第三講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

高考考點
考點解讀
導(dǎo)數(shù)的幾
何意義(文)
1.求過某點的切線的斜率、方程或切點的坐標(biāo)
2．根據(jù)過某點切線方程或其與某線平行、垂直等求參數(shù)的值
導(dǎo)數(shù)與定積分
的幾何意義(理)
1.確定或應(yīng)用過某點的切線的斜率(方程)
2．定積分的簡單計算或利用定積分求某些圖形的面積
利用導(dǎo)數(shù)研究
函數(shù)的單調(diào)性
1.利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，討論含有參數(shù)的較復(fù)雜基本函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)
2．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求某些參數(shù)的取值范圍．
利用導(dǎo)數(shù)研究
函數(shù)的極值和最值
1.利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求某些含有參數(shù)的較復(fù)雜基本函數(shù)的極值的大小、個數(shù)或最值
2．根據(jù)函數(shù)極值的存在情況，利用導(dǎo)數(shù)求某些參數(shù)的取值范圍
備考策略
本部分內(nèi)容在備考時應(yīng)注意以下幾個方面：
(1)理解并掌握求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則及定積分的計算公式及性質(zhì)．
(2)熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究曲線切線問題、函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題的方法和規(guī)律．
預(yù)測2020年命題熱點為：
(1)根據(jù)曲線的切線的斜率大小、方程或切線的性質(zhì)求參數(shù)的取值問題．
(2)利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的高次式、分式、指數(shù)式(主要含ex)，對數(shù)式(主要含ln x)及三角式(主要含sinx，cosx)函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題．

Z
1．基本初等函數(shù)的八個導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝C(C為常數(shù))
f ′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R)
f(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f ′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f ′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f ′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f ′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝！?。?！
f(x)＝ln x
f ′(x)＝！?。。?
2.導(dǎo)數(shù)四則運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
(4)(理)若y＝f(u)，u＝ax＋b，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y′x＝a·y′u.
3．切線的斜率
函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，因此曲線f(x)在點P處的切線的斜率k＝
f_′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).
4．函數(shù)的單調(diào)性
在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)1?g(x)在(0,1)上單調(diào)減，在(1，＋∞)上單調(diào)增．因為有唯一零點，
所以a＝g(1)＝2＋1＝3?f(x)＝2x3－3x2＋1，
求導(dǎo)可知在[－1,1]上，
f(x)min＝f(－1)＝－4，f(x)max＝f(0)＝1，
所以f(x)min＋f(x)max＝－3.
7．(文)(2018·北京卷，19)設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為0，求a；
(2)若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．
[解析]　(1)因為f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(2)＝(2a－1)e2，
由題設(shè)知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)方法一：由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex
若a>1，則當(dāng)x∈時，f′(x)0.
所以f(x)在x＝1處取得極小值．
若a≤1，則當(dāng)x∈(0,1)時，ax－1≤x－10.
所以1不是f(x)的極小值點．
綜上可知，a的取值范圍是(1，＋∞)．
方法二：f′(x)＝(ax－1)(x－1)ex.
①當(dāng)a＝0時，令f′(x)＝0得x＝1.
f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
極大值
↘
所以f(x)在x＝1處取得極大值，不合題意．
②當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0得x1＝，x2＝1.
(ⅰ)當(dāng)x1＝x2，即a＝1時，f′(x)＝(x－1)2ex≥0，
所以f(x)在R上單調(diào)遞增，
所以f(x)無極值，不合題意．
(ⅱ)當(dāng)x1>x2，即01，可知當(dāng)x變化時，h′(x)，h(x)的變化情況如表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
↘
極小值
↗
所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．
(2)由f′(x)＝axln a，可得曲線y＝f(x)在點(x1，f(x1))處的切線斜率為ax1ln a.
由g′(x)＝，可得曲線y＝g(x)在點(x2，g(x2))處的切線斜率為.
因為這兩條切線平行，故有ax1ln a＝，
即x2ax1(ln a)2＝1.
兩邊取以a為底的對數(shù)，得logax2＋x1＋2loga(ln a)＝0，所以x1＋g(x2)＝－.

例1 (1)設(shè)曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為(1,1).
[解析]　y′＝ex，則y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k切＝1，又曲線y＝(x>0)上點P處的切線與y＝ex在點(0,1)處的切線垂直，所以y＝(x>0)在點P處的斜率為－1，設(shè)P(a，b)，則曲線y＝(x>0)上點P處的切線的斜率為y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數(shù))過點P(2，－5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是－3.
[解析]　∵y＝ax2＋，
∴y′＝2ax－，
由題意可得
解得
∴a＋b＝－3.
(3)(理)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數(shù)．給出三組函數(shù)：
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是(　　C　　)
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
[解析]　對于①， (sinxcosx)dx
＝sinxdx
＝sinxdx
＝(－cosx)|
＝{－cos1－[－cos(－1)]}
＝(－cos1＋cos1)＝0.
故①為一組正交函數(shù)；
對于②， [(x＋1)(x－1)]dx＝ (x2－1)dx＝(x3－x)|＝－1－(－＋1)＝－2＝－≠0，
故②不是一組正交函數(shù)；
對于③， (x·x2)dx＝x3dx＝(x4)|＝0.
故③為一組正交函數(shù)．
故選C.
『規(guī)律總結(jié)』
1．求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法
(1)已知切點P(x0，y0)，求y＝f(x)在點P處的切線方程：求出切線的斜率f ′(x0)，由點斜式寫出方程．
(2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程．
設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程k＝f ′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程．
(3)已知切線上一點(非切點)，求y＝f(x)的切線方程：
設(shè)切點P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f ′(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程．
2．根據(jù)過某點切線方程(斜率)或其與某線平行、垂直等求參數(shù)問題的解法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系構(gòu)建方程(組)或函數(shù)求解．
3．(理)利用定積分求平面圖形的面積的兩個關(guān)鍵點
關(guān)鍵點一：正確畫出幾何圖形，結(jié)合圖形位置，準(zhǔn)確確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的積分表達式，再利用微積分基本定理求出積分值．
關(guān)鍵點二：根據(jù)圖形的特征，選擇合適的積分變量．在以y為積分變量時，應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤＝(y)的形式，同時，積分上、下限必須對應(yīng)y的取值．
易錯提醒：求曲線的切線方程時，務(wù)必分清點P處的切線還是過點P的切線，前者點P為切點，后者點P不一定為切點，求解時應(yīng)先求出切點坐標(biāo)．
G
1．(2018·洛陽二模)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(x)是偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為( A )
A．9x－y－16＝0　　　 B．9x＋y－16＝0
C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0
[解析]　由題意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函數(shù)，則a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，則f(2)＝2，f′(2)＝9，則所求切線方程為y－2＝9(x－2)，即為9x－y－16＝0.
2．若曲線f(x)＝acosx與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(0，m)處有公切線，則a＋b的值為( C )
A．－1　　　 B．0　　　　
C．1　　　 D．2
[解析]　依題意得，f ′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f ′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，b＝0；
m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
3．(理)由直線x＝，x＝2，曲線y＝及x軸所圍成的圖形的面積是( D )
A． B．
C．ln 2 D．2ln 2
[解析]　由定積分的幾何意義，得圍成的面積dx＝ln x|2＝ln 2－ln＝ln 4＝2ln 2.

例2 (2018·河南息縣第一高級中學(xué)段測)已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx.
(1)當(dāng)a＝－2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若g(x)＝f(x)＋，在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
[解析]　(1)f′(x)＝2x－，
令f′(x)>0，得x>1；
令f′(x)