ∴CB＝CE．∴∠CEB＝∠CBE．∵∠CEF＝∠CBF＝90°，∴∠BEF＝∠EBF．∴EF＝BF．∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°．∴∠FED＝∠EDF．∴EF＝FD．∴BF＝FD．(2)由(1)得BF＝FD，而BC＝CA，∴CF∥AD，即AE∥CF．若AC∥EF，則AC＝EF，∴BC＝BF．∴BA＝BD，∠A＝45°．∴當(dāng)0°＜∠A＜45°或45°＜∠A＜90°時，四邊形ACFE為梯形．(3)作GH⊥BD，垂足為H，則GH∥AB．∵DG＝DA，∴DH＝DB．又F為BD的中點(diǎn)，∴H為DF的中點(diǎn)．∴GH為DF的中垂線．∴∠GDF＝∠GFD．∵點(diǎn)G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD．∵∠EFD+∠FDE+∠DEF＝180°，∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180°．∴3∠EDF≤180°．∴∠EDF≤60°．又∠A+∠EDF＝90°，∴30°≤∠A＜90°．∴30°≤∠A＜90°時，DE上存在點(diǎn)G，滿足條件DG＝DA，8．【答案與解析】 (1)證法一：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．∴△ADC≌△ABE．證法二：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴△ADC可由△ABE繞著點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到．∴△ABE≌△ADC．②120°，90°，72°．(2)①．②證法一：依題意，知∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內(nèi)角，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD＝∠CAE＝．∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ADC．∴∠ABE＝∠ADC．∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°．∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．∴∠BOC+∠DAB＝180°．∴∠BOC＝180°－∠DAB＝．證法二：延長BA交CO于F，證∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．證法三：連接CE．證∠BOC＝180°－∠CAE． 9．【答案與解析】   解：(1)作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足．    當(dāng)CP＝3時，四邊形ADFB是矩形，則CF＝3．    ∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合．又∵BF⊥FD，∴此時點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．    (2)(i)當(dāng)點(diǎn)P在BF上(不與B，F(xiàn)重合)時，(見圖(a))∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，∴∠DPF＝∠PEB．    ∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．∴．    ①又∵ BE＝y(tǒng)，BP＝12-x，F(xiàn)P＝x-3，F(xiàn)D＝a，代入①式，得∴，整理，得    ②(ii)當(dāng)點(diǎn)P在CF上（不與C，F(xiàn)重合）時，（見上圖(b))同理可求得．由FP＝3-x得．∴ (3)解法一：當(dāng)點(diǎn)E與A重合時，y＝EB＝a，此時點(diǎn)P在線段BF上．由②式得．整理得．   ③∵在線段BC上能找到兩個不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件，    ∴方程③有兩個不相等的正實(shí)根．    ∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．    解得．又∵a＞0，∴．    解法二：當(dāng)點(diǎn)E與A重合時，∵∠APD＝90°，∴點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上．設(shè)圓心為M，則M為AD的中點(diǎn)．    ∵在線段BC上能找到兩個不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件，    ∴線段BC與⊙M相交．即圓心M到BC的距離d滿足．    ④又∵AD∥BC，∴d＝a．∴由④式得． 10．【答案與解析】解：(1)EF＝EB．證明：如圖(d)，以E為圓心，EA為半徑畫弧交直線m于點(diǎn)M，連接EM．∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．∴∠MAC＝∠CAB．∴∠CAB＝∠EMA．∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB．∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE．    ∴△AEB≌△MEF．    ∴EF＝EB．探索思路：如上圖(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．添加條件：∠ABC＝90°．證明：如圖(e)，在直線m上截取AM＝AB，連接ME．∵  BC＝k·AB，k＝1，∴  BC＝AB．∵  ∠ABC＝90°，∴  ∠CAB＝∠ACB＝45°．∵  m∥n，∴  ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．    ∵  AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．    ∴  EM＝EB，∠AME＝∠ABE．    ∵  ∠BEF＝∠ABC＝90°，∴  ∠FAB+∠BEF＝180°．又∵  ∠ABE+∠EFA＝180°， ∴  ∠EMF＝∠EFA．∴  EM＝EF．∴  EF＝EB．    (2)EF＝EB．說明：如圖(f)，過點(diǎn)E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N．∴  ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．    ∵  m∥n，∠ABC＝90°，    ∴  ∠MAB＝90°．∴  四邊形MENA為矩形．∴  ME＝NA，∠MEN＝90°．∵∠BEF＝∠ABC＝90°．∴∠MEF＝∠NEB．∴△MEF∽△NEB．∴，∴在Rt△ANE和Rt△ABC中，，∴．  

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