高考考點(diǎn)
考點(diǎn)解讀
平面向量的
運(yùn)算及運(yùn)用
1.以平面圖形為載體，借助向量考查數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系、向量的線性運(yùn)算及幾何意義
2．以平面向量基本定理為出發(fā)點(diǎn)，與向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積交匯命題
3．直接利用數(shù)量積運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算，求向量的夾角、模或判斷向量的垂直關(guān)系
復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)的概念、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)等
2．復(fù)數(shù)的幾何意義及四則運(yùn)算，重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算
程序框圖
1.主要考查程序框圖的應(yīng)用及基本算法語句，尤其是含循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖
2．與分段函數(shù)的求值、數(shù)列求和或求積、統(tǒng)計等有規(guī)律的重復(fù)計算問題放在一起綜合考查
合情推理
1.主要考查合情推理和演繹推理，重點(diǎn)考查歸納推理和類比推理
2．以數(shù)表、數(shù)陣、圖形等為背景與數(shù)列、周期性等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合考查歸納推理
備考策略
本部分內(nèi)容在備考時應(yīng)注意以下幾個方面：
(1)加強(qiáng)對向量加法、減法的平行四邊形法則與三角形法則的理解、掌握兩向量共線與垂直的條件，熟記平面向量的相關(guān)公式，掌握求模、夾角的方法．
(2)掌握復(fù)數(shù)的基本概念及運(yùn)算法則，在備考時注意將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式再進(jìn)行求解，同時注意“分母實(shí)數(shù)化”的運(yùn)用．
(3)關(guān)注程序框圖和基本算法語句的應(yīng)用與判別，尤其是含循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖要高度重視．
(4)掌握各種推理的特點(diǎn)和推理過程，同時要區(qū)分不同的推理形式，對歸納推理要做到歸納到位、準(zhǔn)確；對類比推理要找到事物的相同點(diǎn)，做到類比合，對演繹推理要做到過程嚴(yán)密．
預(yù)測2020年命題熱點(diǎn)為：
(1)利用平面向理的基本運(yùn)算解決數(shù)量積、夾角、?；虼怪?、共線等問題，與三角函數(shù)、解析幾何交匯命題．
(2)單獨(dú)考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念、復(fù)數(shù)的幾何意義等相互交匯考查．
(3)程序框圖主要是以循環(huán)結(jié)構(gòu)為主的計算、輸出、程序框圖的補(bǔ)全，與函數(shù)求值、方程求解、不等式求解數(shù)列求和、統(tǒng)計量的計算等交匯在一起命題．
(4)推理問題考查歸納推理和類比推理，主要與數(shù)列、立體幾何、解析幾何等結(jié)合在一起命題．

Z
1．重要公式
(1)兩個非零向量平行、垂直的充要條件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
①a∥b?a＝λb(b≠0，λ∈R)?x1y2－x2y1＝0.
②a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則
(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i(a，b，c，d∈R)．
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
2．重要性質(zhì)及結(jié)論
(1)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
(2)已知＝λ＋μ(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1..
(3)平面向量的三個性質(zhì)
①若a＝(x，y)，則|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝.
③設(shè)θ為a與b(a≠0，b≠0)的夾角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cosθ＝＝.
(4)復(fù)數(shù)運(yùn)算中常用的結(jié)論：
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*
3．推理與證明
(1)歸納推理的思維過程
→→
(2)類比推理的思維過程
→→
(3)(理)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟
①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n＝n0(n0∈N*)時，命題成立；
②(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．
只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對于任何n≥n0的正整數(shù)都成立．
Y
1．忽略復(fù)數(shù)的定義：
在解決與復(fù)數(shù)概念有關(guān)的問題時，在運(yùn)用復(fù)數(shù)的概念時忽略某一條件而致誤．
2．不能準(zhǔn)確把握循環(huán)次數(shù)
解答循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖(流程圖)問題，要注意循環(huán)次數(shù)，防止多一次或少一次的錯誤．
3．忽略特殊情況：兩個向量夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價；兩個向量夾角為鈍角與向量的數(shù)量積小于0不等價．

1．(2018·全國卷Ⅰ，1)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝( C )
A．0　　　 B．　　　　
C．1　　　 D．
[解析]　∵ z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴ |z|＝1.
故選C．
2．(2018·全國卷Ⅱ，1)＝( D )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
[解析]?。剑剑剑剑玦.
故選D．
3．(2018·全國卷Ⅱ，4)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝( B )
A．4 B．3
C．2 D．0
[解析]　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3.
故選B．
4．(2018·全國卷Ⅰ，6)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝( A )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
[解析]　 作出示意圖如圖所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
故選A．
5．(2018·北京卷，2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]?。剑?，其共軛復(fù)數(shù)為－，對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限．
故選D．
6．(2018·全國卷Ⅱ，7)為計算S＝1－＋－＋…＋－，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入
( B )

A．i＝i＋1
B．i＝i＋2
C．i＝i＋3
D．i＝i＋4
[解析]　把各循環(huán)變量在各次循環(huán)中的值用表格表示如下.
循環(huán)
次數(shù)
①
②
③
…

N
0＋
0＋＋
0＋＋
＋
…
0＋＋＋
＋…＋
T
0＋
0＋＋
0＋＋
＋
…
0＋＋＋
＋…＋
S
1－
1－＋－
1－＋－
＋－
…
1－＋－
＋…＋－
因?yàn)镹＝N＋，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.
故選B．
7．(2018·天津卷，3)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為( B )

A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　輸入N的值為20，
第一次執(zhí)行條件語句，N＝20，i＝2，＝10是整數(shù)，
∴ T＝0＋1＝1，i＝3b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖)(稱為橢球體)，課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的做法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于×b2a.

[解析]　橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積V＝2(V圓柱－V圓錐)＝2(π×b2×a－×b2a)＝×b2a.

A組
1．(2017·全國卷Ⅱ，1)＝( D )
A．1＋2i　　 B．1－2i　　　
C．2＋i　　 D．2－i
[解析]?。剑剑?－i.
故選D．
2．(文)已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)＝( C )
A．2＋i B．2－i
C．－1－2i D．－1＋2i
[解析]　＝＝－1－2i，故選C．
(理)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，則|a＋bi|＝( C )
A．＋i B．
C． D．
[解析]　∵(1＋2ai)i＝－2a＋i＝1－bi，
∴a＝－，b＝－1，
∴|a＋bi|＝|－－i |＝＝.
3．(2018·濟(jì)南二模)已知數(shù)列{an}，觀察如圖所示的程序框圖，若輸入a1＝1，d＝2，k＝7，則輸出的結(jié)果為( C )

A． B．
C． D．
[解析]　由題中程序框圖知，輸出S＝＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋…＋－)＝.
4．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，a·b＝4，則|a－b|＝( C )
A． B．2
C．2 D．
[解析]　向量的數(shù)量積．∵|a＋b|＝，a·b＝4，
∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，故選C．
5．設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝( B )
A． B．
C．2 D．10
[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.
6．(2018·大連一模)某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計第10年樹的分枝數(shù)為( D )

A．21 B．34
C．52 D．55
[解析]　由題意可得，這種樹從第一年的分枝數(shù)分別是1,1,2,3,5，…則2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第10年樹的分枝數(shù)是21＋34＝55.故選D．
7．下面框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S＝28，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是( D )

A．k＝8? B．k≤7?
C．k7?
[解析]　開始→k＝10，S＝1，滿足條件→S＝1＋10＝11，k＝10－1＝9，滿足條件→S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，滿足條件→S＝20＋8＝28，k＝8－1＝7.由于輸出S的值為28，故k＝7不再滿足條件，故選D．
8．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，則＋＝( A )
A． B． C． D．
[解析]　如圖，

＋
＝－(＋)－(＋)
＝－(＋)＝(＋)＝.
選A．
9．對任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是( B )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
[解析]　由|a·b|＝||a|·|b|·cosθ|，
因?yàn)椋?≤cosθ≤1，所以|a·b|≤|a||b|恒成立；
由向量減法的幾何意義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得|a－b|≥||a|－|b||，故B選項(xiàng)不成立；
根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律C，D選項(xiàng)恒成立．
10．36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6＝22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為( C )
A．201 B．411 C．465 D．565
[解析]　200的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?00＝23×52，所以200的所有正約數(shù)之和為(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正約數(shù)之和為465.
11．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a＝－1.
[解析]　(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，所以a＋1＝0，a＝－1.
12．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則|2a＋3b|等于4.
[解析]　由a∥b?m＋4＝0，解得m＝－4，故2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a＋3b|＝＝4.
13．已知△ABC的面積為2，且B＝，則·＝4.
[解析]　設(shè)△ABC的三角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
則S＝acsinB＝ac＝2，即ac＝8，
·＝||||·cos(π－B)＝cacos＝8×＝4.
14．執(zhí)行下邊的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的y的值為13.

[解析]　第一次執(zhí)行程序，滿足條件x＜2，x＝1＋1＝2；第二次執(zhí)行程序，不滿足條件x＜2，y＝3×22＋1＝13，輸出y＝13，結(jié)束．答案為13.
15．(2018·聊城一模)觀察等式：f()＋f()＝1；f()＋f()＋f()＝；f()＋f()＋f()＋f()＝2；f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝；
…
由以上幾個等式的規(guī)律可猜想f()＋f()＋f()＋…＋f()＝1_009.
[解析]　從所給四個等式看：等式右邊依次為1，，2，，將其變?yōu)?，，，，可以得到右邊是一個分?jǐn)?shù)，分母為2，分子與左邊最后一項(xiàng)中自變量的分子相同，所以f()＋f()＋f()＋…＋f()＝＝1 009.
B組
1．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)b等于( D )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
[解析]?。剑?br /> ＝，
若其為實(shí)數(shù)，則有＝0，解得b＝2.
2．(文)(2018·石景山檢測)已知復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i，若z是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于( B )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[解析]　∵z為純虛數(shù)，∴∴a＝1.
(理)已知復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為( B )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[解析]　∵z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，
∴，∴a＝1.
3．(2017·全國卷Ⅱ，4)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則( A )
A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|
C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|
[解析]　方法一：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.
∴a⊥b.
故選A．
方法二：利用向量加法的平行四邊形法則．
在?ABCD中，設(shè)＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，∴|AC|＝|DB|
從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故選A．
4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為( B )

A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　輸入a＝1，則b＝1，第一次循環(huán)，a＝＝－，k＝1；第二次循環(huán)，a＝＝－2，k＝2；第三次循環(huán)，a＝＝1，此時a＝b，結(jié)束循環(huán)，輸出k＝2.故選B．
5．(2018·濰坊一模)若復(fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m－1)(m－2)i是純虛數(shù)，其中m是實(shí)數(shù)，i2＝－1，則等于( D )
A． B．－
C． D．－
[解析]　因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝m(m－1)＋(m－1)·(m－2)i是純虛數(shù)，所以m(m－1)＝0且(m－1)(m－2)≠0，所以m＝0，則＝＝－.
6．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a－tb|(t∈R)的最小值為( A )
A． B．
C．1 D．2
[解析]　由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，于是|a＋b|2＝1，即a2＋2a·b＋b2＝1，
即a·b＝－.
|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝(1＋t2)－2ta·b＝t2＋t＋1≥，故|a－tb|的最小值為.
7．如圖所示將若干個點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點(diǎn))有n(n>1，n∈N)個點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則＋＋＋…＋＝( C )

A． B．
C． D．
[解析]　每條邊有n個點(diǎn)，所以三條邊有3n個點(diǎn)，三角形的3個頂點(diǎn)都被重復(fù)計算了一次，所以減3個頂點(diǎn)，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，
則＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…(－)＝1－＝.故選C．
8．中國古代有計算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x＝2，n＝2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s＝( C )

A．7 B．12
C．17 D．34
[解析]　由程序框圖知，
第一次循環(huán)：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循環(huán)：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循環(huán)：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.結(jié)束循環(huán)，輸出s的值為17，故選C．
9．設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若z＝1－i(i為虛數(shù)單位)，則＋z2的虛部為－1.
[解析]　∵z＝1－i(i為虛數(shù)單位)，
∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，故其虛部為－1.
10．(文)(2018·廈門聯(lián)考)劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去西安參加自主招生考試，考試結(jié)束后劉老師向四名學(xué)生了解考試情況．四名學(xué)生回答如下：
甲說：“我們四人都沒考好．”
乙說：“我們四人中有人考得好．”
丙說：“乙和丁至少有一人沒考好．”
丁說：“我沒考好．”
結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對了，則這四名學(xué)生中的乙，丙兩人說對了．
[解析]　甲與乙的關(guān)系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯，如果選丁正確，則丙也是對的，所以丁錯誤，可得丙正確，此時乙正確．故答案為乙，丙．
(理)(2018·湖北七市聯(lián)考)觀察下列等式：
1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；
1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；
……
可以推測，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*).
[解析]　根據(jù)式子中的規(guī)律可知，等式右側(cè)為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)
11．(2017·江蘇卷，4)如圖是一個算法流程圖，若輸入x的值為，則輸出y的值是－2.

[解析]　輸入x＝

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