考點1 空間向量數(shù)量積的概念和性質
1.如下圖，點P是單位正方體ABCD－A1B1C1D1中異于A的一個頂點，則·的值為（ ）

A．0
B．1
C．0或1
D．任意實數(shù)
【答案】C
【解析】可為下列7個向量：，，，，，，，其中一個與重合，·＝||2＝1；，，與垂直，這時·＝0；，與的夾角為45°，這時·＝×1×cos＝1，最后·＝×1×cos∠BAC1＝×＝1，故選C.
2.如下圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是（ ）

A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
【答案】C
【解析】2·＝－a2，故A錯；2·＝－a2，故B錯；2·＝－a2，故D錯，只有C正確．
3.在空間四邊形ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，則下列結論不成立的是（ ）
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D．·＝·＝·
【答案】C
【解析】A中，由|＋＋|＝|＋－|，得(＋＋)2＝(＋－)2，展開得(＋)2＋||2＋2(＋)·＝(＋)2＋||2－2(＋)·，整理得(＋)·＝0，因為，，兩兩垂直，所以(＋)·＝0成立，因此A正確，易得B正確，(＋＋)·＝(＋＋)·(－)＝·－||2＋·－·＋||2－·＝||2－||2，當||＝||時，||2－||2＝0，否則不成立，因此C不正確．D中，·＝·(－)＝·－·＝0，同理·＝0，·＝0，因此D正確．
4.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為（ ）
A．a
B．a
C．a
D．a
【答案】A
【解析】設＝a，＝b，＝c，
∵＝，∴＝＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，
∵N為BB1的中點，∴＝＋＝＋＝a＋c，∴＝－＝(a＋c)－(a＋b＋c)＝a－b＋c，∴||2＝(a－b＋c)2＝a2＋a2＋a2＝a2，∴||＝a，故選A.
5.平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于（ ）
A．5
B．6
C．4
D．8
【答案】A
【解析】設＝a，＝b，＝c，則＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.
6.對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中的真命題是（ ）
A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0
B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，則b＝c
【答案】B
【解析】對于A，可舉反例：當a⊥b時，a·b＝0；對于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；對于D，a·b＝a·c可以移項整理推得a⊥(b－c)．故選B.
7.已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1，設＝a，＝b，＝c，則

(1)·＝________；cos〈，〉＝________；(2)·＝________.
【答案】(1)1　(2)1
【解析】(1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴||＝，
||2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴||＝，
∴cos〈，〉＝＝；
(2)·＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1.

考點2 空間向量數(shù)量積的應用
8.已知PA⊥平面ABC，垂足為A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于（ ）

A．6
B．6
C．12
D．144
【答案】C
【解析】∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，
∴||＝12.
9.如下圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為（ ）

A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】設＝a，＝b，＝c，由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0，故選A.
10.已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，設＝a，＝b，＝c，則〈，〉等于（ ）

A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】D
【解析】∵△A′BD為正三角形，∴〈，〉＝120°.
11.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，MN分別是A1B1，BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值為(　　)
A．－
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如圖，由圖知直線AM與CN所成角等于〈，〉，＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋＋·＋·＝，

||＝＝＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
12.若O是△ABC所在平面內一點，且滿足(＋)·(－)＝0，則△ABC一定是(　　)
A．等邊三角形
B．斜三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵＋＝，－＝，∴·＝0，∴BC⊥AC，
∴△ABC一定是直角三角形．
13.設O，A，B，C為空間四點，若·＝0，·＝0，·＝0，則△ABC是(　　)
A．銳角三角形
B．鈍角三角形
C．直角三角形
D．不確定
【答案】A
【解析】設＝e1，＝e2，＝e3，
則e1·e2＝0，e2·e1＝0，e1·e3＝0，
∴||2＝(e2－e1)2＝|e1|2＋|e2|2，||2＝(e3－e1)2＝|e1|2＋|e3|2，||2＝(e3－e2)2＝|e3|2＋|e2|2，
由此可知△ABC任一邊的平方小于另兩邊的平方和，所以△ABC為銳角三角形．
14.如下圖所示，已知正三棱錐A－BCD的側棱長和底面邊長都是a，點E，F(xiàn)，G是AB，AD，DC上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2.

求下列向量的數(shù)量積：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
【答案】解(1)||＝a，||＝a，〈，〉＝120°；
所以·＝||||cos120°＝－a2；
(2)因為＝－，所以·＝·(－)＝·－·，又因為||＝a，||＝a，〈，〉＝〈，〉＝60°，所以·＝a2－a2＝0.
(3)因為點F，G是AD，DC上的點，所以＝＝－，所以·＝－2，
因為2＝a2，所以·＝－a2；
(4)因為點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點，所以＝，所以·＝·，
結合圖形可知〈，〉＝60°，所以·＝·＝×a×a×cos60°＝a2.
15.如下圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點．

(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長．
【答案】(1)證明設＝p，＝q，＝r.
由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°，
＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0，
∴MN⊥AB.同理可證MN⊥CD；
(2)解由(1)可知＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝[a2＋a2＋a2＋2(－－)]＝×2a2＝，
∴||＝a.∴MN的長為a.
16.如下圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.

(1)求證：C1C⊥BD；
(2)當?shù)闹凳嵌嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明．
【答案】(1)證明設＝a，＝b，＝c，
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝－＝a－b，·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|－|c||b|＝0，
∴⊥，即C1C⊥BD，
(2)解若A1C⊥平面C1BD，則A1C⊥C1D，＝a＋b＋c，＝a－c，
∴·＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即當＝＝1時，A1C⊥平面C1BD.
17.如下圖，在四棱錐M—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且AM和AB、AD的夾角都是60°，N是CM的中點，設a＝，b＝，c＝，試以a，b，c為基向量表示出向量，并求BN的長．

【答案】∵＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋[－(＋)]
＝－＋＋，
∴＝－a＋b＋c，
||2＝2＝2＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝，
∴||＝，即BN的長為.
18.正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為.
(1)設側棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
(2)設AB1與BC1的夾角為，求側棱的長．

【答案】(1)證明＝＋，＝＋，
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0，
又△ABC為正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝，
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1；
(2)解結合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，∴||＝2，即側棱長為2.
19.如圖：在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M是線段A1D的中點，點N在線段C1D1上，且D1N＝D1C1，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1.
(1)求滿足＝x＋y＋z的實數(shù)x、y、z的值．
(2)求AC1的長．

【答案】(1)＝＋＝(＋)＋＝＋＋，
所以x＝，y＝，z＝；
(2)∵＝＋＋
∴||2＝(＋＋)2
＝＋＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋0＋1＋1＝5，
∴AC1＝.
20.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將△ACD沿對角線AC折起，使得AB與CD成60°角，求折起后BD的長．

【答案】∵∠ACD＝90°，∴·＝0，同理·＝0，
又AB與CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°，
而＝＋＋，
∴＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3＋2cos〈，〉，
∴2＝2或2＝4，即||＝或2.
21.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點．

(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．
【答案】(1)證明設＝a，＝b，＝c，
根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D；
(2)解∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|，
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝，
即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.
22.在三棱錐O－ABC中，已知側棱OA，OB，OC兩兩垂直，用空間向量知識證明：底面三角形ABC是銳角三角形．

【答案】證明∵OA，OB，OC兩兩互相垂直，
·＝(－)·(－)＝2＝||2＞0，
∴〈，〉為銳角，即∠BAC為銳角，
同理∠ABC，∠BCA均為銳角，
∴△ABC為銳角三角形．
23.如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1.
(1)若G為△ABC的重心，＝3，設＝a，＝b，＝c，用向量a、b、c表示向量；
(2)若平行六面體ABCD－A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD中點，AC1∩BD1＝O，求證：OE⊥平面ABC1D1.

【答案】(1)解依題意，＝＝(＋)，
∵G為△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，
又∵＝＋，
∴＝
＝＋＋＝a＋b－c；
(2)證明連接C1E，AE，
∵平行六面體ABCD－A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，
∴C1E＝AE，∴△C1EA為等腰三角形，
∵O為AC1的中點，∴OE⊥AC1，同理可證OE⊥BD1，
∵AC1∩BD1＝O，∴OE⊥平面ABC1D1.
24.如圖，已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.

【答案】證明設∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又設＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|，
又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，
所以·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2cosθ－|a|2cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.
所以⊥，即OG⊥BC.


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