練習(xí)9 拋物線



1．（2020秋?如皋市期中）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C上一點(diǎn)P（m，1）到焦點(diǎn)F的距離為．則實(shí)數(shù)p值為（　?。?br /> A．2 B．1 C． D．
【分析】利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C上一點(diǎn)P（m，1）到焦點(diǎn)F的距離為．
可得+1＝，解得p＝．
故選：C．
2．（2020秋?鎮(zhèn)江期中）拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線4x2﹣y2＝1的兩條漸近線所圍成的三角形面積為（　?。?br /> A． B．2 C．2 D．4
【分析】求出拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線4x2﹣y2＝1的兩條漸近線方程，然后求解三角形的邊長利用面積公式求出三角形的面積即可．
【解答】解：拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為x＝﹣1，
雙曲線4x2﹣y2＝1的兩條漸近線方程分別為：y＝2x，y＝﹣2x，x＝﹣1時(shí)，y＝±2，
因此，所求三角形面積等于＝2．
故選：B．
3．（2020秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線y＝2上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為（　?。?br /> A． B． C． D．9
【分析】設(shè)直線l方程為x＝my+2，聯(lián)立方程組消元，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算|y1﹣y2|，于是 S△AOB＝|OF|×|y1﹣y2|．
【解答】解：F（2，0），設(shè)直線l的方程為：x＝my+2，
聯(lián)立方程組，消去x可得y2﹣8my﹣16＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2＝﹣16，
∵線段AB的中點(diǎn)M在直線y＝2上，∴y1+y2＝4，
∴|y1﹣y2|＝＝＝4，
∴S△AOB＝|OF|×|y1﹣y2|＝4＝4．
故選：B．

4．（2020秋?如皋市月考）設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（﹣2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則|MF|+|NF|＝（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】設(shè)出M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用拋物線的性質(zhì)推出|MF|+|NF|即可．
【解答】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），過點(diǎn)（﹣2，0）且斜率為的直線方程為y＝（x+2），
聯(lián)立，
可得x2﹣5x+4＝0，x1+x2＝5，
則|MF|+|NF|＝x1+x2+p＝5+2＝7．
故選：C．
5．（2020秋?鎮(zhèn)江期中）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用．直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”，設(shè)直線l交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，若|OA|，|OB|恰好是Rt△OAB的“勾”“股”（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則此直線l恒過定點(diǎn)（　?。?br /> A．（，0） B．（，0） C．（0，2） D．（0，4）
【分析】設(shè)直線l：y＝mx+b，代入拋物線x2＝4y，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)直線l：y＝mx+b，（b≠0），代入拋物線x2＝4y，可得x2﹣4mx﹣4b＝0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4b，
∴x12x22＝16y1y2＝16b2，∴y1y2＝b2，
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0，
可得b2﹣4b＝0，
∵b≠0，∴b＝4，∴直線l：y＝mx+4，
∴直線l過定點(diǎn)（0，4）．
故選：D．
6．（多選）（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知直線l：2kx﹣2y﹣kp＝0與拋物線C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是點(diǎn)M（﹣1，﹣1），則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．p＝2 B．k＝﹣2
C．AB＝5 D．△MAB的面積為5
【分析】根據(jù)M點(diǎn)橫坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算p，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣1和根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算k，根據(jù)弦長公式計(jì)算AB，求出M到AB的距離，計(jì)算三角形MAB的面積．
【解答】解：∵M(jìn)（﹣1，﹣1）在拋物線的準(zhǔn)線x＝﹣上，∴﹣＝﹣1，即p＝2，故A正確；
由題意可知以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線x＝﹣1相切，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則D點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣1，
聯(lián)立方程組，消去x可得y2﹣﹣4＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝＝﹣2，∴k＝﹣2，故B正確；
又y1y2＝﹣4，∴|AB|＝?＝?＝5，故C正確；
直線AB的方程為：﹣4x﹣2y+4＝0，即2x+y﹣2＝0，∴M（﹣1，﹣1）到直線AB的距離d＝＝，
∴△MAB的面積為S＝＝＝，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC．
7．（多選）（2020秋?如皋市期中）已知拋物線C：y2＝4x，其焦點(diǎn)為F，P為直線x＝﹣2上任意一點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，斜率分別為k1，k2，則（　　）
A． B．|k1﹣k2|＝2
C．AB過定點(diǎn)（2，0） D．AF?BF的最小值為8
【分析】設(shè)P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），則y12＝4x1，y22＝4x2，對(duì)拋物線的方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得切線的斜率，切線的方程，聯(lián)立兩切線方程求得P的橫坐標(biāo)，可判斷A；
由切線的斜率相減，化簡可判斷B；求得AB的直線方程，結(jié)合恒過定點(diǎn)，可判斷C；由拋物線的定義和基本不等式可判斷D．
【解答】解：由題意可得F（1，0），拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，
設(shè)P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
則y12＝4x1，y22＝4x2，
對(duì)y2＝4x兩邊對(duì)x同時(shí)求導(dǎo)，可得2yy′＝4，即y′＝，
所以過A的切線的方程為x﹣x1＝＝（y﹣y1），化為x＝y(tǒng)﹣①，
同理可得過B的切線方程為x＝y(tǒng)﹣②，
由①②解得x＝，由P的橫坐標(biāo)為﹣2，即＝﹣2，則y1y2＝﹣8，k1k2＝＝﹣，故A正確；
因?yàn)閨k1﹣k2|＝||＝||不為定值，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)锳B的直線方程為y﹣y1＝（x﹣），即y＝y(tǒng)1+x﹣，
即y＝（x﹣2），所以AB恒過定點(diǎn)（2，0），故C正確；
將|AF|，|BF|轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即|AF|?|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+（+）
＝5+（+）≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝|y2|時(shí)取得等號(hào)，
所以|AF|?|BF|的最小值為9，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
8．（2020秋?海安市期中）拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝1，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程為y＝1，可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，再設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝﹣2py，根據(jù)準(zhǔn)線方程求出p的值，代入即可得到答案．
【解答】解：由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正負(fù)半軸，
設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝﹣2py（p＞0），
∵拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝1，
∴＝1，
∴p＝2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝﹣4y．
故答案為：x2＝﹣4y．
9．（2020秋?鎮(zhèn)江期中）拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)F是圓x2+y2﹣2x＝0的圓心，P為拋物線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且PF＝3，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為　 ?。?br /> 【分析】求出圓的圓心，然后求解拋物線方程得到拋物線的準(zhǔn)線方程，通過拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：圓x2+y2﹣2x＝0的圓心（1，0），所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），所以p＝2，
拋物線方程為：y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，P為拋物線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且PF＝3，
所以P的橫坐標(biāo)為：2，當(dāng)x＝2，可得y＝2．
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．
故答案為：（2，2）．
10．（2020秋?六合區(qū)校級(jí)月考）設(shè)拋物線y2＝2x上兩點(diǎn)A，B位于x軸的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為4，則直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是　 ?。?br /> 【分析】設(shè)A，B同在第一象限，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+b（k＞0，b＞0），聯(lián)立拋物線的方程，消去y，可得x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得k，b的關(guān)系式，再由直線恒過定點(diǎn)的求法，可得所求定點(diǎn)．
【解答】解：可設(shè)A，B同在第一象限，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+b（k＞0，b＞0），
代入拋物線y2＝2x，可得k2x2+（2kb﹣2）x+b2＝0，
則△＝（2kb﹣2）2﹣4k2b2＞0，
設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，
可得x1x2＝＝4，即b＝2k，
則直線AB的方程為y＝kx+2k，即y＝k（x+2），
則直線AB恒過定點(diǎn)（﹣2，0）．
故答案為：（﹣2，0）．
11．（2020秋?如皋市月考）已知F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A（p，1），點(diǎn)M為拋物線C上任意一點(diǎn)，且MA+MF的最小值為3，則p＝　 　，若線段AF的垂直平分線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，則四邊形APFQ的面積為　 ．
【分析】討論A與拋物線的關(guān)系，分情況求出MA+MF的最小值即可得出p的值，根據(jù)弦長公式計(jì)算PQ，計(jì)算F到PQ的距離得出四邊形的面積．
【解答】解：把x＝p代入y2＝2px可得y＝±p，
若p＞1，即p＞，則MA+MF的最小值為A到準(zhǔn)線x＝﹣的距離，
∴＝3，p＝2，符合題意；
若p≤1，即0＜p≤，則MA+MF的最小值為AF＝＝，
∴＝3，解得p＝4（舍去），
綜上，p＝2．
顯然A（2，1），F(xiàn)（1，0），故AF的中點(diǎn)為（，），直線AF的斜率為＝1，
∴線段AF的中垂線方程為y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，
聯(lián)立方程組，消元可得：x2﹣8x+4＝0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝8，x1x2＝4，
∴PQ＝?＝＝4，
又F（1，0）到直線PQ的距離為＝，
∴四邊形APFQ的面積為S＝2S△FPQ＝2××＝4．
故答案為：2，4．
12．（2020秋?六合區(qū)校級(jí)月考）已知拋物線y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)M（m，2）到其焦點(diǎn)F的距離為2．
（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過x軸正半軸上一點(diǎn)N（n，0）作傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求+的值．
【分析】（1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義和M滿足拋物線的方程，解得p，進(jìn)而得到所求拋物線的方程；
（2）求得直線l的方程，聯(lián)立拋物線的方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，化簡可得所求和．
【解答】解：（1）拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣，
由M（m，2）到其焦點(diǎn)F的距離為2，可得m+＝2，且4＝2pm，
解得p＝2，m＝1，
則拋物線的方程為y2＝4x；
（2）由題意可得直線l的方程為y＝x﹣n，
聯(lián)立拋物線的方程y2＝4x，可得x2﹣（2n+4）x+n2＝0，
則△＝（2n+4）2﹣4n2＞0，即n＞﹣1，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝2n+4，x1x2＝n2，
k1＝，k2＝，
則+＝+＝+＝＝＝1．



13．（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（　?。?br />
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
【分析】分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于E，D，設(shè)|BF|＝a，運(yùn)用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，求得p，可得所求拋物線的方程．
【解答】解：如圖，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于E，D，
設(shè)|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由拋物線的定義可得|BD|＝a，則∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p＝|FC|＝3，因此拋物線的方程為y2＝6x．
故選：B．

14．（2020春?清江浦區(qū)校級(jí)期末）已知?jiǎng)訏佄锞€y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）與動(dòng)直線y＝t（t≥1）交于A、B兩點(diǎn)且與動(dòng)直線y＝t+1交于C、D兩點(diǎn)，ABCD構(gòu)成一個(gè)梯形，S為這個(gè)梯形的面積，AD為其一腰長，則S2+16AD2的最小值為　 ?。?br /> 【分析】可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x4＜x3，聯(lián)立y＝t與拋物線的方程，以及y＝t+1與拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和求根公式，求得|AB|，|CD|，|AD|，再由梯形的面積公式和勾股定理、換元法和基本不等式可得所求最小值．
【解答】解：可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x4＜x3，
由y＝t與y＝x2+ax+b聯(lián)立，可得x2+ax+b﹣t＝0，
即有△1＝a2﹣4（b﹣t），由于b≤0，t≥1，可得△1＞0恒成立，
x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣t，則|AB|＝|x1﹣x2|＝＝，
由y＝t＝1與y＝x2+ax+b聯(lián)立，可得x2+ax+b﹣t﹣1＝0，
則△2＝a2﹣4（b﹣t﹣1），由于b≤0，t≥1，可得△2＞0恒成立，
即有x3+x4＝﹣a，x3x4＝b﹣t﹣1，則|CD|＝|x3﹣x4|＝＝，
可得S＝（|AB|+|CD|）×1＝（+），
又AD2＝1+（x1﹣x4）2＝1+（﹣）2＝1+（（﹣）2，
設(shè)u＝，v＝，則v2﹣u2＝4，即v﹣u＝，
則S2+16AD2＝（u+v）2+16+4（u﹣v）2＝（u+v）2++16≥2+16＝4+16＝20．
當(dāng)且僅當(dāng)（u+v）2＝即u+v＝4時(shí)，上式取得等號(hào)．
則S2+16AD2的最小值為20．
故答案為：20．
15．（2020秋?連云港期中）如圖，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F任作直線l，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AB與x軸不垂直，且點(diǎn)A位于x軸上方．AB的垂直平分線與x軸交于D點(diǎn)．
（1）若，求AB所在的直線方程；
（2）求證：為定值．

【分析】（1）設(shè)直線l：x＝ty+1，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得t，進(jìn)而得到所求直線方程；
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為N（xN，yN），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N的坐標(biāo)，求得AB的中垂線方程，可得|DF|，|AB|，計(jì)算可得所求定值．
【解答】解：（1）直線l的斜率不為0，可得F（1，0），
設(shè)直線l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由A在x軸上方，
所以y1＞0，y2＜0，
由可得y2﹣4ty﹣4＝0，
所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，
因?yàn)?，可得?﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣1，y2），所以﹣y1＝2y2，
由可得y1＝8t，y2＝﹣4t，代入y1y2＝﹣4，因?yàn)閥1＞0，所以t＞0，解得t＝，
所以AB所在直線方程為2x﹣y﹣2＝0；
（2）證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為N（xN，yN），所以yN＝＝2t，xN＝2t2+1，即N（2t2+1，2t），
所以AB的中垂線l'：y﹣2t＝﹣t（x﹣2t2﹣1），
所以D（2t2+3，0），則|DF|＝|2t2+3﹣1|＝2t2+2，
又|AB|＝＝
＝?＝?＝4t2+4，
所以＝＝2為定值．





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