一．選擇題


1．如圖所示的是正十二角形體，因?yàn)槠洫?dú)特的對稱美，所以2019年在英國舉辦的第60界國際數(shù)學(xué)奧林匹克的會(huì)標(biāo)，就選用了正十二角形體，若將它繞自身中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與原圖重合，則這個(gè)角度不可能是（ ）





A．60°B．90°C．120°D．180°


2．如圖，△OAB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△OCD的位置，則旋轉(zhuǎn)中心是（ ）





A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)OD．無法確定


3．如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，則∠AOD的度數(shù)是（ ）





A．75°B．45°C．60°D．30°


4．如圖，是一個(gè)紙折的小風(fēng)車模型，將它繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)下列哪個(gè)度數(shù)后不能與原圖形重合（ ）





A．90°B．135°C．180°D．270°


5．如圖，用左面的三角形連續(xù)的旋轉(zhuǎn)可以得到右面的圖形，每次旋轉(zhuǎn)（ ）度．





A．60B．90C．120D．150


6．下列圖形中，繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)72度后能與自身重合的是（ ）


A．B．


C．D．


7．如圖，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△ACD，記旋轉(zhuǎn)角為α，∠ABO為β，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥OA時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（ ）





A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°


8．如圖，在正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)△ABC繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜180），得到格點(diǎn)△A1B1C1，點(diǎn)A與點(diǎn)A1，點(diǎn)B與點(diǎn)B1，點(diǎn)C與點(diǎn)C1是對應(yīng)點(diǎn)，則α的值為（ ）





A．50B．60C．90D．120


9．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，下列四個(gè)結(jié)論：


①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；


其中一定正確的是（ ）





A．①②B．②③C．③④D．②③④


10．如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：


①D、A、E三點(diǎn)共線；


②DC平分∠BDA；


③∠E＝∠BAC；


④DC＝DB+DA．


其中正確的有（ ）





A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)


二．填空題


11．如圖，已知點(diǎn)D為等邊三角形ABC的AC邊的中點(diǎn)，BC＝4，點(diǎn)B繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°的過程中，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，連接B'C、B'D，當(dāng)△B'DC的面積為時(shí)，∠B'DB為 ．





12．等邊△EBC中，EC＝BC＝6cm，點(diǎn)O在BC上，且OC＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以2cm/s速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF．則當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng) s時(shí)，點(diǎn)F恰好落在射線EB上．





13．“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任何一個(gè)角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE＝78°，則∠AOB等于 度．





14．時(shí)鐘的時(shí)針不停地旋轉(zhuǎn)，從上午6時(shí)到上午10時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是 度．


15．如圖，△ABP是由△ACD按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)某一角度得到的，若∠BAP＝60°，則在這轉(zhuǎn)過程中，旋轉(zhuǎn)中心是 ，旋轉(zhuǎn)的角度為 ．





三．解答題


16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OP，求OP的最小值．





17．如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△ABF重合，若AE＝3．


（1）求∠EAF的度數(shù)；


（2）求EF的長．





18．如圖，△ABC中，∠B＝19.11°，∠ACB＝40.89°，AB＝6，△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后能與△ADE重合，且點(diǎn)C恰好為AD的中點(diǎn)．


（1）指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；


（2）求出∠BAE的度數(shù)和AE的長．





19．已知△ABC為等邊三角形．


（1）如圖，P為△ABC外一點(diǎn)，∠BPC＝120°，連接PA，PB，PC，求證：PB+PC＝PA；


（2）如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度數(shù)．








參考答案與試題解析


一．選擇題


1．【解答】解：∵正十二角形體的中心角為30°，


∴觀察圖象可知，旋轉(zhuǎn)角是30°的偶數(shù)倍數(shù)時(shí)，可以與本身重合，


故選：B．


2．【解答】解：由題意得△OAB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△OCD的位置，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O．


故選：C．


3．【解答】解：如圖，由題意及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得：∠AOC＝∠BOD＝45°，


∵∠AOB＝15°，


∴∠AOD＝45°+15°＝60°，


故選：C．


4．【解答】解：圖案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圓心角是90°，并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)90度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，


故選：B．


5．【解答】解：根據(jù)圖形可得出：這是一個(gè)由基本圖形繞著中心連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)120度角形成的圖案．


故選：C．


6．【解答】解：A．旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合，不合題意；


B．旋轉(zhuǎn)72°后能與自身重合，符合題意；


C．旋轉(zhuǎn)60°后能與自身重合，不合題意；


D．旋轉(zhuǎn)45°后能與自身重合，不合題意；


故選：B．


7．【解答】解：∵把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△ACD，


∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝∠OAD＝α，


∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，


在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），


∵BC∥OA，


∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，


∴β+（180°﹣α）＝90°，


整理得，α＝2β．


故選：B．


8．【解答】解：如圖，連接AA1，CC1，作AA1，CC1的垂直平分線交于點(diǎn)O，





∵CC1，AA1的垂直平分線交于點(diǎn)O，


∴點(diǎn)O是旋轉(zhuǎn)中心，


由圖形可得：∠AOA1＝90°


∴旋轉(zhuǎn)角α度＝90°


故選：C．


9．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，


∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①錯(cuò)誤，③正確；


∴∠ACD＝∠BCE，


∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，


∴∠A＝∠EBC，故④正確；


∵∠A+∠ABC不一定等于90°，


∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②錯(cuò)誤．


故選：C．


10．【解答】解：如圖，





①設(shè)∠1＝x度，則∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，


∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，


∴D、A、E三點(diǎn)共線；


故①正確；


②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，


∴CD＝CE，∠DCE＝60°，


∴△CDE為等邊三角形，


∴∠E＝60°，


∴∠BDC＝∠E＝60°，


∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，


∴DC平分∠BDA；


故②正確；


③∵∠BAC＝60°，


∠E＝60°，


∴∠E＝∠BAC．


故③正確；


④由旋轉(zhuǎn)可知AE＝BD，


又∵∠DAE＝180°，


∴DE＝AE+AD．


∵△CDE為等邊三角形，


∴DC＝DB+BA．故④正確；


故選：A．


二．填空題（共5小題）


11．【解答】解：如圖，若點(diǎn)B'在AC的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)B'作BN⊥AC，交CA于點(diǎn)N，





∵△ABC是等邊三角形，


∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，


又∵點(diǎn)D是CD的中點(diǎn)，


∴BD⊥AC，CD＝AD＝2，BD＝CD＝2，


∵△B'DC的面積為，


∴×CD×B'N＝，


∴×2×B'N＝，


∴B'N＝，


∵點(diǎn)B繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，


∴B'D＝BD＝2，


∴DN＝＝＝，


∴DN＝B'N＝，


∴∠NDB'＝∠DB'N＝45°，


∴∠BDB'＝45°，


在點(diǎn)B'在AC的右側(cè)時(shí)，∠B''DA＝45°，


∴∠BDB''＝135°，


綜上所述：∠B'DB＝45°或135°，


故答案為：45°或135°．


12．【解答】解：如圖，





∵由旋轉(zhuǎn)知，OP＝OF，


∵△BCE是等邊三角形，


∴∠CBE＝∠BCE＝60°，


∴∠OCP＝∠FBO＝120°，


∠CPO+∠COP＝60°，


∵∠POF＝120°，


∴∠COP+∠BOF＝60°，


∴∠CPO＝∠BOF，


在△BOF和△PCO中，


，


∴△BOF≌△PCO（AAS），


∴CP＝OB，


∵EC＝BC＝6cm，OC＝4cm，


∴OB＝BC﹣OC＝2（cm），


∴CP＝2cm，


∴EP＝CE+CP＝8（cm），


∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝8÷2＝4（s），


故答案為：4．


13．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，


∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，


∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，


∴∠DEC＝2∠O，


∵∠BDE是△ODE的外角，


∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝78°，


∴∠AOB＝26°，


故答案為：26．


14．【解答】解：∵時(shí)針從上午的6時(shí)到10時(shí)共旋轉(zhuǎn)了4個(gè)格，每相鄰兩個(gè)格之間的夾角是30°，


∴時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角＝30°×4＝120°．


故答案為：120．


15．【解答】解：旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，


旋轉(zhuǎn)角為∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°+30°＝90°；


故答案為A，90°．


三．解答題（共4小題）


16．【解答】解：如圖，以O(shè)A為對稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點(diǎn)F，





∴∠AED＝60°，


∴AO＝OE＝3，


∴OE＝，


∵△ADE和△ABP是等邊三角形，


∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，


∴∠BAD＝∠PAE，


在△ADB和△AEP中，





∴△AEP≌△ADB（SAS），


∴∠AEP＝∠ADB＝120°，


∴∠OEF＝60°，


∴OF＝OE＝3，∠OFE＝30°，


∴點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)，


當(dāng)OP⊥EF時(shí)，OP最小，


∴OP＝OF＝，


則OP的最小值為，


17．【解答】解（1）∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△ABF重合，


∴∠DAB＝∠EAF＝90°；


（2）∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△ABF重合，


∴AE＝AF＝3，∠EAF＝90°，


∴EF＝AE＝3．


18．【解答】解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣19.11°﹣40.89°＝120°，


即∠BAD＝120°，


所以旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為120°；


（2）∵△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，


∴∠EAD＝∠BAC＝120°，AE＝AC，AD＝AB＝6，


∴∠BAE＝360°﹣120°﹣120°＝120°，


∵點(diǎn)C恰好成為AD的中點(diǎn)，


∴AC＝AD＝3，


∴AE＝3．


19．【解答】證明：（1）如圖1，延長BP至點(diǎn)E，使得PE＝PC，連接CE，





∵∠BPC＝120°，PE＝PC，


∴∠CPE＝60°，


∴△CPE為等邊三角形，


∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，


∵△ABC是等邊三角形，


∴AC＝BC，∠BCA＝60°，


∴∠ACB＝∠ECP，


∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+∠BCP，


即：∠ACP＝∠BCE，


在△ACP和△BCE中，


，


∴△ACP≌△BCE（SAS），


∴AP＝BE，


∵BE＝BP+PE＝BP+PC，


∴PB+PC＝PA；


（2）如圖2，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△CBP'，連接PP'，





由旋轉(zhuǎn)知，△APB≌△CP′B，


∴∠BPA＝∠BP′C，P′B＝PB＝5，P′C＝PA＝12，∠PBP'＝∠ABC＝60°，


又∵P′B＝PB＝5，


∴△PBP′是等邊三角形，


∴∠PP′B＝60°，PP′＝5

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