人教B版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)秀當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題

1.（2020·山東菏澤三中高二期末）與橢圓x24+y2=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程是( )

A.x24-y2=1B.x23-y2=1 C.x22-y2=1 D.x2-y22=1

【答案】C

【解析】由題意得,雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,且c=3,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則有a2+b2=c2=3,4a2-1b2=1,解得a2=2,b2=1,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y2=1.

2.若雙曲線上存在點(diǎn)P,使得P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2∶1,則稱此雙曲線存在“L點(diǎn)”,下列雙曲線中存在“L點(diǎn)”的是( )

A.x2-y24=1B.x2-y29=1 C.x2-y215=1D.x2-y224=1

【答案】A

【解析】若雙曲線的方程為x2-y24=1,則a=1,c=5,不妨設(shè)|PF1|=2|PF2|,則由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-5)2+y2=4,與雙曲線方程4x2-y2=4聯(lián)立可得5x2-25x-3=0,其判別式Δ=20+60=80>0,故存在“L點(diǎn)”.

3.動(dòng)圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡是( )

A.雙曲線的一支B.圓 C.橢圓D.雙曲線

【答案】A

【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心為M,半徑為r,圓x2+y2=1與x2+y2-8x+12=0的圓心分別為O1和O2,半徑分別為1和2,由兩圓外切的充要條件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).

4.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點(diǎn).若P在雙曲線上,且PF1·PF2=0,則|PF1+PF2|=( )

A.25B.5C.210D.10

【答案】C

【解析】由題意,知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(-10,0),F2(10,0).設(shè)點(diǎn)P(x,y),

則PF1=(-10-x,-y),PF2=(10-x,-y).∵PF1·PF2=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.

∴|PF1+PF2|=|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=2(x2+y2)+20=210.

5．（多選題）（2020·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)和的斜率之積等于8，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E，則（）

A．曲線E經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)B．曲線E關(guān)于x軸對(duì)稱

C．曲線E關(guān)于y軸對(duì)稱D．若點(diǎn)在曲線E上，則

【答案】BC

【解析】設(shè)，則，則，（）.

故軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線去除頂點(diǎn).故曲線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，錯(cuò)誤；曲線E關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱，正確；若點(diǎn)在曲線E上，則或，錯(cuò)誤；故選：.

6. （多選題）（2020·廣東寶安高二開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在雙曲線上，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若的面積為，則下列說(shuō)法正確的有（）

A．點(diǎn)到軸的距離為B．

C．為鈍角三角形D．

【答案】BC

【解析】因?yàn)殡p曲線，所以.又因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將代入得，即.由對(duì)稱性，不妨取的坐標(biāo)為，可知.由雙曲線定義可知，

所以，所以選項(xiàng)B正確；由對(duì)稱性，對(duì)于上面點(diǎn)，

在中，.且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，選項(xiàng)C正確；由余弦定理得，，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.

二、填空題

7.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF

的面積為 .

【答案】32

【解析】因?yàn)镕是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),所以F(2,0).因?yàn)镻F⊥x軸,所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2,yP).因?yàn)镻是C上一點(diǎn),所以4-yP23=1,解得yP=±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因?yàn)锳(1,3),所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1,所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=32.

8. （2020·湖北襄陽(yáng)高二月考）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò),“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”,事實(shí)上,有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決.如:與(x-a)2+(y-b)2相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題可以考慮轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(a,b)之間距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn),可得方程|x2+8x+20-x2-8x+20|=4的解為 .

【答案】±433

【解析】|x2+8x+20-x2-8x+20|=4,即|(x+4)2+22-(x-4)2+22|=4.其幾何意義是動(dòng)點(diǎn)(x,2)到定點(diǎn)(-4,0)和(4,0)的距離之差的絕對(duì)值為4,∴該曲線為雙曲線,∴2a=4,a=2,c=4,b2=12,

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y212=1.∵點(diǎn)(x,2)在該雙曲線上,∴x24-412=1,解得x=±433.

9.（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B都在某雙曲線上，且A，B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.

【答案】

【解析】由圓的方程知：與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B都在某雙曲線上∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且，又∵A，B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分∴，即有，∴此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

10.平面上兩點(diǎn)F1,F2滿足|F1F2|=4,設(shè)d為實(shí)數(shù),令D表示平面上滿足||PF1|-|PF2||=d的所有P點(diǎn)組成的圖形,又令C為平面上以F1為圓心、6為半徑的圓.下列結(jié)論中,其中正確的有 (寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

①當(dāng)d=0時(shí),D為直線; ②當(dāng)d=1時(shí),D為雙曲線;

③當(dāng)d=2時(shí),D與圓C交于兩點(diǎn); ④當(dāng)d=4時(shí),D與圓C交于四點(diǎn);

⑤當(dāng)d>4時(shí),D不存在.

【答案】①②⑤

【解析】①當(dāng)d=0時(shí),D為線段F1F2的垂直平分線,∴①正確;

②當(dāng)d=1時(shí),∵||PF1|-|PF2||=d4時(shí),由雙曲線的定義知,不表示任何圖形,∴D不存在,∴⑤正確.

三、解答題

11.在周長(zhǎng)為48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程.

【解析】因?yàn)椤鱉PN的周長(zhǎng)為48,且tan∠PMN=34,

所以設(shè)|PN|=3k,|PM|=4k,則|MN|=5k.

由3k+4k+5k=48,得k=4.

所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

以MN所在直線為x軸,以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.

設(shè)所求雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).

由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.

由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,

所以b2=c2-a2=100-4=96,

故所求方程為x24-y296=1.

12.（2020山東泰安一中高二月考）已知雙曲線x216-y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.

(1)若點(diǎn)M在雙曲線上,且MF1·MF2=0,求M點(diǎn)到x軸的距離;

(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(32,2),求雙曲線C的方程.

【解析】（1）如圖所示,不妨設(shè)M在雙曲線的右支上,M點(diǎn)到x軸的距離為h,MF1·MF2=0,

則MF1⊥MF2,設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,

由雙曲線定義,知m-n=2a=8,①

又m2+n2=(2c)2=80,②

由①②得m·n=8,

∴12mn=4=12|F1F2|·h,

∴h=255.

(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為x216-λ-y24+λ=1(-4

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

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