專題1 空間向量及其線性運(yùn)算（解析版）2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)對點(diǎn)題組專題突破（人教A版2019選擇性必修第一冊）

專題1 空間向量及其線性運(yùn)算考點(diǎn)1 空間向量的相關(guān)概念及其表示方法1.下列命題中正確的有（    ）(1)分別在兩個平面內(nèi)的兩個向量不能轉(zhuǎn)化為共面向量．(2)空間中，首尾相接的若干個向量構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0．(3)因?yàn)橄蛄坑砷L度和方向兩個屬性構(gòu)成，一般地說，向量不能比較大?。?/span>A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】B【解析】在空間任何兩個向量都是共面的，所以(1)不正確．在(2)中它們的和應(yīng)為0，而不是0，所以(2)不正確，(3)是正確的．2.已知向量，，滿足||＝||＋||，則（    ）A．＝＋B．＝－－C．與同向D．與同向【答案】D【解析】由條件可知，C在線段AB上，故D正確．3.給出下列命題：①零向量沒有確定的方向；②空間向量是不能平行移動的；③有向線段可用來表示空間向量，有向線段長度越長，其所表示的向量的模就越大；④如果兩個向量不相同，那么它們的長度也不相等，其中正確的是（    ）A．①②B．②③C．①③D．①③④【答案】C【解析】①正確，零向量的方向是任意的，②錯誤，空間向量可以平行移動，③正確，向量的?？梢员容^大小，有向線段長度越長，其所表示的向量的模就越大，④錯誤，如果兩個向量不相同，它們的長度可以相等.4.下列命題正確的有（    ）(1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件；(3)若a＝b，b＝c，則a＝c；(4)向量a，b相等的充要條件是(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分條件；(6)＝的充要條件是A與C重合，B與D重合．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【解析】(1)不正確．兩個向量長度相等，但它的方向不一定相同；(2)正確．∵＝，∴||＝||且∥，又∵A，B，C，D不共線，∴四邊形ABCD是平行四邊形．反之，在?ABCD中，＝；(3)正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，故a＝c；(4)不正確．由a∥b，知a與b方向相同或相反；(5)正確．a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|a＝b；(6)不正確.＝，||＝||且與同向．故選C.5.下列命題是真命題的是（    ）A．四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝B．若非零向量a，b方向相反，則a與b是相反向量C．若向量、滿足||＞||，則與同向，且＞D．若兩個非零向量與滿足＋＝0，則、為相反向量【答案】D【解析】A錯，應(yīng)為＝；B錯，只有向量a、b方向相反，模相等時，a，b才是相反向量；C錯，||＞||只能說明的長度大于的長度，但方向不定，且向量不能比較大小．只有D正確．6.如下圖所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1，在下列選項(xiàng)中，與相等的向量是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由相等向量的定義可知.7.如下圖，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，則下列向量相等的是（    ）A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】∵＝，∴||＝||，AB∥DC，即四邊形ABCD為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)知，＝.∴應(yīng)選D.8.如圖在以長，寬，高分別為AB＝4，AD＝2，AA1＝1的長方體ABCD－A1B1C1D1中的八個頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，單位向量共有________個，模為的所有向量為________．【答案】8，，，，，，，【解析】由于長方體的高為1，所以長方體的4條高所對應(yīng)的向量，，，，，，，，共8個單位向量．而其余向量模均不為1，故單位向量共8個，長方體的左、右兩側(cè)面的對角線長均為，故模為的向量有，，，，，，，.考點(diǎn)2 空間向量的加減運(yùn)算9.設(shè)A，B，C是空間任意三點(diǎn)，下列結(jié)論錯誤的是（    ）A．＋＝B．＋＋＝0C．－＝D．＝－【答案】B【解析】注意向量的和應(yīng)該是零向量，而不是數(shù)0.10.空間四邊形ABCD中，若E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，則下列各式中成立的是（    ）A．＋＋＋＝0B．＋＋＋＝0C．＋＋＋＝0D．－＋＋＝0【答案】B【解析】＋＝＋＝，＋＝，易證四邊形EFGH為平行四邊形，故＋＝0，故選B.11.如下圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是（    ）①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.A．①③B．②④C．③④D．①②③④【答案】D【解析】①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.12.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量的是（    ）①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(－)＋.A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】A【解析】如下圖，①(－)－＝＋＋＝＋＝.②(＋)－＝(＋)＋＝＋＝.13.設(shè)P是△ABC所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則（    ）A．＋＝0B．＋＝0C．＋＝0D．＋＋＝0【答案】C【解析】∵＋＝2，∴－＋－＝0即＋＝0.14.已知正方體ABCD－A′B′C′D′的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論共有（    ）①＋與＋是一對相反向量；②－與－是一對相反向量；③＋＋＋與＋＋＋是一對相反向量；④－與－是一對相反向量．A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【解析】如下圖所示，①＝－，＝－，∴＋＝－(＋)，是一對相反向量；②－＝＋＝，－＝＋＝D′A′，而＝，故不是相反向量；③同①也是正確的；④－＝＋＝，－＝＋＝＝－，是一對相反向量．15.已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱長為1，設(shè)＝a，＝b，＝c.(1)用a，b，c表示向量；(2)試求向量a＋b＋c的模．【答案】(1)在三角形ACA′中，＝－.在四邊形ABCD中，＝＋.故＝＋－＝a＋b－c.(2)利用向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合正方體性質(zhì)得a＋b＋c＝＋＋＝＋＋＝＋＝，故|a＋b＋c|＝||＝.16.在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，化簡－＋＋＋，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．【答案】－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如圖．考點(diǎn)3 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算17.設(shè)O－ABC為四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1.若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為（    ）A．(，，)B．(，，)C．(，，)D．(，，)【答案】A【解析】如下圖，∵＝，∴＝，而＝＋＝＋(＋)＝＋＝×(＋)＋＝(＋＋)，∴＝＋＋.故選A.18.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動點(diǎn)P滿足＝(＋＋2)，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的（    ）A．AB邊中線的中點(diǎn)B．AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C．重心D．AB邊的中點(diǎn)【答案】B【解析】取AB邊的中點(diǎn)M，則＋＝2，由＝(＋＋2)可得3＝＋2，∴＝，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心，故選B.19.已知O、A、B是平面上的三個點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2＋＝0，則等于（    ）A．2－B．－＋2C．－D．－＋【答案】A【解析】由已知得2(－)＋(－)＝0，∴＝2－.20.底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體．如下圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，N為BB1的靠近B的三等分點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則向量等于（    ）A．－a＋b＋cB．a＋b－cC．a－b－cD．－a－b＋c【答案】C【解析】＝＋＝＋＝(－)－＝a－b－c.21.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　)A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】∵＝－＝＋＝＋＋＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝3a＋6b＝3∴A，B，D三點(diǎn)共線．22.對空間任意一點(diǎn)O，若＝＋＋，則A、B、C、P四點(diǎn)(　　)A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．與O點(diǎn)的位置有關(guān)【答案】B【解析】∵＋＋＝1，∴P、A、B、C共面．23.如下圖所示，已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1的對角線BC1上的點(diǎn)，且BN∶NC1＝3∶1，設(shè)＝αβ＋γ，則a，β，γ的值分別為________．【答案】，，【解析】＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝－＋＋＋＝＋＋，所以α＝，β＝，γ＝.24.給出命題：①若a與b共線，則a與b所在的直線平行；②若a與b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使b＝λa；③若A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，＝＋＋，則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部，其中真命題是________．【答案】③【解析】①中a與b所在的直線也有可能重合，故①是假命題；②中當(dāng)a＝0，b≠0時，找不到實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，故②是假命題；可以證明③中A，B，C，M四點(diǎn)共面，因?yàn)?/span>＋＋＝，等式兩邊同時加上，則(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，即＋＋＝0，＝－－，則與，共面，又M是三個有向線段的公共點(diǎn)，故A，B，C，M四點(diǎn)共面，所以M是△ABC的重心，所以點(diǎn)M在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部，故③是真命題．考點(diǎn)4 線線、線面平行的判斷25.在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點(diǎn)，則AC與平面DEF的位置關(guān)系是(　　)A．平行B．相交C．在平面內(nèi)D．不能確定【答案】A【解析】如下圖所示，易知EF∥AC，又AC?平面DEF，EF?平面DEF，∴AC∥平面DEF.26.有下列命題：①若∥，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；②若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線；③若e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，則a∥b；④若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0.其中是真命題的序號是________(把所有真命題的序號都填上)．【答案】②③④【解析】根據(jù)共線向量的定義，若∥，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，故①錯；∥且，有公共點(diǎn)A，所以②正確；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正確；易知④也正確．27.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分別是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在正方形EFGH的四邊及其內(nèi)部運(yùn)動，則當(dāng)N只需滿足條件________時，就有MN⊥A1C1；當(dāng)N只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1D1C.【答案】點(diǎn)N在EG上；　點(diǎn)N在EH上【解析】(1)∵EM∥BD∥B1D1，A1C1⊥B1D1，∴EM⊥A1C1，∵EG∥AA1，A1C1⊥AA1，∴GE⊥A1C1.∴A1C1⊥平面GEM.故當(dāng)N在EG上時，MN⊥A1C1；(2)∵EH∥A1D∥B1C，EM∥B1D1，EH∩EM＝E，∴平面HEM∥平面B1D1C，∴當(dāng)N在EH上時，MN∥平面B1D1C.28.已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)求證：BD∥平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有＝(＋＋＋)．【答案】證明如下圖，(1)連接BG，因?yàn)?/span>＝－＝－＝(－)＝，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)由(1)可知EH∥BD，又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH；(3)連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，由(1)知＝，同理＝，所以＝，即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，所以EG，FH交于一點(diǎn)M且被M平分，故＝(＋)＝＋＝[(＋)]＋[(＋)]＝(＋＋＋)．