專題17 圓與圓的位置關(guān)系（解析版）2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)對(duì)點(diǎn)題組專題突破（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

?專題17 圓與圓的位置關(guān)系
考點(diǎn)一 圓與圓的位置關(guān)系
1.兩圓x2＋y2＝r2(r＞0)，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，則正實(shí)數(shù)r的值是(　　)
A.10
B.102
C.5
D.5
【答案】B
【解析】?jī)蓤A外切則兩圓心距離等于兩圓的半徑之和，即3-02+-1-02＝2r，解得r＝102，故選B.
2.已知圓的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx＋2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最小值是(　　)
A.－43
B.－53
C.－35
D.－54
【答案】A
【解析】∵圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，∴整理得x-42＋y2＝1，
∴圓心為C(4,0)，半徑r＝1.又∵直線y＝kx＋2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)C到直線y＝kx＋2的距離小于或等于2，
∴4k-0+2k2+1≤2，化簡(jiǎn)得3k2＋4k≤0，解得－43≤k≤0，
∴k的最小值是－43.
3.已知半徑為5的球O被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓的公共弦為4，若其中的一圓的半徑為4，則另一圓的半徑為(　　)
A.10
B.11
C.23
D.13
【答案】D
【解析】解　設(shè)兩圓的圓心分別為O1、O2，球心為O，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則OO1EO2為矩形，
于是對(duì)角線O1O2＝OE＝OA2-AE2＝25-4＝21，
∵圓O1的半徑為4，∴O1E＝O1A2-AE2
＝16-4＝23，
∴O2E＝21-12＝3，
∴圓O2的半徑為9+4＝13，故選D.

4.圓C1：x2＋y2－2x－3＝0與圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋3＝0的位置關(guān)系為(　　)
A.兩圓相交
B.兩圓相外切
C.兩圓相內(nèi)切
D.兩圓相離
【答案】A
【解析】∵C1：(x－1)2＋y2＝4，
C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝2.
∴兩圓的圓心距d滿足2－2＜d＝1+22+0+12＝10＜2＋2，所以兩圓相交，故選A.
5.已知圓方程C1：f(x，y)＝0，點(diǎn)P1(x1，y1)在圓C1上，點(diǎn)P2(x2，y2)不在圓C1上，則方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示的圓C2與圓C1的關(guān)系是(　　)
A.與圓C1重合
B.與圓C1同心圓
C.過(guò)P1且與圓C1圓心相同的圓
D.過(guò)P2且與圓C1圓心相同的圓
【答案】D
【解析】∵圓方程C1：f(x，y)＝0，點(diǎn)P1(x1，y1)在圓C1上，點(diǎn)P2(x2，y2)不在圓C1上，
∴f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)≠0.
由f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，
得f(x，y)＝f(x2，y2)≠0.
它表示過(guò)P2且與圓C1圓心相同的圓，故選D.
6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝9，直線l：y＝kx＋3與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，M為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.
【答案】[－34，＋∞)
【解析】由圓的性質(zhì)知只要點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，圓M和圓C一定有公共點(diǎn)，則當(dāng)M在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓M與圓C一定有公共點(diǎn)，故由題意有k-1+3k2+1≥3－2，k≥－34.
7.已知兩圓C1：x2＋y2＋4x－2ny＋n2－5＝0，C2：x2＋y2－2nx＋2y＋n2－3＝0，則C1與C2外離時(shí)n的取值范圍是________，C1與C2內(nèi)含時(shí)n的取值范圍是________.
【答案】(－∞，－5)∪(2，＋∞)　(－2，－1)
【解析】圓心分別是C1(－2，n)，C2(n，－1)，半徑分別是r1＝3，r2＝2，
C1C2＝n+22+-1-n2＝2n2+6n+5.
外離時(shí)，2n2+6n+5＞5，
即n2＋3n－10＞0，解得n＜－5或n＞2；
內(nèi)含時(shí)，2n2+6n+5＜1，
即n2＋3n＋2＜0，解得－2＜n＜－1.
8.已知關(guān)于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若方程C表示圓，求m的取值范圍；
(2)若圓C與圓x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求m的值.
【答案】(1)把方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，若方程C表示圓，則5－m＞0，解得m＜5.
(2)把圓x2＋y2－8x－12y＋36＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－4)2＋(y－6)2＝16，得到圓心坐標(biāo)為(4,6)，半徑為4，則兩圓心間的距離d＝4-12+6-22＝5，
因?yàn)閮蓤A的位置關(guān)系是外切，所以d＝R＋r，即4＋5-m＝5，解得m＝4.
9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋1)2＋y2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.
(1)判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系；
(2)若動(dòng)圓C同時(shí)平分圓C1的周長(zhǎng)、圓C2的周長(zhǎng)，則動(dòng)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)C1：(x＋1)2＋y2＝1的圓心為(－1,0)，半徑r＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圓心為(3,4)，半徑R＝1，則|C1C2|＝-1-32+42＝32＝42＞1＋1，∴圓C1與圓C2的位置關(guān)系是相離.
(2)設(shè)圓心C(x，y)，由題意得CC1＝CC2，
即x+12+y2＝x-32+y-42，
整理得x＋y－3＝0，即圓心C在定直線x＋y－3＝0上運(yùn)動(dòng).

設(shè)C(m,3－m)，則動(dòng)圓的半徑1+CC12＝1+m+12+3-m2，
于是動(dòng)圓C的方程為(x－m)2＋(y－3＋m)2＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2，
整理得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0.
由x-y+1=0,x2+y2-6y-2=0,
解得x=1+322,y=2+322或x=1-322,y=2-322,
即所求的定點(diǎn)坐標(biāo)為(1－322，2－322)，
(1＋322，2＋322).
考點(diǎn)二 兩圓相切的有關(guān)問(wèn)題
10.已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是(　　)
A.(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B.(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C.(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
【答案】D
【解析】若外切則圓心距為5，即為(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若內(nèi)切則圓心距為3，即為x-52＋y+72＝9，所以選D.
11.若圓O1方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圓O2方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1，則方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝x-32＋y-22－1表示的軌跡是(　　)
A.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)O1O2的直線
B.線段O1O2的中垂線
C.兩圓公共弦所在的直線
D.一條直線且該直線上的點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)相等
【答案】D
【解析】因?yàn)閤+12+y+12-4表示點(diǎn)(x，y)向圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4所引的切線長(zhǎng)，x-32+y-22-1表示點(diǎn)(x，y)向圓(x－3)2＋(y－2)2＝1所引的切線長(zhǎng)，則(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝x-32＋y-22－1表示點(diǎn)(x，y)到兩圓的切線長(zhǎng)相等，又方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝x-32＋y-22－1表示直線，故選D.
12.半徑長(zhǎng)為6的圓與x軸相切且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為(　　)
A.(x－4)2＋(y－6)2＝6
B.(x±4)2＋(y－6)2＝6
C.(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x±4)2＋(y－6)2＝36
【答案】D
【解析】∵半徑長(zhǎng)為6的圓與x軸相切，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，則b＝6.再由a2+32＝5，可以解得a＝±4，故所求圓的方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.
13.已知圓D經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,0)且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于點(diǎn)N(1,2).
(1)求兩圓過(guò)點(diǎn)N的公切線方程；
(2)求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x+12＋y-32＝5，圓心C-1,3.
直線CN的斜率kCN＝3-2-1-1＝－12，
因?yàn)檫^(guò)N的公切線與直線CN垂直，所以公切線的斜率k＝2，
故所求公切線方程y－2＝2x-1，即2x－y＝0.
(2)直線CN方程為y－2＝－12x-1，
即x＋2y－5＝0，
線段MN的中垂線方程為y＝1，
解x+2y-5=0,y=1得x=3y=1，即圓心D(3,1).
圓D的半徑為MD＝3-12+12＝5，
所以圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程是x-32＋y-12＝5.
14.圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心O2為(2,1).
(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程，并求內(nèi)公切線方程；
(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點(diǎn)且|AB|＝22，求圓O2的方程.
【答案】(1)∵兩圓外切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，
故圓O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－82.
兩圓的方程相減，即得兩圓內(nèi)公切線的方程為x＋y＋1－22＝0.
(2)設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r22.
∵圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程為4x＋4y＋r22－8＝0.①
作O1H⊥AB，則|AH|＝12|AB|＝2，
|O1H|＝O1A2-AH2＝22-22＝2.
又圓心(0，－1)到AB所在直線的距離為
r22-1242＝2，
得r22＝4或r22＝20，故圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
15.求過(guò)點(diǎn)A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點(diǎn)的圓的方程.

【答案】將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
則圓心為C(－5，－5)，半徑為52.所以經(jīng)過(guò)此圓心和原點(diǎn)的直線方程為x－y＝0.
設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0).
由題意，知O(0,0)，A(0,6)在此圓上且圓心M(a，b)在直線x－y＝0上，則有
0-a2+0-b2=r2,0-a2+6-b2=r2,a-b=0,解得a=3,b=3,r=32.
于是所求圓的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.

考點(diǎn)三 求過(guò)直線與圓或圓與圓交點(diǎn)的方程
16.以相交兩圓C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦為直徑的圓的方程(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋35)2＋(y＋65)2＝45
D.(x－35)2＋(y－65)2＝45.
【答案】B
【解析】聯(lián)立x2+y2+4x+1=0,x2+y2+2x+2y+1=0,
可得公共弦所在直線方程為x－y＝0.
因?yàn)閤2＋y2＋4x＋1＝0，即(x＋2)2＋y2＝3，
所以圓心(－2,0)到公共弦所在直線x－y＝0的距離為22＝2，
從而可得公共弦長(zhǎng)為23-2＝2，所以以公共弦為直徑的圓的半徑為1，C，D不符合.
而x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
所以以公共弦為直徑的圓的圓心為圓心(－2,0)，(－1，－1)所在直線x＋y＋2＝0與公共弦所在直線x－y＝0的交點(diǎn)(－1，－1)，
所以以公共弦為直徑的圓的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，故選B.
17.已知圓M方程：x2＋(y＋1)2＝4，圓N的圓心(2,1)，若圓M與圓N交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝22，則圓N的方程為(　　)
A.(x－2)2＋(y－1)2＝4
B.(x－2)2＋(y－1)2＝20
C.(x－2)2＋(y－1)2＝12
D.(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20
【答案】D
【解析】設(shè)圓N的方程為x-22＋(y－1)2＝R2，則圓M與圓N的公共弦所在的直線方程為4x＋4y－8＋R2＝0，圓心M(0，－1)到公共弦的距離d＝-4-8+R242，又d2＋(AB2)2＝4，解得R2＝4或R2＝20，故選D.
18.圓x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0與x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦的最大值是(　　)
A.12
B.1
C.32
D.2
【答案】D
【解析】x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0?(x＋a)2＋(y＋a)2＝1，圓心C1(－a，－a)，半徑r＝1；
x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0?(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，圓心C2(－b，－b)，半徑r＝2；
即兩圓圓心在直線y＝x上，半徑分別為1和2，
∴兩圓公共弦長(zhǎng)的最大值為小圓的直徑，即最大值為2.
19.若圓M：(x－a)2＋(y－b)2＝6與圓N：(x＋1)2＋(y＋1)2＝5的兩個(gè)交點(diǎn)始終為圓N：(x＋1)2＋(y＋1)2＝5的直徑兩個(gè)端點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M(a，b)的軌跡方程為________.
【答案】(a＋1)2＋(b＋1)2＝1
【解析】從已知可知圓N的直徑是圓M的弦，從而弦心距也即圓心距為1.故有(a＋1)2＋(b＋1)2＝1.
20.圓心在直線x－y－4＝0上，并且經(jīng)過(guò)圓x2＋y2＋6x－4＝0與圓x2＋y2＋6y－28＝0交點(diǎn)的圓的方程為__________________.
【答案】x2＋y2－x＋7y－32＝0
【解析】方法一　解方程組x2+y2+6x-4=0,x2+y2+6y-28=0得兩圓的交點(diǎn)A(－1,3)，B(－6，－2).
設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.
則有a+12+a-4-32＝a+62+a-4+22，
解得a＝12，故圓心為12,-72，
半徑為12+12+-72-32＝892，
故圓的方程為x-122＋y+722＝892，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二　∵圓x2＋y2＋6y－28＝0的圓心(0，－3)不在直線x－y－4＝0上，故可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圓心為-31+λ,-3λ1+λ，代入x－y－4＝0，
求得λ＝－7.
故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.
21.求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓的方程.
【答案】聯(lián)立方程組得x1=5,y1=-6或x2=-1,y2=2.
所以兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)為A(5，－6)和B(－1,2).AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－2)，由兩點(diǎn)間距離公式得|AB|＝2r＝10.
即所求圓是以(2，－2)為圓心，半徑r＝5的圓，
所以圓的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
22.已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求公共弦AB的長(zhǎng)；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程.
【答案】(1)由兩圓方程相減即得x－2y＋4＝0，
此為公共弦AB所在的直線方程.
圓心C1(－1，－1)，半徑r1＝10.
C1到直線AB的距離為d＝-1+2+45＝5，
故公共弦長(zhǎng)|AB|＝2r12-d2＝25.
(2)圓心C2(1，－5)，過(guò)C1，C2的直線方程為y+1-5+1＝x+11+1，即2x＋y＋3＝0.
由2x+y+3=0,y=-x得所求圓的圓心為(－3,3).
它到AB的距離為d＝-3-6+45＝5，
∴所求圓的半徑為5+5＝10，
∴所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
(3)過(guò)A、B且面積最小的圓就是以AB為直徑的圓，
由x-2y+4=0,2x+y+3=0,
得圓心(－2,1)，半徑r＝5.
∴所求圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
23.已知圓C的方程x2＋y2－2ax＋(2－4a)y＋4a－4＝0(a∈R).
(1)證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a，圓C必過(guò)定點(diǎn)；
(2)求圓心C的軌跡方程；
(3)對(duì)a∈R，求面積最小的圓C的方程.
【答案】(1)證明　分離參數(shù)a，化為x2＋y2＋2y－4＋a(－2x－4y＋4)＝0，
又x2+y2+2y-4=0,-2x-4y+4=0,
得x=2,y=0或x=-25,y=65,
∴對(duì)任何實(shí)數(shù)a，圓C必過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(－25，65).
(2)解　∵D2＋E2－4F＝4(5a2－8a＋5)＞0恒成立，設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，
則圓心C的方程為x=a,y=2a-1,消去a，得2x－y－1＝0，
∴圓心C的軌跡方程為2x－y－1＝0.
(3)解　面積最小的圓就是以AB為一條直徑的圓，方程是(x－45)2＋(y－35)2＝95.
24.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,3)，B(1，－3)，C(3,3)，求：
(1)BC邊上中線AD所在直線的方程；
(2)△ABC的外接圓O1的方程；
(3)已知圓O2：x2＋y2－4y－6＝0，求圓心在x－y－4＝0，且過(guò)圓O1與圓O2交點(diǎn)的圓的方程.
【答案】(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(2,0)，所以AD所在直線的斜率為k＝－3，
所以AD所在直線的方程為y－3＝－3(x－1)，
即3x＋y－6＝0.
(2)由題知直線AB的斜率不存在，直線AC的斜率為0，
故△ABC是角A為直角，BC為斜邊的直角三角形.
由(1)知，線段BC上的中點(diǎn)D(2,0)，
所以圓O1的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝DA＝1+32
＝10，
所以△ABC的外接圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.
(3)方法一　設(shè)經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程為
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－41+λx－4λ1+λy－6＝0，
所以圓心的坐標(biāo)為(21+λ，2λ1+λ)，
又圓心在直線x－y－4＝0上，所以21+λ－2λ1+λ－4＝0，
則λ＝－13，所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二　由x2+y2-4x-6=0,x2+y2-4y-6=0得兩圓公共弦所在直線為y＝x，由y=x,x2+y2-4y-6=0
解得x1=-1,y1=-1或x2=3,y2=3,
所以兩圓的交點(diǎn)分別為A(－1，－1)，B(3,3)，
線段AB的垂直平分線所在直線的方程為
y－1＝－(x－1)，
由y-1=-x-1,x-y-4=0得x=3,y=-1,
所以所求圓的圓心為(3，－1)，半徑為4，
所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
25.已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值時(shí)兩圓外切？
(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？
(3)當(dāng)m＝45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).
【答案】(1)由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，兩圓的圓心距d＝5-12+(6-3)2＝5，兩圓的半徑之和11＋61-m，
由兩圓的半徑之和11＋61-m＝5，
可得m＝25＋1011.
(2)由兩圓的圓心距d＝5-12+(6-3)2＝5等于兩圓的半徑之差|11－61-m|，
即|11－61-m|＝5，可得11－61-m＝5(舍去)或11－61-m＝－5，解得m＝25－1011.
(3)當(dāng)m＝45時(shí)，兩圓的方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，
把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程為4x＋3y－23＝0.
第一個(gè)圓的圓心(1,3)到公共弦所在的直線的距離為
d＝4+9-235＝2，可得弦長(zhǎng)為211-4＝27.