中考沖刺：創(chuàng)新、開放與探究型問題—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)） 【鞏固練習(xí)】一、選擇題
1．若自然數(shù)n使得三個數(shù)的加法運(yùn)算“n+(n+1)+(n+2)”產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“連加進(jìn)位數(shù)”．例如：2不是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?+3+4＝9不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；4是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?+5+6＝15產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；51是“連加進(jìn)位數(shù)”，因?yàn)?1+52+63＝156產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．如果從0，1，2，…，99這100個自然數(shù)中任取一個數(shù)，那么取到“連加進(jìn)位數(shù)”的概率是(　　)A．0.88     B．0.89     C．0.90    D．0.91 2．如圖，點(diǎn)A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若點(diǎn)M是⊙O上的動點(diǎn)，要使△ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)M有(    )    A．1個     B．2個     C．3個     D．4個 3．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：   他們研究過圖(1)中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)，類似地，稱圖(2)中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(   )    A．15     B．25     C．55     D．1225 二、填空題4．電子跳蚤游戲盤是如圖所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤開始時在BC邊的P0處，BP0＝2．跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1(第1次落點(diǎn))處，且CP1＝CP0；第二步從P1跳到AB邊的P2(第2次落點(diǎn))處，且AP2＝AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3(第3次落點(diǎn))處，且BP3＝BP2；…；跳蚤按照上述規(guī)則一直跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn(n為正整數(shù))，則點(diǎn)P2009與點(diǎn)P2010之間的距離為__________．5．下圖為手的示意圖，在各個手指間標(biāo)記字母A，B，C，D，請你按圖中箭頭所指方向(如A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，當(dāng)數(shù)到12時，對應(yīng)的字母是________；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是________；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是________(用含n的代數(shù)式表示)． 6. (1)如圖(a)，∠ABC＝∠DCB，請補(bǔ)充一個條件：________，使△ABC≌△DCB．(2)如圖(b)，∠1＝∠2，請補(bǔ)充一個條件：________，使△ABC≌△ADE．  三、解答題7．如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E是BC邊上一個動點(diǎn)(點(diǎn)E不與B，C兩點(diǎn)重合)，EF∥BD交AC于點(diǎn)F，EG∥AC交BD于點(diǎn)G．(1)求證：四邊形EFOG的周長等于2OB；(2)請你將上述題目的條件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論“四邊形EFOG的周長等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證，不必證明． 8．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩條直線，，直線的解析式為．如果將坐標(biāo)紙折疊，使直線與重合，此時點(diǎn)(-2，0)與點(diǎn)(0，2)也重合．(1)求直線的解析式；(2)設(shè)直線與相交于點(diǎn)M．問：是否存在這樣的直線，使得如果將坐標(biāo)紙沿直線折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．  9．解答一個問題后，將結(jié)論作為條件之一，提出與原問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原問題的一個“逆向”問題．例如，原問題是“若矩形的兩邊長分別為3和4，求矩形的周長”，求出周長等于14后，它的一個“逆向”問題可以是“若矩形的周長為14，且一邊長為3，求另一邊的長”；也可以是“若矩形的周長為14，求矩形面積的最大值”，等等．    (1)設(shè)，，求A與B的積；    (2)提出(1)的一個“逆向”問題，并解答這個問題．  10. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A，D，B三點(diǎn)，CB的延長線交⊙O于點(diǎn)E(如圖(a))．    在滿足上述條件的情況下，當(dāng)∠CAB的大小變化時，圖形也隨著改變(如圖(b))，在這個變化過程中，有些線段總保持著相等的關(guān)系．(1)觀察上述圖形，連接圖(b)中已標(biāo)明字母的某兩點(diǎn)，得到一條新線段，證明它與線段CE相等；(2)在圖(b)中，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F．①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；    ②若，試用含n的代數(shù)式表示sin∠CAB(直接寫出結(jié)果)．  【答案與解析】一、選擇題
1.【答案】A；【解析】不是“連加進(jìn)位數(shù)”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12個．∴P(取到“連加進(jìn)位數(shù)”)＝．2.【答案】D；【解析】如圖，①過圓點(diǎn)O作AB的垂線交和于M1，M2．②以B為圓心AB為半徑作弧交圓O于M3．③以A為圓心，AB為半徑弧作弧交圓O于M4．則M1，M2，M3，M4都滿足要求．3.【答案】D； 二、填空題4.【答案】2．【解析】如圖，按要求作出P4，P5，P6…．可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：P0，P6，P12，P18…重合；P1，P7，P13，P19…重合；P2，P8、P14，P20…重合；P3，P9、P15，P21…重合；P4，P10，P16，P22…重合；P5，P11，P17，P23…重合．(以6為周期循環(huán))∵2009＝334×6+5，2010＝335×6，∴P2009與P5重合；P2010與P0重合；求P2009與P2010之間距離也就是求P5與P0之間距離，△BP0P5是等邊三角形．∴P0P5＝2，即P2009與P2010之間距離為2．5.【答案】B；  603；  6n+3．【解析】由題意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6個數(shù)重復(fù)一次“A→B→C→D→C→B→”，所以，當(dāng)數(shù)到12時對應(yīng)的字母是B；當(dāng)字母C第201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是201×3＝603；當(dāng)字母C第2n+1次出現(xiàn)時(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是(2n+1)×3＝6n+3．6.【答案】答案不唯一．(1)如圖(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)圖(b)中∠D＝∠B，或等．             三、解答題7.【答案與解析】   (1)證明：∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．∴∠1＝∠2．又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴EG＝BG．∵EG∥OC，EF∥OB，∴四邊形EGOF是平行四邊形．∴EG＝OF，EF＝OG．∴四邊形EGOF的周長＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．            (2)方法1：如圖乙，已知矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一個動點(diǎn)(點(diǎn)E不與B，C兩點(diǎn)重合)，EF∥BD，交AC于點(diǎn)F，EG∥AC交BD于點(diǎn)G．求證：四邊形EFOG的周長等于2OB．圖略．方法2：如圖丙，已知正方形ABCD中，……其余略． 8. 【答案與解析】   解：(1)直線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)．由題意，直線與關(guān)于直線對稱，直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，0)．又∵直線與直線的交點(diǎn)為(-3，3)，∴直線過點(diǎn)(-1，0)和(3，3)．設(shè)直線的解析式為y＝kx+b．則有 解得所求直線的解析式為．(2)∵直線與直線互相垂直，且點(diǎn)M(-3，3)在直線上，∴如果將坐標(biāo)紙沿直線折疊，要使點(diǎn)M落在x軸上，那么點(diǎn)M必須與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，此時直線過線段OM的中點(diǎn)．將，代入y＝x+t，解得t＝3．∴直線l的解析式為y＝x+3． 9．【答案與解析】解：(1)．    (2)“逆向”問題一：       已知，，求A．       解答：．    “逆向”問題二：        已知，，求B．解答：．“逆向”問題三：已知A·B＝2x+8，A+B＝x+10，求(A－B)2．解答：(A－B)2＝(A+B)2－4A·B＝(x+10)2－4(2x+8)＝x2+12x+68． 10．【答案與解析】解：(1)連接AE．求證：AE＝CE．證法一：如圖(a)，連接OD．∵∠ABC＝90°，CB的延長線交⊙O于點(diǎn)E，∴∠ABE＝90°．∴AE是⊙O的直徑．∵D是AC的中點(diǎn)，O是AE的中點(diǎn)，∴．∵，∴AE＝CE．證法二：如圖(b)，連接DE．同證法一，得AE是⊙O的直徑．∴∠ADE＝90°．∵D是AC的中點(diǎn)，∴DE是線段AC的垂直平分線．∴AE＝CE．(2)①根據(jù)題意畫出圖形．如圖(c)，連接DE．∵AE是⊙O的直徑，EF是⊙O的切線，∴∠ADE＝∠AEF＝90°．∴Rt△A1DE∽Rt△EDF．∴．設(shè)AD＝k是(k＞0)，則DF＝2k．∴．∴．在Rt△CDE中，∵ CE2＝CD2+DE2＝3k2，∴．∵∠CAB＝∠DEC．∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝．    ②．  

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