第二課時(shí) 弧長(zhǎng)和扇形的面積（二）


＆.教學(xué)目標(biāo)：


1、理解并掌握扇形面積的推導(dǎo)過(guò)程。


2、會(huì)恰當(dāng)熟練運(yùn)用公式計(jì)算扇形的面積，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力。


3、在探究公式的過(guò)程中，體驗(yàn)從特殊到一般的學(xué)習(xí)方法，在推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)會(huì)類比的方法，讓學(xué)生體驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)新，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。


4、通過(guò)計(jì)算扇形的面積來(lái)了解豐富多彩、形狀各異的圖形，培養(yǎng)探究分析問(wèn)題的能力。


＆.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：


重點(diǎn)：運(yùn)用公式計(jì)算扇形的面積。


難點(diǎn)：計(jì)算一些復(fù)雜圖形的面積。


＆.教學(xué)過(guò)程：


一、情景導(dǎo)入


1、回顧：圓的面積公式是怎樣的？圓弧的弧長(zhǎng)公式是怎樣的？需注意些什么？


2、問(wèn)題：夏天天氣熱的時(shí)候我們常用扇子扇風(fēng)，貼紙部分都有很多漂亮的圖案或激勵(lì)人的語(yǔ)言招人喜歡，如果現(xiàn)在給出貼紙部分半徑及扇子的圓心角，你能計(jì)算出貼紙部分的面積嗎？要解決這個(gè)問(wèn)題，我們需要了解扇形面積的計(jì)算方法。


二、探究新知


§.探究扇形的概念：


問(wèn)題1：在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴一條長(zhǎng)的繩子，繩子的另一端拴著一條狗。


（1）這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？


（2）如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過(guò)，那么它的最大區(qū)域是什么樣的？


圖 1


（1）


O1


O2


（2）

















討論結(jié)果：（1）如圖1（1），這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域是圓的面積，即；（2）如圖1（2），狗的活動(dòng)區(qū)域是圓的一部分。


＆.扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形。


§.探究扇形的面積公式：


問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們類比探究弧長(zhǎng)的方法來(lái)研究扇形面積的計(jì)算方法.同求弧長(zhǎng)的思維一樣，要求扇形的面積，應(yīng)思考圓心角為的扇形面積是圓面積的幾分之幾？進(jìn)而求出圓心角度數(shù)為的扇形面積。


解析：如果圓的半徑為，則圓的面積為，的圓心角所對(duì)的扇形面積為，的圓心角對(duì)應(yīng)的扇形面積為.因此扇形面積的計(jì)算公式為.


＆.扇形的面積公式：


（為圓心角的度數(shù)，為扇形的半徑）


注意：公式中的“”與弧長(zhǎng)公式中“”的意義一樣，表示圓心角的倍數(shù)，參與計(jì)算時(shí)不帶單位。


§.探究弧長(zhǎng)與扇形面積的關(guān)系：


問(wèn)題3：我們探討了弧長(zhǎng)和扇形面積的公式，在半徑為的圓中，的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為，的圓心角的扇形面積公式為，在這兩個(gè)公式中，弧長(zhǎng)和扇形面積都和圓心角、半徑有關(guān)系，因此和之間也有一定的關(guān)系，你能猜得出來(lái)嗎？請(qǐng)大家互相交流。


由，.


思考：觀察這個(gè)公式與什么公式類似？


＆.扇形的面積公式：


（為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，為扇形的半徑）


注意：


（1）扇形的面積公式與三角形的面積公式類似，為了便于記憶，可以把扇形看做曲邊三角形，把弧長(zhǎng)看作底，半徑看作底邊上的高；


（2）當(dāng)已知半徑和圓心角的度數(shù)求扇形的面積時(shí)，選用公式；當(dāng)已知半徑和弧長(zhǎng)求扇形的面積時(shí)，選用公式；


（3）根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，已知、、、四個(gè)量中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量。


三、講解例題，鞏固新知


§.例1、圓心角為的的扇形的半徑為，求這個(gè)扇形的面積。（）


解：∵，


∴


§.例2、如圖，從一個(gè)直徑是的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為的扇形，求這個(gè)扇形的面積（結(jié)果保留）.


A


C


B


圖 2


解：連結(jié)


∵扇形的圓心角為


∴⊙中以為直徑


A


P


B


圖 3


由勾股定理得：





同步練習(xí)：如圖，、切⊙于、兩點(diǎn)，若，⊙的半徑為，求陰影部分的面積。（答案：）


方法歸納：與扇形有關(guān)的陰影部分的面積的計(jì)算是中考命題者比較青瞇的，關(guān)鍵是把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想。注意：（1）對(duì)圖形的分解不同，解題的難易程度不同，解題中要認(rèn)真觀察圖形，追求最簡(jiǎn)單的解法；（2）求面積的問(wèn)題的常用方法有：直接公式法、和差法、割補(bǔ)法等。


§.例3、如圖，⊙內(nèi)切于扇形，切點(diǎn)為、、，已知⊙的面積為，，求扇形的周長(zhǎng)和面積.


解析：要求扇形的周長(zhǎng)和面積，關(guān)鍵是求出所在圓的半徑，由于⊙內(nèi)切于扇形，所以、、相等，又，依據(jù)切線長(zhǎng)性質(zhì)知，，從而依據(jù)求出，進(jìn)而求出⊙的半徑.


D


A


OA


E


O1


C


圖 4


B


解：連結(jié)、、，延長(zhǎng)，則必過(guò)點(diǎn).


∵⊙內(nèi)切于扇形，


∴，，


在中，


∴


∴的長(zhǎng)


∴扇形的周長(zhǎng)：的長(zhǎng)；


扇形的面積為.


歸納：（1）求扇形面積時(shí)，應(yīng)靈活地選擇公式；（2）本節(jié)知識(shí)與前面很多知識(shí)聯(lián)系密切，如圓的位置關(guān)系，切線、切線長(zhǎng)的性質(zhì)等，要提高綜合分析問(wèn)題的能力.


§.例4、如圖，⊙、⊙外切于點(diǎn)，分別切⊙、⊙于、兩點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，已知.


（1）求⊙、⊙的半徑比；


（2）若⊙的半徑為，求，及切線所圍成的圖形（陰影部分）的面積。


解析：如圖，，，，.


解：連結(jié)、，過(guò)作，連結(jié).


∵


∴


P


O2


A


H


O1


C


圖 5


B


又∵，


∴，得：


（2），


∴





∴


四、鞏固練習(xí)


教材 練習(xí)


五、課堂小結(jié)


通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求同學(xué)們


1、掌握扇形的面積公式并能利用扇形的面積公式進(jìn)行解答。


2、掌握扇形的面積與弧長(zhǎng)之間的關(guān)系。


六、課外作業(yè)


教材 習(xí)題27.3


























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27.3 圓中的計(jì)算問(wèn)題

版本： 華東師大版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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